高三数学教案：导数的背景

1、导数的背景（ 5 月 4 日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是s1 gt 2 （其中 g 是重力加速度） .当时间增量 t 很小时，从23秒到（ t ）秒这段时间内，小球下落的快慢3变化不大 .因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度 .从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内位移的增量：s s(3t )s(3)4.9(3t ) 24.9 3229.4 t4.9(t) 2

2、从而， vs29.4 4.9 t .ts 越接近 29.4 米/ 秒；当从上式可以看出，t 越小，t 无限趋近于 0 时，ts 无限趋近于 29.4米/ 秒. 此时我们说，当t 趋向于 0时， s 的极限是 29.4.tt当 t 趋向于 0 时，平均速度s 的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做t瞬时速度 .一般地，设物体的运动规律是ss（t ），则物体在 t 到（ t t ）这段时间内的平均速度为ss(tt ) s(t ) .如果 t 无限趋近于 0 时，s 无限趋近于ttt某个常数 a，就说当t 趋向于 0时，s 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 tt的瞬时速度 .2.切线的斜率问

3、题 2：p（1,1）是曲线 y x 2 上的一点， q 是曲线上点 p 附近的一个点，当点 q 沿曲线逐渐向点 p 趋近时割线 pq 的斜率的变化情况 .第 1页共 4页析：设点 q 的横坐标为 1 x ，则点 q 的纵坐标为（ 1x ）2，点 q 对于点 p的纵坐标的增量（即函数的增量）y(1x) 21 2x ( x) 2 ，y2 x(x) 2x .所以，割线 pq 的斜率 kpqx2x由此可知，当点 q 沿曲线逐渐向点 p 接近时，x 变得越来越小， k pq 越来越接近 2；当点 q 无限接近于点 p 时，即x 无限趋近于 0时， k pq 无限趋近于2. 这表明，割线 pq 无限趋近于

4、过点 p 且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫做曲线在点 p 处的切线 . 由点斜式，这条切线的方程为： y 2x 1.一般地，已知函数 yf ( x) 的图象是曲线c，p（ x0 , y0 ），q（ x0x, y0y ）是曲线 c 上的两点，当点 q 沿曲线逐渐向点 p 接近时，割线 pq 绕着点 p 转动 . 当点 q 沿着曲线无限接近点 p，即 x 趋向于 0 时，如果割线 pq 无限趋近于一个极限位置 pt，那么直线 pt 叫做曲线在点 p 处的切线 .此时，割线 pq 的斜率k pqy 无限趋近于切线 pt 的斜率 k，也就是说，当x 趋向于 0 时，割线 pqxy 的极限为

5、k.的斜率 k pqx3. 边际成本问题 3：设成本为 c，产量为 q，成本与产量的函数关系式为 c( q)3q 210 ，我们来研究当 q50时，产量变化q 对成本的影响 .在本问题中，成本的增量为：cc (50q)c (50)3(50q) 210(350 210)300 q3( q)2 .产量变化q 对成本的影响可用：c3003q 来刻划，q 越小，c 越接近qq；当q无限趋近于0时， c无限趋近于300，我们就说当q 趋向于 0 时，300qc 的极限是 300.q我们把c 的极限 300 叫做当 q50 时 c (q)3q 210 的边际成本 .q第 2页共 4页一般地，设 c 是成本

6、， q 是产量，成本与产量的函数关系式为c c（q），当产量为 q0 时，产量变化q 对成本的影响可用增量比c c ( q0q) c ( q0 )qq刻划 .如果 q 无限趋近于 0 时，c 无限趋近于常数 a，经济学上称 a 为边际q成本 .它表明当产量为 q0 时，增加单位产量需付出成本a（这是实际付出成本的一个近似值） .二、小结瞬时速度是平均速度s 当 t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，t切线的斜率是割线斜率y 当 x 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本c 当xqq 趋近于 0 时的极限 .三、练习与作业：1.某物体的运动方程为s(t)5t 2 （位移单位： m ，时间单位： s）求它在t 2s时的速度 .2. 判断曲线 y 2x 2 在点 p（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程 .3.已知成本 c 与产量 q 的函数关系式为 c2q 25，求当产量 q 80 时的边际成本 .4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h（单位： m）与时间 t（单位： s）之间的函数关系为 h t 2 ，求 t 4s 时此球在垂直方向的瞬时速度 .第