图形的相似(易错题)

1、图形的相似易错题一解答题（共25 小题）1 abc中， a=90，点 d 在线段 bc上（端点 b 除外）， edb= c， bede于点 e，de与 ab相交于点 f，过 f 作 fmac交 bd于 m（ 1）当 ab=ac时（如图 1），求证： fm=md； fd=2be；（ 2）当 ab=kac时（k0，如图 2），用含 k 的式子表示线段 fd与 be之间的数量关系，并说明理由2如图，在 abc中， ab=8cm，bc=16cm，动点 p 从点 a 开始沿 ab 边运动，速度为 2cm/s；动点 q 从点 b 开始沿 bc边运动，速度为 4cm/s；如果 p、q两动点同时运动， 那么何

2、时 qbp与 abc相似？3晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线 nq移动，如图，当小聪正好站在广场的 a 点（距 n点 5 块地砖长）时，其影长 ad恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 b 点（距 n点 9 块地砖长）时，其影长 bf 恰好为 2 块地砖长已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 ac为 1.6 米， mnnq，ac nq，benq请你根据以上信息，求出小军身高 be的长（结果精确到 0.01 米）4如图，点 p 是菱形 abcd

3、对角线 ac上的一点，连接 dp并延长交 ab于点 e，连接 bp并延长交 ad 于点 f，交 cd延长线于点 g（ 1）求证： pb=pd（ 2）若 df：fa=1：2请写出线段 pf与线段 pd之间满足的数量关系，并说明理由；当 dgp是等腰三角形时，求tan dab的值5已知：如图， e 是矩形 abcd的边 cd上一点， bfae于 f试证明： ab? ad=ae? bf6如图，点 b 在线段 ac上，点 d、e 在 ac同侧， a=c=90， bdbe， ad=bc（ 1）求证： ac=ad+ce；（ 2）若 ad=3，ce=5，点 p 为线段 ab上的动点，连接 dp，作 pqdp

4、，交直线 be于点 q若点 p 与 a、b 两点不重合，求的值7已知=k，求 k 的值8如图，已知 ? abcd的对角线交于 o点， m为 od的中点，过 m的直线分别交ad于 cd于 p、q，与ba、bc的延长线于 e、 f（ 1）如图 1，若 efac，求证： pe+qf=2pq；（ 2）如图 2，若 ef与 ac不平行，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由9如图，在 abc中， acb=90， bc的垂直平分线 de交 bc于 d，交 ab于 e，f 在射线 de上，并且 ef=ac（ 1）求证： af=ce；（ 2）当 b 的大小满足什么条件时，四边形

5、acef是菱形？请回答并证明你的结论；（ 3）四边形 acef有可能是正方形吗？为什么？10已知，把 rtabc和 rt def按图 1 摆放，（点 c 与 e 点重合），点 b、c、e、f 始终在同一条直线上， acb=edf=90， def=45， ac=8，bc=6， ef=10，如图 2， def从图 1 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 cb向 abc匀速运动，同时，点 p 从 a 出发，沿 ab以每秒 1 个单位向点 b 匀速移动，ac与 def的直角边相交于 q，当 p 到达终点 b 时， def同时停止运动，连接 pq，设移动的时间为t （s）解答下列问题：（ 1） def在平

6、移的过程中，当点 d在 rt abc的边 ac上时，求 t 的值；（ 2）在移动过程中，是否存在 apq为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由（ 3）在移动过程中，当 0t 5 时，连接 pe，是否存在 pqe为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由11已知： abc在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为a（0，3），b（ 3， 4），c（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1 个单位长度）（ 1）画出 abc向下平移 4 个单位得到的 a1 b1c1 ，并直接写出 c1 点的坐标；（ 2）以点 b 为位似中心，在网格中画出 a2bc2，使 a2bc2 与

7、 abc位似，且位似比为 2： 1，并直接写出 c2 点的坐标及 a2bc2 的面积12已知，（1）求的值； （ 2）若，求 x 值13如图，已知点 f 在 ab上，且 af：bf=1：2，点 d 是 bc延长线上一点， bc： cd=2： 1，连接 fd与ac交于点 n，求 fn： nd的值14如图，直线 l 1 、l 2、l 3 分别交直线 l 4 于点 a、b、c，交直线 l 5 于点 d、 e、 f，且 l 1l 2 l 3，已知ef：df=5：8，ac=24（ 1）求 ab的长；（ 2）当 ad=4，be=1时，求 cf的长15点 d 为 rt abc的斜边 ab上一点，点 e 在

