全等三角形解答题--答案

1、016 暑假作业 ( 七）全等三角形解答题答案参考答案与试题解析一解答题 (共 2小题 )1.（ 201?邵阳 )如图所示， AC 、BD 相交于点， 且 OA=OC ，OB= D求证： D BC。【解答】 证明 : A 、 D 交于点 O, OD COB，在AOD 与 COB 中 , O C B( AS) A= ，A BC2。 (2016?重庆校级模拟 ) 如图，、F、 B 在同一直线上 ,AC F， A，且AE BD. 求证： F D.【解答】 证明： AE BD, A= , AC=B ， A F=BF CF， BC=AF,在 EAF 与 BC 中， AF D (SAS） , EFA BC

2、D, F CD。3。 (201 ?于洪区一模）如图1,在 A C 中， ACB 为锐角，点D 为射线上一点,连接 AD ，以为一边且在AD 得右侧作正方形AD F（ 1）如果 AB=A ， BAC= 0, 当点在线段B 上时（与点B 不重合 ),如图 ,线段 CF、BD 所在直线得位置关系为垂直，线段 CF、 B得数量关系为相等; 当点 D 在线段 BC 得延长线上时，如图3, 中得结论就是否仍然成立,并说明理由；（ 2）如果 AB A , BA 就是锐角，点 D 在线段 B上 ,当 B 满足什么条件时 ,（点 C、 F 不重合），并说明理由 . F B , ACF= ABD BAC=9 ，

3、B A ， A C 45， F=45， C = ACB C = 0 度即 CF BD.(）当 AC 5时， CF BD( 如图 ).【解答】 证明 : （1) 正方形 ADEF 中 , D= F， AC= DAF= 0， B D= CAF ，又 A = C， DAB FA ， =BD ， B= AC ， ACB ACF 90，即 CF BD 。 当点 D 在 C 得延长线上时 得结论仍成立。由正方形 ADEF 得 AD=AF ， DA =90 度 B C= 0, D B C， AB FA，又 AB=AC, DA AC,理由 :过点 A 作 G A 交得延长线于点G,则 C=90 , AC 45

4、, GC=90 A B， AGC 9045=45, A B= C=45, AC=AG ， AG= FA(同角得余角相等), D F， GAD CAF ， ACF= AG = ， B F= ACB+ A =45 +45= ,即 F BC.4。（ 014?南京）【问题提出】学习了三角形全等得判定方法（即“SAS 、 “ SA ”、“AA ”、 “ SS”）与直角三角形全等得判定方法（即“HL ”)后 ,我们继续对 “两个三角形满足两边与其中一边得对角对应相等 得情形进行研究。【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在 C 与DEF 中， AC= F,BC=F,B E，然后 ,对 B 进行分类

5、,可分为 “ B 就是直角、钝角、锐角 三种情况进行探究【深入探究】第一种情况 :当就是直角时, BC DEF 。（ 1) 如图 ,在 C 与 DEF,A DF ， BC=EF, B E=90,根据HL,可以知道RA Rt EF。第二种情况：当B 就是钝角时， ABC DEF.（ 2)如图 ，在 A 与 DEF ， C D， BC=EF, B= ,且 B、都就是钝角 ,求证： ABC DEF.第三种情况：当就是锐角时，A C 与 DEF 不一定全等(3)在 ABC 与D F，AC= F， C=EF,B= E,且、 E 都就是锐角 ,请您用尺规在图 中作出 DE ,使 DEF 与 A C 不全等

6、 .(不写作法 ,保留作图痕迹）(） B 还要满足什么条件， 就可以使 BC DE ？请直接写出结论：在 ABC 与 DEF 中， C=DF ，BC=EF, = E,且 B、E 都就是锐角，若 ，则 ABC DEF.【解答】（ 1）解： HL;（ 2）证明 :如图 ,过点 C 作 GAB 交 AB 得延长线于G,过点 F 作 FH DE交 D得延长线于H ， A F，且 ABC 、 DEF 都就是钝角 , 180 A C= 0 DE ，即 C G= E，在 G 与 FEH 中 , C E ( A )， C F，在 t C与 RtDFH 中， Rt A G Rt FH(HL ） , A ，在 B

