IIR数字滤波器的原理及设计

1、第6章 IIR数字滤波器的原理及设计 6.1 概述 6.1.1 IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数 我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变因果系统，其差分方程可以写为： （6.1）,1,进行z变换，可得： 于是得到IIR数字滤波器的系统函数： (6.2),2,6.1.2 IIR 数字滤波器的设计方法 对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到： (6.3) 其中ci 为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。,3,1. 零极点位置累试法 IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处

2、出现谷值, 因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。,4,2. 借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器 模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。,5,而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。,6

3、,3. 用优化技术设计 系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。,7,第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。,8,这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计(CAD)。 第一种方法的算法简单、设计粗

4、糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。,9,6.1.3 借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。,10,6.2 模拟低通滤波特性的逼近 模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系

5、统函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。,11,模拟系统的频率响应Ha(j)是冲激响应ha(t)的傅里叶变换，Ha(j)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。 图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波器的指标，是以平方幅度特性|Ha(j)|2来给出的。,12,c 是截止频率，当0c时，|Ha(j)|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近。,13,6

6、.2.1 Butterworth低通滤波特性的逼近 对于Butterworth滤波器有： （6.4） 满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B 型滤波器的阶次，为截止频率。,14,6.2.1.1 B型滤波特性 1. 最平坦函数 B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,15,2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当=c 时， = ，而 因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。,16,图6.1 Butterworth低通滤波器的平方幅度特性,17,3. N的影响 在

7、通带内，01，故N越大， 随增大而下降越快。,18,因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过c 处的半功率点。离c越近，幅频特性与理想特性相差越大。,19,6.2.1.2 由得到Ha(s), B型滤波器的极点 由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有： ，令s=j, 则有： ， 而 (6.5) 由(6.4)式和(6.5)式有： 用s代替上式中的j: (6.6),20,图 6.2 阶次N对B型特性的影响,21,(6.6)式的极点为： p=0,1,2N-1 作为 1的2N次方根，p 均匀地分布在单位圆上，幅角间隔为/N ；它们关于实轴对称，却没有一个

8、在实轴上。显然，将 的模乘上，再将其按逆时针方向旋转，就得到sp。因此，sp均匀地分布在半径为的圆周上，其位置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2N个极点sp在s平面的左、右两半平面各有N个。,22,这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平面的N个极点sk（k=0,1,N-1)分给Ha(s)，这样，右半平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有： (6.8),23,这个式子中的常数 是为了使(6.5)式满足而加入的。 这N个极点s0、s1、sN-1在s 平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当N

9、为奇数时, 有一个在实轴上 (为 - )。,24,6.2.1.3 一般情况下的B型低通滤波器,图 6.3 一般情况下低通滤波器的设计指标,25,此时，应该将角频率 标称化，通常以1为基准频率，则标称化角频率为：=/1 。于是通带边界的标称化角频率为 1=1，并且在通带有01，在过渡带和阻带则有 1。 以下为了方便起见，仍用不带撇的表示标称化的角频率。频率标称化后，B型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的参数和N都需要由图6.3给出的指标来确定。,26,（6.4）式可以写成： (6.10) 当=1=1时，上式为： (6.11) 令 (6.12) 则由(6.11)式可得：,27,当

10、 时有： (6.13) 故 (6.14) 由(6.14)式可求出N，再将其代入(6.12)式，即可求 得 。,28,6.4 冲激响应不变法 本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数H(z)。s是模拟复频率，Ha(s)也是模拟滤波器的冲激响应ha(t)的拉氏变换。,29,6.4.1 冲激响应不变法的变换方法 模拟滤波器的系统函数通常可以表示为： (6.62),30,而且一般都满足MN，因此，可以将上式化为部分分式之和的形式，即： (6.63) 对(6.63)式两边进行拉氏反变换，可得： (6.64),31,令数字滤波器的单位抽样响

11、应： (6.65) 对上式进行z变换，便得到数字滤波器的系统函数：,32,上式中的幂级数收敛应该满足条件： 即 实际上，只要将模拟滤波器的系统函数 Ha(s)分解为(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。,33,这一变换方法的关键是：h(n)=Ts ha(nTs)，此关系称为冲激响应不变准则，由此准则出发所得到的变换方法就叫做冲激响应不变法。冲激响应不变法所得到的数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，这是这种变换方法的一大优点。,34,6.4.2 模拟滤波器与数字滤波器的频率响应之间的关系 已经知道，抽样信号的频谱 是原模拟信号的频谱 的周

12、期延拓，即 (6.67) 而 (6.68),35,其中 ，和 分别为数字角频率和模拟角频率。也就是说，离散信号的频谱既可表示为数字频率的函数也可表示为模拟频率的函数。又知道，对于离散信号的傅里叶变换，有： 或： (6.69) 由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有： (6.70),36,(6.70)式左边表示离散信号Tsx(n) 的频谱，而Tsx(n) 是对模拟信号Ts的抽样。 模拟滤波器的冲激响应ha(t)的频谱Ha()(即前面的Ha(j)就是模拟滤波器的频率响应。如果对ha(t)抽样，则由(6.70)式可知，有： (6.71),37,令h(n) = Tsha(nTs)，并以表示h(

