大一上学期高数期末考试题

1、;.大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题 (本大题有 4 小题 ,每小题 4 分, 共 16 分)1.设 f ( x )cos x ( xsin x ), 则 在 x0处 有 () .（ a） f (0)2（b） f (0)1（ c） f (0)0 （d） f ( x) 不可导 .设( x)1x ， (x)333，则当x1时（）2.1xx.（a） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（b） ( x)与 (x)是等价无穷小；（c） ( x) 是比 (x) 高阶的无穷小；（d） ( x) 是比 (x) 高阶的无穷小 .若 f ( x)x(2tx) f (t)dt ， 其中 f (

2、 x) 在 区 间 上 ( 1,1)3.0二 阶可 导且f ( x ) 0 ，则（） .（a）函数 f ( x) 必在 x0 处取得极大值；（b）函数 f ( x) 必在 x0 处取得极小值；（c）函数 f ( x) 在 x0 处没有极值，但点 (0, f (0) 为曲线 yf ( x) 的拐点；（d）函数 f ( x) 在 x0处没有极值，点 (0, f (0) 也不是曲线 yf ( x) 的拐点。设 f ( x )是连续函数，且f ( x )x21, 则 f ( x ) ()4.f ( t )dt0x2x 22（ a） 2（ b） 2（d） x 2 .（c） x 1二、填空题（本大题有4

3、小题，每小题 4 分，共 16 分）5.6.2lim ( 13 x ) sin xx 0.已知 cosx 是 f ( x) 的一个原函数 ,则 f ( x)cosx d xxx.lim(cos2cos22cos2n1 )7.nnnnn.12 x 2 arcsin x11 x 2dx8. 1.2三、解答题（本大题有5 小题，每小题8 分，共 40 分）9.设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy)1 确定，求 y ( x ) 以及 y (0) .;.;.1 x 710. 求 x(1 x 7 ) dx.xex，x01设 f ( x )求f ( x )dx11.2 x x 2 ， 0x1

4、31f ( x)12.g( x )f ( xt )dtlima设函数 f (x) 连续，0，且 x 0x，a 为常数 . 求g( x) 并讨论 g( x) 在 x0 处的连续性 .y(1)113.求微分方程 xy2 yx ln x满足9 的解 .四、 解答题（本大题10 分）14.已知上半平面内一曲线yy( x)( x0)，过点 (01,) ，且曲线上任一点m ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线 yln x 的切线，该切线与曲线 yln

5、x 及 x 轴围成平面图形 d.(1) 求 d 的面积 a；(2) 求 d 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积v.六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设函 数 f ( x ) 在0,1 上 连 续 且单 调 递减 ，证 明对 任意 的 q 0, 1 ，q1f ( x) d x q f ( x)dx.0017.设函数 f ( x) 在 0,f ( x ) d x0f ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0.证明：在 0,内至少存在两个不同的点1 ,2 ，使 f (1 ) f ( 2 )0.（提xf ( x )f ( x )dx示：设0）解答一、

6、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分 ,共 16 分 )1、 d 2、 a 3、 c4、c二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.e61( cosx ) 2c8.3. 6. 2x.7.2 .三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导;.;.ex y ( 1y)c oxys(xy) ( y)y ( x)exyy cos(xy)exyx cos(xy)x0, y0， y (0)110. 解： ux77 x6 dxdu原式1(1u)du1127u(1u)(uu)du7112ln | u1|)c(ln | u |71 ln

7、 | x7 |2 ln |1 x7 | c7710xe xdx12x x2 dx11. 解：f ( x)dx3300e x )11( x1)2 dxxd(03xe xex00cos2d (令 x1 sin )3242e3112. 解：由 f (0)0 ，知 g(0)0 。x1xtuf ( u )dug( x )f ( xt )dt0x( x0 )0xxf ( x)f (u)dug ( x)0( x0)x 2xf (u)dulim f ( x)ag (0)lim 0x2x0xx 02 x2xf ( x)f ( u)duaalim g ( x)lim0x2a2 ， g ( x) 在 x0 处连续。

8、x 0x02dy2yln x13. 解： dxxye2 dx2 dxc )x(e xln xdx1x ln x1xcx 239y( 1 )1 c,0 y1 x ln x1 x9，39四、 解答题（本大题10 分）;.;.yxyd x y14. 解：由已知且2，0将此方程关于 x 求导得 y2yy特征方程： r 2r20解出特征根： r11,r22.其通解为yc1e xc 2 e2 x2,c 21代入初始条件 y(0)y(0)1，得c133y2 e x1 e2 x故所求曲线方程为：33五、解答题（本大题10 分）yln x0115. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 )

9、，切线方程：( x x0 )x0y1由于切线过原点，解出 x0e ，从而切线方程为：xe11 ea(e yey)dy1则平面图形面积02v112（ 2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为13ev，则曲线 yln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 v21v2( ee y )2 dy0vv1v 26(5e212e 3)d 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12 分）q1qq1f ( x) d xqf ( x)dxf ( x) d xq(f ( x) d xf ( x)dx)16. 证明： 0000qq1(1q)f ( x) d xqf ( x)dx0q1 0,q 2 q,1f (1 )f ( 2 )q (1 q) f ( 1 ) q (1 q) f ( 2 )0故有：q1f ( x) d x q f ( x )dx00证毕。17.x证：构造辅助函数：f ( x)f ( t)dt , 0x。其满足在 0, 上连续，在 (0, )0上可导。 f ( x)f ( x) ，且 f (0)f () 0;.;.0f ( x) cosxdxcosxdf ( x) f ( x) cosx|0sin xf ( x)dx，由题设，有000f ( x) sin xdx0(