7、C 与 DEF 中 , A C F（ AS）；（ 3) 解：如图， D F 与 BC 不全等；（ 4) 解 :若 B A ，则 C DE 。故答案为：（ 1） HL ；（ 4) A.当 EC 绕点 C 旋转到如图 3 所示得位置时 ,小明猜想 (1) 中 S与 S2 得数量关系仍然成立 ,并尝试分别作出了 B C 与 AE 中 BC、 E 边上得高 ,请您证明小明得猜想 .( )拓展探究已知 AB = 0，点就是角平分线上一点,BD CD 4，DE A 交 B于点 E（如图 4)。若在射线 BA 上存在点F,使 SDC = BD ，请直接写出相应得得长.5。 (2013?河南）如图1，将两个完

8、全相同得三角形纸片ABC 与 DEC 重合放置，其中=90 ， = E 0。(1) 操作发现如图 2，固定 ABC, 使 D绕点旋转,当点 D 恰好落在AB 边上时 ,填空 : 线段 E 与 AC 得位置关系就是DE A ； 设B C 得面积为S , C 得面积为 S2,则 1 与 S得数量关系就是S1 2 .(2）猜想论证【解答】 解 :(1) DEC 绕点旋转点D 恰好落在AB 边上 , AC=CD, B =90 B= 0 30=60， A D 就是等边三角形, A =60 ，又 CDE= BAC=60 ， A D= DE ，所以 BE=D 1，且 E、DF 上得高相等 ,D AC ；此时

9、 DC 1=SB E； B 30， C=90,过点 D 作 D BD,CD= C=A , BC 60, 1D E，BD= D C, F1D= AB =60,根据等边三角形得性质， CD 得边 AC 、 D 上得高相等， BF1=DF 1， F B = ABC=30 ,F D = 0, BDC 得面积与 AEC 得面积相等（等底等高得三角形得面积相等）, F DF 2= ABC=60 ，即 S1=S2; DF1 2 就是等边三角形，故答案为 : E AC; 1=S2； DF1= F2,（2) 如图 , DEC 就是由 ABC 绕点 C 旋转得到， BD=CD ， AB =60，点 D 就是角平分

10、线上一点 ,BC CE， A CD ， DBC DCB 6 = 0, A N+ BCN 90, DCM+ B N= 80 9=9 ， CD 1 180 CD 030 150， ACN= DCM ， C F2 6 15 60=5 ,在 ACN 与D M 中 , CDF 1 D ,在 CDF1 与C F 中， A DC (A S),， = M ， CD CDF2（ SAS), BDC 得面积与 AEC 得面积相等（等底等高得三角形得面积相等），点 F2 也就是所求得点，即 1= 2; AB 60，点 D 就是角平分线上一点，E B，(3）如图，过点作 DF1 BE, 易求四边形 BE 就是菱形，

11、DBC= E ABD= 60=30 ，又 D= ,B 4c s =2=，理由就是 :如图 1， Q 为 AB 中点，B 1,B 2 = F +F1F =+=, Q BQ,故 B 得长为或 . BF CP， AE CP, BF AE ， BFQ AEQ=9 ，在 BQ 与AEQ 中 BF A Q（AAS ）， QE= F，故答案为： AE B ; E=Q 。（） QE= F,6（ 201 ?烟台）已知，点 P 就是直角三角形 ABC 斜边 A上一动点（不Q 交 AE 于 D,证明：如图，延长与 A, 重合），分别过 A,B 向直线 P 作垂线 ,垂足分别为 E，F,Q 为斜边 Q 为 B 中点，

12、AB 得中点。 AQ=BQ ，（）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时， E 与 B得位置关系就是 E BF CP， E C， ， Q与 QF 得数量关系式 QE=QF ； AE ，(2）如图 2,当点 P 在线段 A 上不与点 Q 重合时，试判断QE 与 Q得数 Q D FBQ,量关系 ,并给予证明 ;在 F与 AQ 中（）如图3,当点 P 在线段 A （或 AB) 得延长线上时,此时（ 2)中得结论就是否成立 ?请画出图形并给予证明。 F DAQ （ A A), QF=D,【解答】 解 :(1）A BF,QE= F， AE P,EQ 就是直角三角形EF 斜边上得中线, E=QF=QD ，即

