角形培优训练100题集锦

1、角形培优训练 1 00 题集锦-作者 : _-日期 : _三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角

2、平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三

3、角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图 abc中， ab=5，ac=3，求中线 ad的取值范围 .2、如图， abc中， e、f 分别在 ab、 ac上， de df，d 是中点，试比较be+cf与aef的大小 .efbdc3、如图， abc中， bd=dc=ac，e 是 dc的中点，求证： ad平分 bae.abdec4、以abc 的两边 ab、 ac 为腰分别向外作等腰 rt abd 和等腰 rt ace ，badcae 90 , 连接 de，m、n 分别是 bc、 de 的中点探究： am 与 de 的位置关系及数量关系（1）如图 当abc 为直角三角形时，探

4、究： am与de的位置关系和数量关系；（2）将图中的等腰 rtabd 绕点 a 沿逆时针方向旋转(0ab， ad平分 bac， p 为 ad上任一点，连结 pb、pc。求证： pc-pbac-ab。26、如图 2-7-5 ，从等腰 rtabc的直角顶点 c 向中线 bd作垂线，交 bd于 f，交 ab于 e，连结 de。求证： cdf=ade。27、在 abc 中， acb 90，ac bc ，直线 mn 经过点c，且 ad mn 于 d ， be mn 于 e.（1）当直线 mn 绕点 c 旋转到图 1 的位置时，求证： adc ceb；dead be；（2）当直线 mn 绕点 c 旋转到图

5、 2 的位置时，求证： dead be；（3）当直线 mn 绕点 c 旋转到图 3 的位置时，试问 de、ad 、be 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知： abc 为等边三角形， m 是 bc 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 a ，且 60o角的顶点 e 在 bc 上滑动，（点e 不与 b、c 重合），斜边和acm 的平分线 cf 交于点 f（1）如图（ 1）当点 e 在 bc 边中点位置时1) 猜想 ae 与 ef 满足的数量关系是。2) 连结点 e 与边得中点，猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想（）如图（）当点在边得任意位置时：此时和有

6、怎样的数量关系，并说明你的理由？aanffbecm图（ 1）be cm图（ 2）29、已知 ac 平分 man ， man=120o，（1）在图（ 1）中，若 abc= adc=90o，求证： ab+ad=ac。（2）在图（ 2）中，若 man=120o， abc+ adc=180o，则（ 1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？mmccddabnabn图（ 2）图（ 1）30、如图 1，在 abc 中，点 p 为 bc 边中点，直线 a 绕顶点 a 旋转，若点 b、 p 在直线 a 的异侧， bm 直线 a 于点 m ， cn 直线 a 于点 n ，连接 pm、 pn

7、.（1）延长 mp 交 cn 于点 e （如图 2），求证： bpm cpe ；求证：pmpn ；（2）若直线 a 绕点 a 旋转到图 3 的位置时，点 b、 p 在直线 a 的同侧，其它条件不变 . 此时 pm pn 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线 a 绕点 a 旋转到与 bc 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断pmpn 还成立吗？不必说明理由.题图 1题图 2题图 331、如图 1，已知正方形 abcd 的边 cd 在正方形 defg 的边 de 上，连接 ae，gc（1）试猜想 ae 与 gc 有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形 de

8、fg 绕点 d 按顺时针方向旋转，使点e 落在 bc 边上，如图 2，连接 ae和 gc你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.32、已知等边 abc 和点 p，设点 p 到 abc三边 ab、ac、bc的距离分别为 h1、h2、 h3， abc的高为 h。 “若点p 在一边 bc上（如图 1），此时 h3=0, 可得结论h1+h2+h3 h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点p 在 abc内（如图2）、点p 在 abc外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成aaa立， h1、 h2、h3 与 h 之间的关系如何？请写出你的猜

9、想，不需证ddeepdfebm p c b m f c b m c p33、在 rt abc 中， a90，ce 是角平分线，和高ad 相交于 f，作 fgbc 交ab 于 g，求证： aebgaegfbcd34、如图，点 o 是线段 ad 的中点，分别以ao 和 do 为边在线段 ad 的同侧作等边三角形 oab 和等边三角形 ocd，连结 ac 和 bd ，相交于点 e，连结 bc（1）求 aeb 的大小；bcbceedoaoad（ 2）若 oab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将ocd 绕着点 o 旋转（ oab 和 ocd 不能重叠），求 aeb 的大小 .35、如图，图1

