第九节多面体与球

1、第九节多面体与球,1多面体与正多面体 (1)多面体：若干个 围成的几何体叫做多面体 (2)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的，这样的多面体叫做凸多面体 (3)正多面体：每个面都是有相同边数的，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体,平面多边形,同一侧,正多边形,2球 (1)球面和球的概念 半圆以它的 为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做，简称球 球也可以看作是与定点(球心)的距离定长(半径)的所有点的集合(轨迹) (2)球的截面的性质 用一个平面去截一个球，截面是一个圆面； 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做 ，被

2、不经过球心的平面所截得的圆叫做；,直径,球体,等于,大圆,小圆,球心和截面圆心的连线； 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系： (3)球面距离 经过球面上两点的的长度，叫做两点的球面距离 (4)球的表面积与体积 半径是R的球的表面积S球面；体积V球 .,垂直截面,R2d2r2.,大圆在这两点间的劣弧,4R2,R3,(1)要分清球和球面的区别球面是曲面，是球的表面，是空间中与定点的距离等于定长的点的集合，球是球体的简称，是几何体，是空间中与定点的距离等于或小于定长的点的集合 (2)球面距离(如A、B两点距离)的计算方法： 计算线段AB的长； 计算AOB； 求过A、B的大圆的

3、劣弧长(即A、B两点间的球面距离),1下列结论正确的是() A过球面上两点，可确定球的一个大圆 B过球直径的三等分点的平面不可能平分球 C过球面上三点，可确定一个大圆 D若A、B、C是球面上三点，则过三点的球的截面圆周是ABC的外接圆 【答案】D,2(2008年湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为(),【答案】B,3已知正方体的外接球的体积是 ，则这个正方体的棱长是(),【答案】D,【答案】2,5某地球仪上北纬30纬线的长度为12 cm，该地球仪的半径是_cm，表面积是_cm2. 【解析】如图所示， 2r12，r6(cm) 设地球仪半径为R，,在北纬45圈上有A

4、、B两点，沿该纬线圈上A、B两点的劣弧长为 R(R为地球半径)，求：A、B两点的球面距离 【思路点拨】先据已知条件找出北纬45圈的小圆半径与地球半径的关系，再求出AB的长，进而求距离,球O的球面上有三点A，B，C，BC5 cm，BAC30， 过A，B，C三点作球O的截面，球心到截面的距离为12 cm. (1)求截面的面积； (2)求球的表面积； (3)求球的体积 【思路点拨】画示意图，求出小圆半径及球的半径,【解析】(1)设过A，B，C三点的外接圆的半径为r，球的半径为R， 截面的面积为r225(cm2) (2)球心到截面距离为12 cm， R2r2122，R212252132， R13. S

5、球4R2676(cm2),解球的截面问题，关键是利用球的截面圆半径、球心到截面的距离、球半径三者之间的关系建立等式球的表面积和体积都是关于球半径的函数，因此要注意运用函数与方程的思想方法去处理,1在球心的同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积和体积,球O的截面BCD到球心的距离等于球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是截面圆圆周上一点，CA是球O的直径 (1)求证：平面ABD平面ADC； (2)如果BDDC 2，求二面角BACD的大小,【解析】(1)证明：如图，设截面圆BCD的圆心为O1，则OO1面BCD.连结BD. 在ABC中，O，O1

6、分别为AC，BC的中点，OO1綊 AB， AB平面BCD， ABCD.又BC是O1的直径， CDBD，CD平面ABD， CD面ACD 平面ABD平面ADC.,(2)由(1)知，AB平面BCD， 平面BCD平面ABC. 作DEBC于E，则DE平面ABC， 作EFAC于F，连结DF.由三垂线定理知DFAC， DFE是二面角BACD的平面角 设球的半径为2，则OO11，AB2，,二面角BACD的大小为60.,解决有关的外接球问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这个截面通常指圆锥的轴截面，球的大圆，多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出几何

7、的主要位置关系和数量关系,2四棱锥ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC，AEBE. (1)求证：A、B、C、D、E都在以AB为直径的同一球面上； (2)若CBE90，CE ，AD1，求B、D两点的球面距离,【解析】(1)证明：连结BD，因为AD底面BCDE，ACBC，AEBE，所以ABC、ABE、ABD均是以AB为斜边的直角三角形，从而点A、B、C、D、E都在以AB为直径的同一球面上 (2)取AB的中点O，则O为球心，因为CBE90，DE为AE在面BCDE上的射影，AEBE，所以DEBE，,在高考中，主要考查球的性质、球面上两点间距离、球的表面积、体积的计算以及球的内接多面体和外切多面体等问题，多以选择题和填空题的形式进行考查,1(2009年陕西卷)如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO1 ，A、