高三数学教案：§10.5二项式定理

1、 10.5 二 式定理一、内容 知 精 ：ncn1 an 1bcnr a n r brcnnb n （ n n（1）二 式定理：a bcn0 a n）tr 1c nr a n r brt6t5 15其通 是（ r=0,1,2, ,n），知 4 求 1，如：cn a n 5b5亦可写成： tr 1c nr a n ( b )rancn1 an 1brna bcn0a n1 cnr an r b r1 cnnbn （ nn ）特 地： 1n0 n1r n rn nxcn xcn xcn xcn x （ nn ）其中， c nr 二 式系数。而系数是字母前的常数。（ 2）二 展开式系数的性 ： 称性

2、,在二 展开式中，与首末两端“等距离”的两 的二 式系数相等，即 c n0 c nn , c 1n c nn 1 , cn2 c nn 2 , c nk c nn k ,增减性与最大 ： 在二 式展开式中， 二 式系数先增后减，且在中 取得最大 。如果c n rnmaxc n 2tn1n 偶数：2二 式的 指数是偶数，中 一 的二 式系数最大，即；如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 ， 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 ， 即n 1n1rcn 2tn 1tn 1c n max c n 21122。所有二 式系数的和用 法可以 明等于2n 即 c n0c

3、 n1c nn2 n ；奇数项的二项 式系数和与偶 数项的二项式 系数和相等，即c n0c n2c 1nc n32n 1（3）二 式定理的 用：近似 算和估 、 不等式，如 明：2n2n n 3, n n 取2 n1 1 n 的展开式中的四 即可。2重点 点 :二 式定理，和二 展开式的性 。3思 方式 :一般与特殊的 化， 法的 用。4特 注意 :二 式的展开式共有 n+1 ， c nran r b r是第 r+1 。通 是tr 1c nr an r b rtr 1 , a,b, n, r五个元素，只要知道其（ r=0,1,2, ,n）中含有中四个即可求第五个元素。第 1页共 6页注意二项式

4、系数与某一项系数的异同。当 n 不是很大， | x | 比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n 的近似值。二、问题讨论例 1（ 1） cn13cn233n 1cnn 等于9cn（）4n4n1a 4 nb。 3 4 n1c。 3d.3（2）若 n 为奇数，则 7nc n1 7n1c n2 7n 2c nn1 7 被 9 除得的余数是（）a0b。 2c。 7d.8解：（ 1）设 sn123n1ncn3cn9cn3cn ，于是：3cn132 cn233 cn33n cnn03cn132 cn23333n cnn3sn= cncn1故选 d（2）7 nc n17n 1c n2 7n 2c nn 1

5、78n1 9 1 n1= 9ncn19n 1n 1n1 cnn 1 91 1因为 n为奇数，所以原式 =9ncn1 9n 1n 121cnn 1 9所以，其余数为 7，选 c1nx24x例 2（ 1） (优化设计p179 例 1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。3（2） (优化设计 p179 例 2)求1x2x的展开式的常数项。（3）在 x 23x 25x 的系数（即含x 的项的系数）的展开式中，求nn(n1)解：（ 1）展开式中前三项的系数分别为1， 2，8，nn(n1)由题意得： 2 2 =1+8得 n =8。c8r1163 r设第 r+1 项为有理项，tr

6、1x4r=0 ，4， 8。2r，则 r 是 4的倍数，所以t1x4 ,t535 x, t912有理项为8256x。第 2页共 6页【思 点 】求展开式中某一特定的 的 ，常用通 公式，用待定系数法确定r。36rr6 r2x1x1tr 11 c6x2x（2）法一：x，其展开式的通 6r r6 2r0得 r 3rr2 2 ，令1 c6 x2所以，常数 t42031xr2x1x12x12x122xxx法二：解析：x=得到常数的情况有：1三个括号中全取 -2，得（ -2）3一个括号取 | x | ，一个括号取x ，一个括号取 -2，得 c31c21 (2) =-12，因此常数 -20。（3） x255

7、51 c51 x2524 c51 x3x 2= 1 x 2 x含 x 的 c51 24c 51 25x240x ,即含 x 的 的系数 240【思 点 】密切注意通 公式的使用。 ：( 化 p180 思考 （)1）在 (1xx2x3 )(1x)7的展开式中， 求 x 4的系数。( x44)4（2）求x的展开式中的常数 。（3）求 (1x) 3(1 x) 4(1x)5(1x)50的展开式中 x 3的系数。1x4x)7(1 x4)(1x)6解: （1）原式 = 1(1,展开式中 x的系数 (44x41)c 61 14( x44(x 24x4) 4(2x)84)4444( 1)41120（2）x=x

8、x，展开式中的常数 c8 2(1x)3(1x)481(1x)51(1x) 3（3）方法一：原式=(1x)1xx3 的系数 c 514。方法二：展开式中x3的系数 ： c 33c 43c53c503c 44c43c 53c503c 54c53c503c 514第 3页共 6页例 3( 化 p180 例 3)、 an1 q q2 qn 1(n n* ， q，1)12nan c n a1 c n a2 c n an.用 q 和 n 表示 ananlimn当3q1时 ,求 n 21qn解： q1， an 1q .12n an c n a1 c n a2 c n an1q11 q 221q nn 1q1

9、 q1 qc n c n c n1012n012n 1q(c n c n c n c n) (c n qc n q2c n qnc n ) 112n(1 q) nq11qn1qan11q23q1且 q1，所以 0(2)n212因 liman12n=1q所以 n01n【思 点 】 ：本 逆用了二 式定理及c n c n c n 2n， 些重要的数学模型常常运用于解 程中 .例 4、若 2x34a2 x2a3 x3a4 x 422= a0a1 x，求（ 1） a0a2a4 a1a3的 。（ 2） a0a1a2a3 的 。a0a2a42a32【解析】：（1）在使用 法前， 先将a1 形 ：aa22a

10、0a1a2a3a4a0a1a2a3a402413=a aa才能 x 取什么特殊 ：令 x = 1， a0a1a2a3a4 = 234令 x =1 则 a0a1a2a3a4 = 234第 4页共 6页22444因此： a0a2 a4 a1a3= 23 23= 23 23=14（2 ） 因 为a0 a1 a2 a3a4 = a0 a1 a2 a3 a4 = 23a42416所以， a0a1a2a3 = 234 16【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。x1425a1 x3a2x2a9 x 3思考题：设xa03则 a0a2a4a6a82a1a3a5a7a92a0a1a2a9450解:2 12 2

11、22所以 ,a0a2a4a6a8 a1a3a5a7a9a0a1a2a9a0a1a2a8a9 =0备用题：， 而9（( 12x) n例 5 已知2。若展开式中第5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。【解】（ 1） c n4c n62c n5 n =7 或 n =14。当 n =7 时，展开式中二项式系数最大的项是t4 和 t5c 73 1435c 74 13232470t4 的系数 =22 ； t5 的系数 =2当 n =14 时展开式中二项式系数最大是项是t8，17c147273432t8 的系数 =2。由 c n0c n1c n2=79，可得 n =12，设 tk 1 顶的系数最大。1212kkk1k 1c124c12412x11 4x 12kkk 1k 1 22，c124c124， 9.4 k 1，求证n(11) n1 cn1cn21c n11 c n121n1证明 :nnn2nnn1nn n 1 n n 1 n 21 n n 1 n 2 3 2 112n2!