13、 QE=QF.(3） (2) 中得结论仍然成立,证明 :如图 3，延长 E、 F交于 ,为中点, Q=BQ, F CP， AE CP, BF AE, 1=，。 (2013?涪陵区校级模拟）如图，A E 得顶点在 ABC 得 BC 边上 ,在AQE 与 BQD 中，且 BD= A B， BA = CAE,AC=AE ,求证： BC DE. AQE B D （ AS),QE QD ，【解答】 证明 : A D= AD ， CP， AB=AD, Q 就是斜边 DE 上得中线 , B = C，QE=Q 。 BA C= + AC ，即 BA = DAE,在 A C 与 ADE 中，。 BC AD （ S

14、AS），BC E.8（. 013?庐阳区校级模拟） 如图，将两个全等得直角三角形 ABD 、ACE拼在一起（图 1).BD 不动，（1）若将 ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接DE,M 就是 DE 得中点 ,连接 M AD B D= MAE CA ,即 BAM CA ，在 ABM 与 CM 中 , BM CM( AS ）, MB ；( )MB= C。理由如下：如图3，延长 D 、 A 相交于E，延长 E交 AD 于， D=BE ,C CF,就是 ED 得中点，就是DE得中点 , MB AE ， MBC= CE，、 MC （图 2),证明： M =MC.同理： A , CM BAD,（2）若将图

15、 1 中得 E 向上平移， E 不变 ,连接 DE,M 就是 D得中点，连接 B 、 M (图 3),判断并直接写出MB 、 C 得数量关系。 BA = CAE,（3）在 ( )中 ,若得大小改变（图4） ,其她条件不变，则（ MBC= B M,2)中得MB 、 MC 得数量关系还成立吗?说明理由。 M =MC ；【解答】 证明 :(1) 如图，连接A ,由已知得 A D ACE,（ )MB=M 还成立。如图 4，延长 BM 交 CE 于 F， D， AB=AC ， A = AE, CE BD,MD M , D = MEF, B =MFE ， MA = MAE ，又 M 就是 D得中点 , D

16、=ME,在MDB 与ME 中， , MD MEF （ AAS) ，MB= , E 90， B F= 0， B=MC 。【解答】 证明：（ 1)延长 EB 到 G，使 B F，连接 AG 。 ABG= BC D 90，AB= ，9。（ 20 2?昌平区模拟 )(1) 如图 ,在四边形A C中， AB AD, B= ABG A .=90，、分别就是边B 、 CD 上得点，且ED。 AG=AF, 1= 2。求证： F=BE+F ； 1+ 3= 2 3 EA = BAD. E= EAF.（）如图，在四边形ABCD 中 ,AB=A , B+ D=180 ,、 F 分别就是又 A =AE,边、 CD 上得

17、点 ,且 EAF= B D，（ 1)中得结论就是否仍然成立？ AE AEF EG=EF。（3) 如图 ,在四边形A C中 , =AD ， + ADC=18 ,、F 分别就 EGB BG 。是边 BC、 CD 延长线上得点，且EA = BAD ，(1)中得结论就是否仍然 EF=BE+FD成立？若成立，请证明；若不成立,请写出它们之间得数量关系,并证明。（ 2)( )中得结论 F=BE+FD 仍然成立(3）结论 E BE FD 不成立 ,应当就是EF=B D证明：在 BE 上截取 G，使 BG DF，连接 AG.（ 2009?沈阳 )将两个全等得直角三角形A 与 D E 按图 方式摆放 ,其中 C

18、 = EB 90， A= D 30，点 E 落在 AB 上， D所在直线交 AC 所在直线于点。(1)求证： F+EF DE;(2）若将图 中得 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角,且 0 60，其它条件不变，请在图 中画出变换后得图形,并直接写出您在(1)中猜想得结论就是否仍然成立;（ 3）若将图 中得 DB 绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 6 B+ ADC=180 ， D + DC=180 ，8 ,其它条件不变,如图 您认为（ 1）中猜想得结论还成立吗?若成立， A F。写出证明过程;若不成立，请写出AF 、 EF 与 DE 之间得关系 ,并说明理由。 AB=A , AB ADF. B