8、ac上，连接 de，cd，且 ade=bcd，cfcd交 de的延长线于点 f，连接 af（ 1）如图 1，若 ac=bc，求证： afab；（ 2）如图 2，若 acbc，当点 d 在 ab上运动时，求证： afab16如图，在 abc中， bcac，点 d 在 bc上，且 dc=ac， acb的平分线 cf交 ad于 f，点 e 是 ab的中点，连接 ef（ 1）求证： 2ef=bd，（ 2）四边形 bdfe的面积为 6，求 abd的面积17已知： rt oab在直角坐标系中的位置如图所示， p（3，4）为 ob的中点，点 c 为折线 oab上的动点，线段 pc把 rtoab分割成两部分在

9、图上画出所有线段 pc，使分割得到的三角形与 rt oab 相似，并直接写出点 c 的坐标18如图，在平面直角坐标系中，点a， b 的坐标分别为 a（ 2， 4），b（4，0）（ 1）以原点 o为位似中心，把线段 ab缩小为原来的 ；（ 2）若（ 1）中画出的线段为 ab，请写出线段 ab两个端点 a、 b的坐标；（ 3）若线段 ab上任意一点 m的坐标为（ a，b），请写出缩小后的线段 ab上对应点 m的坐标19如图，已知直线 l 的函数表达式为y=x+8，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 a、b 两点，动点 q从b 点开始在线段 ba上以每秒 2 个单位的速度向点 a 移动，同时动点

10、p 从 a 点开始在线段 ao上以每秒 1 个单位的速度向 o点移动，设点 q、p 移动时间为 t 秒（ 1）求点 a、 b 的坐标（ 2）当 t 为何值时，以点 a、 p、 q为顶点的三角形与 aob相似？（ 3）求出（ 2）中当以点 a、p、q为顶点的三角形与 aob相似时，线段 pq的长度20已知 x=，求 x 的值21如图，在矩形 abcd中， ad=4cm，ab=m（ m 4），点 p 是 ab边上的任意一点（不与点a、b 重合），连接 pd，过点 p 作 pqpd，交直线 bc于点 q（ 1）当 m=10时，是否存在点 p 使得点 q与点 c 重合？若存在，求出此时 ap的长；若不

11、存在，说明理由；（ 2）连接 ac，若 pq ac，求线段 bq的长（用含 m的代数式表示）；（ 3）若 pqd为等腰三角形，求以 p、q、 c、d为顶点的四边形的面积 s 与 m之间的函数关系式，并写出 m的取值范围22在 abc中， acb=90， ac=4，bc=3，d 是边 ac上一动点（不与端点a、 c 重合），过动点 d的直线 l 与射线 ab相交于点 e，与射线 bc相交于点 f，（ 1）设 cd=1，点 e 在边 ab上， ade与 abc相似，求此时 be的长度（ 2）如果点 e 在边 ab 上，以点 e、 b、 f 为顶点的三角形与以点 e、a、d 为顶点的三角形相似，设c

12、d=x，bf=y，求 y 与 x 之间的函数解析式并写出函数的定义域（ 3）设 cd=1，以点 e、b、f 为顶点的三角形与以点 e、 a、 d为顶点的三角形相似，求 s ebf： s ead的值23如图，在梯形 abcd中，adbc，ab=cd=bc=6，ad=3点 m为边 bc的中点，以 m为顶点作 emf= b，射线 me交腰 ab于点 e，射线 mf交腰 cd于点 f，连接 ef（ 1）求 ： mef bem；（ 2）若 bem是以 bm 腰的等腰三角形，求 ef的 ；（ 3）若 efcd，求 be的 24如 ， n+1 个 2 的等 三角形有一条 在同一直 上， b2d1c1 的面

13、s1， b3d2c2 的面 s2 ， bn+1dncn 的面 sn，通 算 s1，s2，的 ， 出 sn 的表达式（用含 n 的式子表示）25如 ，在 abc中，e 高 ad上的 点， f 是点 d关于点 e 的 称点（点 f 在高 ad上，且不与 a、 d 重合） 点 f 作 bc的平行 与 ab交于 p，与 ac交于 q， 接 pe并延 交直 bc于点 n， 接qe并延 交直 bc于点 m， 接 pm、qn（ 1） 判断四 形 pmnq的形状，并 明理由；（ 2）若要使四 形 pmnq是一个矩形， abc 足什么条件？ 明理由；（ 3）若 bc=10，ad=6， 当点 e 在何 ，四 形