13、n)的频谱，也就是以h(n)为冲激响应的数字滤波器的频率响应，于是由(6.71)式可得： (6.72）,38,图 6.13 模拟滤波器频率响应的周期延拓,39,因此，用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率响 应 是原来的模拟滤波器的频率响 应 的周期延拓。 由图6.13可以看出，如果 被限制在 - 与 之间，则 在此区间内与 完全一致。,40,相反，如果 不被足够地限带，则 将产生混叠失真。采用冲激响应不变法得到的数字滤波器的频率响应都会有程度不同的混叠失真，而且，这种方法不能用于高通滤波器和带阻滤波器等需要保留高频成分的变换，这是冲激响应不变法的一大缺点。,41,6.4.3 z平面与s平面

14、的映射关系 对照(6.63)式和(6.66)式可知，s 平面的极点sk与z平面的极点 互相映射。将极点的映射关系推广，可以得到冲激响应不变法模拟s平面与数字z平面的映射关系，即： (6.73),42,令z=rej，s= +j，代入上式，得： ， 故有： （6.74） = Ts (6.75) (6.74)式表示了z平面的模r与s平面的实部之间的关系, 显然有：当 =0, r= 1；当 0, r 1；当 0, r1。,43,(6.75)式既表示了数字角频率与模拟角频率之间的关系，也表示了z平面的幅角与s平面的虚部之间的关系。由(6.75)式还可以知道，s平面上 由-/Ts到/Ts这一条状区域映射到

15、z平面上由-到的区域，即整个z平面；s平面上的水平线=-/Ts映射到z平面上的射线=-，而当这条射线按逆时针方向旋转时，对应的s平面上的水平线就向上平移。,44,上面所阐述的不仅是模拟域s平面与数字域z平面之间的映射关系，而且也是模拟滤波器的频率与用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率之间的关系。s平面与z平面的映射关系保证了将稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。,45,图 6.14 模拟复频率 s 与数字复频率 z 之间的映射关系,46,例6.6 用冲激响应不变法设计一个三阶 Butteworth数字低通滤波器，抽样频率为fs =1.2 kHz, 截止频率为 =400 Hz。 解：此数

16、字滤波器的截止频率： c =2fc =2400=800 弧度/s 这也是模拟滤波器的截止频率，于是可以写出模拟滤波器的系统函数:,47,其中 ， ， 现在进行部分分式分解，令 (*2),48,可以得到： 根据(*1)式和(*2)式，再将A、B、C代入，便得到：,49,上式中Ts =1/fs =1/1200（秒）。,50,6.5 双线性变换法 6.5.1 双线性变换关系的导出 模拟滤波器的系统函数 可以变换 为： 这里为了方便说明，已令M=N。,51,由此式可以看出，模拟滤波器的基本单元是积分器 ，因此，只要设法用某种数字网络来代替此基本单元，就能够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。 模拟滤波

17、器基本单元的系统函数为： 则其冲激响应为：,52,设有一信号(t0）输入到该积分器系统，则其输出也即对的响应为： 设0t1t2 ， 有： （6.76） (6.77),53,由于(6.76)式中t1- 0，故 ；同理，(6.77)式中 。因此有： 当t1趋于t2 时，有： 令t1=nTs-Ts ，t2=nTs ， 则有:,54,令 , 则得到差分方程： (6.78) 这样，我们就将模拟积分器转变成了数字网络，上式就是此数字积分器的差分方程。对它进行z变换，得：,55,于是可得到此数字积分器的系统函数： （6.79） 用此数字基本单元来代替模拟滤波器的基本单元1/s, 就可以得到与模拟滤波器性能相

18、近的数字滤波器。,56,由上面的推导有： 即： (6.80) 于是有： (6.81),57,这种变换关系叫做双线性变换。如果已知模拟滤波器系统函数Ha(s)，则相应的数字滤波器的系统函数为： (6.82),58,6.5.2 s平面与z平面的映射关系 用s=+j, z=rej 代入(6.81)式，可以得到： (6.83) (6.84),59,s平面 z平面 0，即右半平面 r1, 即单位圆外 =0，即虚轴 r=1, 即单位圆 0，即左半平面 r1, 即单位圆内,60,因此，用双线性变换法，稳定的模拟滤波器导出的数字滤波器也必定是稳定的。但是，与冲激响应不变法不同的是，在双线性变换下，模拟滤波器的

19、复频率s与相应的数字滤波器的复频率z之间的映射是一一对应的关系。,61,图 6.16 双线性变换法s平面与z平面之间的映射关系,62,6.5.3 频率预畸变 下面讨论s平面的虚轴与z平面的单位圆的映射关系，也即模拟滤波器的角频率与相应的数字滤波器的角频率之间的关系。在(6.84)式中令 = 0 ，便可得到： 或 （6.85）,63,图 6.17 与之间的非线性关系,64,与的关系是非线性的，但是，s平面上的虚轴一一对应地映射到了z平面单位圆的一周之上，因此，采用双线性变换法，不存在频域混叠失真的问题。 由双线性变换所引起的模拟滤波器频率与数字频率之间的非线性关系，使得所得到的数字滤波器的相位频

20、率特性产生失真；,65,但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按照(6.85)式转变成相应的模拟频率，再根据这些频率指标来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键频率就会正好映射到所要求的位置上。,66,6.5.4 双线性变换法的特点 1模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数Ha() 无限带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。,67,2与冲激响应不变法中模拟频率与数字频率之间的线性关系=Ts不同的是，双线性变换法中模拟滤波器的频率与所转换成的数字滤波器的频率之间是非线性关系，