19、AG= DAF ， G=A BAG+ EAD DAF AD E F= AD GAE= AF 。A =，【解答】 ( )证明 :连接 BF( 如图 )， AEG AEF. ABC DBE( 已知） , G=E BC=BE ，AC DE 。E =BE G ACB DEB=90 ，EF=B FD. BCF= BE =0. BF=BF, Rt B C Rt FE C EF。又 A +CF C， AF+E =D 。（2) 解：画出正确图形如图 ( ）中得结论 F+EF= 仍然成立；（3）不成立 .证明：连接B ， ABC DBE, BC=BE ， AC = E 0， F 与 BEF 就是直角三角形，在

20、RtBCF 与 RBEF 中， B F BE （），C EF； BC DBE ，AC=D ,AF=AC+ C=D +EF.11。（ 20 5?菏泽 )如图，已知 ABC= 0,D 就是直线 AB 上得点 , D BC. ( )如图， 过点 A 作 AF A ，并截取 A D，连接 DC 、DF、 F，判断 C F 得形状并证明 ;（ 2)如图 2,就是直线B上一点，且C =B，直线 E、 C相交于点P， AP得度数就是一个固定得值吗?若就是，请求出它得度数；若不就是，请说明理由.【解答】 解 :(1） D 就是等腰直角三角形，理由如下: A A ， ABC=90 , FAD= D C,在 F

21、D 与 D 中，, D DBC(S S), FD=D ， D 就是等腰三角形， F D C， DA= DC， DC DCB 90, BD + DA ， CDF 就是等腰直角三角形；(2) 作 AF A 于，使AF=B ，连结DF,CF,如图 , .（2 6?常德 )已知四边形ABCD 中， B AD, AD, 连接过点 A 作 A AC ，且使 AE= C，连接 E,过作 AH CD 于交AC ，BE AD ， ABC=90 ,于 F。 FA =DB ，（ 1）如图1，当在CD得延长线上时， 求证： ABC ADE ；BF=在FAD 与 BC 中，；,(2)如图2,当 E不在得延长线上时,BF

22、 EF 还成立吗？请证明您得结论。 FAD DB (SAS），FD=D ， CD就是等腰三角形， FAD DBC ， D = DCB, B C DCB=90 ,【解答】 证明：（ 1) 如图 1, DC F 90， AB AD ， AE , DF 就是等腰直角三角形,90， AE=90 ， FCD=45 ， 1=，A CE，且 AF CE，在 BC 与 ADE 中 ,四边形 FCE 就是平行四边形, F， AB A E(AS); A D= F =45. 如图 1, B ADE, AEC= 3,在 RtACE 中， A C=90 ， B E , H D,AE=AC ，CH=H , A E=B =

23、9 ，B FH, =1, F=EF；(2）结论仍然成立,理由就是：如图 2 所示 ,过 E 作 N H,交 BA 、 CD 延长线于M 、 N， CA =90， BAD=9 , + =9 ， 1+ CA = ， 2= CAD ，MN AH ， 3= HAE, AC C 90, CAH+ =9 ， AC = AE ， 3 ACH ，在MAE 与D C 中 , M E DAC(A A ）， A D ， A =A ， AB A , AF ， =1， F=EF. 3（ 5 春 ?鄄城县期末 )如图 1， ABC 中， BAC ,AB=A ,AE 就是过点得一条直线，且点B,C 在 AE 得异侧 ,B

24、AE 于点 D, AE 于点(1） B =DE+CE 成立吗 ?为什么 ?(2)若直线 E 绕点 A 旋转到如图2 位置时，其她条件不变,BD 与 E,CE 关系如何？请说明理由。【解答】 解： ( )BD DE+CE 成立， BA =9 ， BD A ,C AE, BD AEC=90 , A D+ AE= 0, CA + BAE=9 AB = C E， =，在 B与 CAE 中 ,， ABD AE(A S）, BD=AE,AD CE， AE= D+DE, BD= CE；(2) D=D CE； BAC=90 ,BD E， E E, BDA= AE = ， AB + A = D B+ A ， A