14、pmnq的面 与 apq的面 相等？2017 年 11 月 04 日数学 1 的初中数学组卷一解答题（共25 小题）1 abc中， a=90，点 d 在线段 bc上（端点 b 除外）， edb= c， bede于点 e，de与 ab相交于点 f，过 f 作 fmac交 bd于 m（ 1）当 ab=ac时（如图 1），求证： fm=md； fd=2be；（ 2）当 ab=kac时（k0，如图 2），用含 k 的式子表示线段 fd与 be之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）利用等腰直角三角形得出结合平行线的性质得出 dmf=mfd，进而得出答案；根据题意证明 bef deb，然后利用相似三角形

15、的性质，得到 be与 fd的数量关系；（ 2）首先证明 gbn fdn，利用三角形相似的性质得到 be与 fd的数量关系【解答】（1）证明：如图 1， ab=ac， a=90 abc=c=45 edb= c edb=22.5 fmac， fmb=45， mfd=22.5， dmf=mfd， mf=md；在 bef和 deb中 e=e=90 ebf=edb=22.5 befdeb如图 1：作 bg平分 abc，交 de于 g点， bg=gd， beg是等腰直角三角形设 ef=x，be=y，则： bg=gd= y， fd=y+y x， bef deb=，得： x=（1）y， fd=2be；（ 2）

16、解：过点 d 作 dgac，交 be的延长线于点 g，与 ba交于点 n， dgac， gdb= c， edb= c， edb= gde， bede， bed= deg，在 deg和 deb中， deg deb（ asa）， be= gb， bnd=gnb=90， ebf=ndf， gbn fdn，=，即=，又 dg ac， bnd bac，=，即=k，= ， fd= be【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质， （ 1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算 （2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系2如图，在 abc中， ab=8cm，bc=16cm，动点 p 从点

17、 a 开始沿 ab 边运动，速度为 2cm/s；动点 q 从点 b 开始沿 bc边运动，速度为 4cm/s；如果 p、q两动点同时运动， 那么何时 qbp与 abc相似？【分析】 设经过 t 秒时，以 qbc与 abc相似，则 ap=2t， bp=8 2t ，bq=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：=时， bpq bac，即=；当=时， bpq bca，即=，然后方程解方程即可【解答】 解：设经过 t 秒时，以 pbq=abc，当=时， bpq bac，即qbc与 abc相似，则 ap=2t，bp=82t ，bq=4t，=，解得 t=2 （s）；当=时，

18、bpq bca，即=，解得t=0.8（s）；即经过 2 秒或 0.8 秒时， qbc与 abc相似【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键3晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线nq移动，如图，当小聪正好站在广场的 a 点（距 n点 5 块地砖长）时，其影长 ad恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 b 点（距 n点 9 块地砖长）时，其影长 bf 恰好为 2 块地砖长已知

19、广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 ac为 1.6 米， mnnq，ac nq，benq请你根据以上信息，求出小军身高 be的长（结果精确到 0.01 米）【】先证明 cad mnd，利用相似三角形的性质求得 mn=9.6，再证明 efb mfn，即可解答【解答】 解：由题意得： cad=mnd=90， cda=mdn， cad mnd， mn=9.6，又 ebf=mnf=90， efb=mfn， efb mfn，eb 1.75 ，小军身高约为1.75 米【点评】 本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定4如图，点 p 是菱形 abcd对角线

20、ac上的一点，连接dp并延长交 ab于点 e，连接 bp并延长交 ad于点 f，交 cd延长线于点 g（ 1）求证： pb=pd（ 2）若 df：fa=1：2请写出线段 pf与线段 pd之间满足的数量关系，并说明理由；当 dgp是等腰三角形时，求tan dab的值【】（1）根据菱形的性质得出 dap=pab，ad=ab，再利用全等三角形的判定得出apb apd；（2）先证明 dfp bep，进而得出，进而得出即，即可得出答案；由（1）证得 apb apd，得到 abp=adp，根据平行线的性质， 得到 g= abp，（）若 dg=pg根据 dgp ebp，得 dg= a，由勾股定理得到fh=，

21、于是得到结论；（）若 dg=dp，设 dg=dp=3m，则 pb=3m，pe=be=pf=2m，ab=ad=2dg=6m，af=4m，bf=5m，设 ah=x，求得 fh=，得到 tan dab=【解答】（1）证明：四边形abcd是菱形， ab=ad，ac平分 dab， dap=bap，在 apb和 apd中， apb apd， pb=pd；（ 2）解：四边形abcd是菱形， adbc，ad=bc， afp cbp，由（ 1）知 pb=pd， pf= pd由（ 1）证得 apb apd， abp= adp， gcab， g= abp， adp= g， gdp g， pd pg（），若 dg=p