10、等腰abc 与等腰dec 共点于c ，且bcaecd ，连结be、ad ，若 bcac 、 ecdc 求证：； 若将等腰dec 绕点 c 旋转至图 2、 3、 4 情况时，其余条件不变，be 与 ad 还相等吗？为什么 ? （请你用图 2 加以证明）36、如图 1， rt abc 中， abac ，点 d 、 e 是线段 ac 上两动点，且 adec ，apbd 于p ，交 bc 于点 q ，直线 bd 交直线 qe 于 f .判断 def 的形状，并说明理由 .如图 2，若点 d 、 e 是直线 ac 上两动点，其他条件不变，判断def 的形状，并说明理由 .37、如图 1，在等腰直角abc

11、 中，acb90 ， o 为 ab的中点， p 为 ab 上一动点， d 在 bc 上，且满足 pcpd ， deab 于 e . 求证： pode 如图 2，点 d 在 bc 的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？ 在图 3 中画出当点 p 在 ba延长线上的情况，并给出相应的证明； 还有什么样的情况？在图4 中画出图形，给出证明.38、已知，如下图， bac bca,bd cd,ceab,求证： ae 2ad。39、如图，已知 abc是等边三角形， e 是 ac延长线上的任意一点，选择一点d，使得 cde是等边三角形，如果m是线段 ad的中点， n是线段 be的中点，求证：cmn是等

12、边三角形。40、如图，在 abc 中，点 d、e 在边 bc 上， cae b，e 是 cd 的中点，且ad 平分 bae.(1) 当 bac=90时，求证：bd=ac.ce(2) 当 bac90时，是否还有 bd ac 成立？d若成立，请说明理由；若不能，也说明理由。ab41、已知：如图， abc 中，abc45， cdab 于 d ， be 平分abc ，且beac 于 e ，与 cd 相交于点 f，h 是 bc 边的中点，连结 dh 与 be 相交a于点dg fe（1）求证： bfac ；g（2）求证： ce1 bf ；bhc2（3） ce 与 bg 的大小关系如何？试证明你的结论42、

13、如图（ 1），一等腰直角三角尺gef 的两条直角边与正方形abcd 的两条边分别重合在一起现正方形 abcd 保持不动，将三角尺 gef 绕斜边 ef 的中点 o （点 o 也是 bd 中点）按顺时针方向旋转（1）如图（ 2），当 ef 与 ab 相交于点 m ，gf 与 bd 相交于点 n 时，通过观察或测量 bm ， fn 的长度，猜想 bm ， fn 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 gef 旋转到如图（ 3）所示的位置时，线段 fe 的延长线与 ab 的延长线相交于点 m ，线段 bd 的延长线与 gf 的延长线相交于点 n ，此时，（ 1）中的猜想还成立吗？若成立，请证

14、明；若不成立，请说明理由d fdfnccdcnfooogea gb eambab meg图 1图 2图 343、如图1，def的顶点d 在abc 的边bc 上（不与b 、 c重合），且bacedf180 ，abdf，acde，点 q 为 ef的中点，直线dq 交直线ab于点p .（1） 猜想bpd 与fdb 的关系，并加以证明；（2） 当def 绕点 d 旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2 中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）44、如左图， rt abc 中， c 90 ， acbc ，一个直角三角板的直角顶点放在 ab的中点 o

15、处，绕 o 点旋转，两直角边分别交ac 于 e ，交 bc 于 f .（1） 求证： oe of ， ce bf（2） 如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交ac 延长线于 e ，交 bc 延长线于 f .中的结论是否正确？说明理由 .45、如图，线段 ab ，点 p 在 ab 的下方， 若 pa pb ，在的 ab 上方作 a aap ，且 a aap ，作 b b pb ，且 b bpb ，连接 a b ，取 a b 的中点 o ，连接aob ，试判断aob 的形状并证明。若 pa 与 pb 不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。46、 如图 1，等腰直角aob 与等腰

16、直角cod 有公共顶点 o ，点 c 、 o 、 b 在同一条直线上，判断ac 与 bd 的关系并加以证明 . 如图 2，等腰直角aob 与等腰直角cod 有公共顶点 o ，点 c 、o 、 b 不在同一条直线上 .判断 ac与 bd 的关系并加以证明 .47、如图，aob 与cod 中， oaob ， ocod ，aobcod . ac 与 bd 交于点 p . 判断 ac 与 bd 的数量关系并加以证明. 猜想cpb 与aob 的关系并加以证明 .48、如图，在abc 中， be 是 ac 边上的中线， bf 平分ebc 交 ac 于 f ， apbf于 p ，分别交 be 、 bc 于