25、 D CAE ， AB=AC,在ABD 与 E 中， , ABD C（ AAS) ， BD=AE ， E， D E=BD+C ,D =BD+CE, D= EC .14.（ 2015 秋 ?微山县期末）已知：在 ABC 中 , A B=90 ,AC=B ，点就是 B 得中点，点 E 就是 B 边上一点。(1）直线 BF 垂直于 CE 于点 ,交 CD 于点 (如图 1）。求证： E=G；(）直线 AH 垂直于 E，垂足为 H, 交 CD 得延长线于点 M （如图 2） .那么图中就是否存在与 A 相等得线段 ?若存在，请写出来并证明； 若不存在，请说明理由 .【解答】 解 :(1)点就是AB 得

26、中点， AC=BC ， ACB= 0, CDAB, ACD= B D=45 , CAD= B =45 . CAE= BCG。 BF CE， C G+ BCF 9 。 ACE+ BCF=90 , CE= C G。在 AEC 与G中， AE GB （ ASA ）。 AE=C .(2)图中存在与AM 相等得线段，AM=C .证明 : CH HM ， D ED ， CMA+ MCH= ， + MCH=90 . CMA BEC.AC=BC ， A CBE 5,在C M 与 BCE 中 , M BCE （ AAS).AM C。 .( 015 秋 ?丰润区期末 )如图，在 AB 中， AC 9 ,A BC,

27、 为 AC 边得中点，过点作 AD B 交 E 得延长线于点 D, 平分 ACB 交 D 于点 G,F 为 AB 边上一点，连接 C，且 F= C。求证 :（ ) =C ;(2） G= ；（3) 直接写出 CF 与 DE 得数量关系 .【解答】 证明： (1） AC 90, B， G 平分 CB, C F BA=45 , B = AC =45 ， BCG= CAF CB =ACF ， AC= C BC AF, BG=CF;（ 2）连接 A ，如图所示:在 A G 与BCG 中 ,， C BC ， G=B ， BA= GAB ， D AB D=90 GA=9 GA GAD, G D .由 (1）

28、BG= F， DG=CF ；(3）如图 2,延长 CG 交 AB 于 , C平分 AC ， AC=BC ， CHAB,CH 平分 AB ， AD B, AD CG， D E C,在 A E 与 CE 中 , ADE GE（ AAS) ， D =G，即 DG 2，A G， CH 平分 AB ，DG=BG ， AFC CG，CF=BG , CF=2 E16.(2015 秋 ?宜宾期末 )如图，在 BC 中， AB=AC,D 、 E 在直线上， ADB= C BAC 。（1）求证： DE DB C;(2）若 BA =1 ,A 平分 A ，且 =AB, 连接 FD、FE,请判断DE 得形状 ,并写出证

29、明过程.【解答】（ 1）证明 : DB= A C= AC, ADB+ B AD= BAD+ B +E C=180， B EAC,在 B与 CE 中 ,， AB EC，B = E, DE=A +AE, E=D +EC;(2)EF 为等边三角形理由： A 与 ACF 均为等边三角形 BF=AF=AB=AC=CF, B F= CAF= ABF= 0， DA= A C= A =120, DBA+ D = CA DAB 6 , B = A .在 BD 与CE 中,， DB CE (AAS ）， D=AE ， BA= CA AB = A =6 , D A BF= E+ CAF, D F= FE.在 DF

30、与 A F 中，, DBF EAF(SAS ）， DF= , BFD AFE, DFE= DFA+ AFE= DFA BF 0, EF 为等边三角形。17。 (2015 秋 ?南陵县期末）如图，已知点O 到 ABC 得两边 A 、 AC 得距离分别就是OD 、 O ,且 O=O ,OB=OC.( )如图 1,若点 O 在 BC 边上，补全图形并求证：B=AC ；（2）如图 2,若点 O 在 ABC 得内部，补全图形并求证：AB=AC.【解答】 (1）证明 :如图所示：O AB,OE C， E，分别就是垂足 , OD =O =90 ,在 RtOBD 与 RtCE 中， ,Rt OBD （ HL)

31、 ， B=（全等三角形得对应角相等)，AB AC( 等角对等边 )；(2）证明：如图2 所示 :OD B, EAC,E ，F 分别就是垂足， ODB= OEC 90，即 C= A , A =C.18.(2 15 春 ?金堂县期末 )（ 1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型得基本图形。如图（1），已知：在 BC 中 , BAC=90 ，= ,直线 l 经过点 A ，BD 直线 l,CE 直线 l，垂足分别为点D 、证明 :DE CE.(2)组员小刘想 ,如果三个角不就是直角,那结论就是否会成立呢?如图（ 2)，将（1) 中得条件改为： 在ABC 中 ,A =C，D、A 、E 三点