17、h 、 g 。猜想 he 与 cg 的数量关系并证明 .49、如图 1，锐角abc 中， abac ， cd / ab ， p 为边 bc 上一点， q 为直线 cd上一点，连接 ap 、 pq ，使得apqbac . 猜想线段 ap 与 pq 的数量关系并证明； 如图 2，若将“锐角 abc ”改为“钝角abc ”，其他条件不变，中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由 .50、如图， abc 中， abac ， cd / ab ， p 为边 bc 上一点， q 为射线 cd 上一点，且满足 pq pa 。请你在图中找出满足条件的点 q ，并探究apq 与 bac 的关

18、系 .51、如图所示， d 在 ac 上， abc、 ade 是等腰直角三角形， m 是 ec 中点。（1）探究：线段 md 、mb 的关系，并加以证明；（2）把 ade 绕点 a 逆时针旋转 135，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？（3）将 ade 绕点 a 逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段md 、mb 的关系，并加以证明。52、如图（ 1），已知正方形 abcd 在直线 mn 的上方， bc 在直线 mn 上， e 是 bc上一点，以 ae 为边在直线 mn 的上方作正方形aefg（1）连接 gd，求证： adg abe；（2）连接 fc，观察并猜测 fcn 的度数

19、，并说明理由；（3）如图（ 2），将图（ 1）中正方形 abcd 改为矩形 abcd， ab=a，bc=b（a、b 为常数）， e 是线段 bc 上一动点（不含端gg点 b、 c），以 ae 为边在直线 mn 的上方作矩形adadaefg，使顶点 g 恰好落在射线 cd 上判断当点 e由 b 向 c 运动时， fcn 的大小是否总保持变ffm becnm becn图图53、 在abc 中， b=60， ad ，ce 分别是 bac ， bca的平分线， ad ，ce 相交于点 f，请你判别并写出fe 与fd 之间的数量关系；并证明你的结论54、如图，四边形 abcd 是正方形， g 是 bc

20、上任意一点（点g 与 b、c 不重合）， ae dg 于 e， cf ae 交 dg 于 f请你经过观察、猜测线段fc、 ae、 ef之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由55、如图，在 abc 中， ab=ac ，d 是 bc 上任意一点，过 d 分别向 ab、 ac 引垂线，垂足分别为e、f 点过 c 点作 ab 边上的高 cg，请问de、 df、 cg 的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明56、已知线段 ac 上有一动点 b，分别以 ab 、 bc 为边向线段的同一侧作等边三角形abd 和bce连接 ae 、cd（如图），若 mn 分别为 ae 、cd

21、的中点（1）求证： am=cn ；（ 2）求 mbn 的大小；57、已知在 abc 中， bc=2ab, b=2c，求证： a=9058、如图， ad 是 abc 的中线， be交 ac 于 e，交 ad 于 f，且 ae=ef 求证： ac=bf 。59、如图，已知 abc ，ad 是 bc 边上的中线，分别以ab边、 ac 边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证ef=2ad 。60、如图，在梯形abcd 中， ad bc ，ab=ad+bc， m 是cd 的中点，求证：am 、bm 分别平分 dab 和 cba 。61、如图，在正方形abcd 中,点 e、f 分别为 bc 和 ab 的中点

22、， de 与 cf 交与 m 点，连接 am, 求证： am=ad 。62、（ 1）如图， b、 c、 e三点共线，且abc 与dce是等边三角形，连接bd 、ae 分别交 ac 、dc 于 m 、 n 点，且 ae 、bd 交于 p点，求 apb 的度数。（ 2）如果（ 1）题中的 b、c、 e三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求apb 的度数。（ 3）如果（ 1）题中 abc 与 dce都是等腰直角三角形时，其他条件不变，如下图所示，求apb 的度数。（ 4）如果 acb 与 dce 都是以 为顶角度数的等腰三角形时，其他条件不变，如上右图所示，求直线 ae 与直线 bd 夹角的度数

23、。63、在 abc中， abac，点 d是直线 bc上一点（不与 b、c重合），以 ad为一边在 ad的右 侧作 ade，使 adae，daebac，连接 ce（1） 如图1，当点 d在线段 bc上，如果bac90，则bce度；（2）设bac，bce如图2，当点 d在线段 bc上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点 d在直线 bc上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论64、正方形 abcd 的边长为过点 c 作 cf be，垂足为6，点 o 是对角线f，连接 of ，求ac、 bd 的交点，点of 的长e 在cd上，且de =2ce ，65、（ 1）如图，在边长为2 的菱形 abcd 中， a=60 ， m 是 ad 边的中点， n 是 ab 边上的一动点，将 amn 沿mn 所在直线翻折得到amn ，连接 ac，求 ac长度的最小值。（ 2 ）如图，在四边形abcd中， ad =4 ， cd=3 ， abc= acb= adc =45，求 bd 的长66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1， abo 和 cdo 均为等腰直角三角形 , aob=cod =90 若