32、都在直线m 上,并且有 DA= A C，其中 为任意锐角或钝角请问结论 E=BD CE 就是否成立？如成立,请您给出证明;若不成立 ,请说明理由（ 3)数学老师赞赏了她们得探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题 :如图 (3）,过 ABC 得边 A 、AC 向外作正方形ABDE 与正方形 ACFG ，在 tOBD 与 R OCE 中， , H 就是 BC 边上得高，延长H交 E于点 I ，求证 :I 就是 EG 得中点 Rt OBD Rt CE（ HL ）， OB =OCE（全等三角形得对应角相等）,又 B=OC ， BC OCB ， BO+ OBC= OC + OCB,【解答】 解 :（

33、 )如图 1,BD 直线， CE直线 l ， BD = A= 0， BA =0, BA +CAE 90 AD+ ABD=90 , CA =ABD在 DB 与 EA 中，,ADB CE（ A ） ,AE B ,A =C ，D =AE+AD=BD C；( ) E=BD+CE.如图 2，证明如下： DA BAC ， DBA+ BAD= B D+ CAE= 80 ， D A= CAE ，在ADB 与 E中 .。 A B CEA( S), AE BD, D= ， E AE+AD=BD+C (3）如图 3,过 E 作 HI 于 M ，GN H得延长线于N。 EM = NI 90由 (）与（ 2)得结论可知

34、 EM=AH= N EM= N在 EM 与 NI 中，, MI GNI( AS) ， EI=GI就是 EG 得中点 9（2015 秋 ?文安县期末 )已知 A C 为等边三角形， 点 D 为直线 B 上一动点（点 D 不与点 ,点 C 重合）。以 AD 为边作等边三角形ADE, 连接 C（ 1）如图 1，当点 D 在边 C 上时 求证： A D A E； 直接判断结论BC=DC CE 就是否成立 (不需证明 )；( )如图 2,当点在边 BC 得延长线上时，其她条件不变，请写出BC ， ABD ACE( AS) C,CE 之间存在得数量关系 ,并写出证明过程 . BD= 。 BD=BC+CD

35、，【解答】 解 :（ 1) AB 与 AD 就是等边三角形， C =BC+CD ； BAC= AE=60 ， A =B =A ,D DE=AE 20 (2 5 春 ?山亭区期末 ) 如图 1，将一块等腰直角三角板ABC 得直角 BAC C= D E DA ，顶点 C 置于直线 l 上 ,图 2 就是由图抽象出得几何图形,过 A 、B 两点分别 BA EAC 。作直线 l 得垂线 ,垂足分别为 D 、 E。在ABD 与 CE 中（ 1）ACD 与 CB 全等吗 ?说明您得理由 .，（ 2)猜想线段 AD 、 E、之间得关系。 （直接写出答案） BD ACE （SAS）。 BD ，【解答】 证明：

36、 (1） D E， BE C，B =CE AD = C B=90 ， C + D,又 AC = 0，BC=CE+CD 。 C = BE= 0 E B.(2） BC CD=CE 在 A D 与C E 中, AB 与 ADE 就是等边三角形 , CD BE(A )； BAC= DAE=60 ,AB= C C，AD D =AE （ 2）AD=BE D，理由如下 : B C+ C= D E+ DAC ， AC CBE， B D= C. CD= E， A =CE，在ABD 与 CE 中又 CE= D D ， D= E。21 ( 01秋 ?迁安市期末）在 ABC 中 , B=AC, 点就是射线 CB 上得一动点 (不与点 B、C 重合）,以 D 为一边在 AD 得右侧作 AD ,使 AD=AE ， DAE= B C，连接 ,设 A =， D =（1）如图 1，当点在线段C上，且= 0时，那么= 12 度 ;(2) 当 6 。 如图 2,当点在线段CB 上 ,求 与 间得数量关系; 如图 3，当点 D 在线段 B 得延长线上，请将如图补充完整,并求出 与 之间得数量关系。【解答】 解：（） DA = B C， BAD=