22、g， dgab， dgp ebp， pb=eb，由（ 2）知，设 pf=2a，则 pb=be=pd=3a，pe=pf=2a，bf=5a，由 dgp ebp，得 dg= a， ab=ad=2dg=9a， af=6a，如图 1，作 fh ab于 h，设 ah=x，则（ 6a） 2x2=（5a）2（ 9ax）2 ，解得 x=a， fh=， tan dab=； （）若 dg=dp，如图 2，设 dg=dp=3m，则 pb=3m，pe=be=pf=2m，ab=ad=2dg=6m，af=4m，bf=5m，设 ah=x，（ 4m） 2x2=（5m）2（ 6mx）2 ，解得 x=m， fh=， tan dab

23、=【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键5已知：如图， e 是矩形 abcd的边 cd上一点， bfae于 f试证明： ab? ad=ae? bf【分析】 根据四边形 abcd是矩形可得出 bad=d=90，再根据相似三角形的判定定理可得出 ade bfa，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【解答】 证明：四边形 abcd是矩形， bad=d=90（1 分） 1+2=90 bf ae， afb=1+3=90 2=3（ 2 分）又 d=afb=90，（3 分） ade bfa（4 分

24、） ab? ad=ae? bf（5 分）【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意得出 ade bfa 是解答此题的关键6如图，点 b 在线段 ac上，点 d、e 在 ac同侧， a=c=90， bdbe， ad=bc（ 1）求证： ac=ad+ce；（ 2）若 ad=3，ce=5，点 p 为线段 ab上的动点，连接 dp，作 pqdp，交直线 be于点 q若点 p 与 a、b 两点不重合，求的值【分析】（1）根据同角的余角相等求出1=e，再利用“角角边”证明 abd和 ceb全等，根据全等三角形对应边相等可得ab=ce，然后根据 ac=ab+bc整理即可得证；（ 2）过点 q

25、作 qfbc于 f，根据 bfq和 bce相似可得，然后求出 qf= bf，再根据 adp和 fpq相似可得，然后整理得到（ apbf）（5ap）=0，从而求出 ap=bf，最后利用相似三角形对应边成比例可得，从而得解【解答】解：（ 1）bdbe， 1+2=180 90=90， c=90， 2+e=180 90=90， 1= e，在 abd和 ceb中， abd ceb（aas）， ab=ce， ac=ab+bc=ad+ce；（ 2）如图，过点 q作 qf bc于 f，则 bfq bce，即， qf= bf， dppq， apd+fpq=180 90=90， apd+adp=180 90=90

26、， adp=fpq，又 a=pfq=90， adp fpq，即2bf， 5apap+ap? bf=3?整理得，（apbf）（ap 5） =0，点 p 与 a，b 两点不重合， ap5，ap=bf，由 adp fpq得，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件 1= e 是解题的关键，（2）根据两次三角形相似求出ap=bf是解题的关键7已知=k，求 k 的值【分析】 分 a+b+c0 时，利用合比性质解答即可，a+b+c=0时，用 c 表示出 a+b，计算即可得解【解答】 解： a+b+c0 时，=k， k=2； a+b+c=0时， a+b=c

27、，a+c=b，b+c=a，所以， k=1，综上所述，k 的值为2 或 1【点评】 本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论8如图，已知 ? abcd的对角线交于 o点， m为 od的中点，过 m的直线分别交ad于 cd于 p、q，与ba、bc的延长线于 e、 f（ 1）如图 1，若 efac，求证： pe+qf=2pq；（ 2）如图 2，若 ef 与 ac不平行，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由【分析】（1）先由mpoa，dm=mo，得出dp=pa再由平行四边形的性质得出eap=qdp， aep= dqp，然后利用 aas证明 ape

28、 dpq，得出 pe=pq同理， qf=pq，则 pe+qf=2pq；（ 2）过 o点作 on ad交 ef于 n，则 on是梯形 cfpa的中位线，由梯形中位线的性质定理得出 ap+cf=2on，再利用 aas证明 omn dmp，得出 on=pd，则 ap+cf=2pd然后由 cfpd，根据平行线分线段成比例定理得出=，由 dq ae，根据平行线分线段成比例定理得出=，将两个式子相加，化简整理后得出 qf+pe=2pq，判断（ 1）中的结论仍然成立【解答】 解：（1）如图 1， mp oa，dm=mo， dp=pa在 ? abcd中， abcd， eap=qdp， aep= dqp在 ap

29、e与 dpq中， ape dpq（aas）， pe=pq同理， qf=pq， pe+qf=2pq；（ 2）若 ef 与 ac不平行，则（ 1）中的结论仍然成立理由如下：如图 2，过 o点作 on ad交 ef于 n，则 on是梯形 cfpa的中位线，则 ap+cf=2on易证 omn dmp， on=pd， ap+cf=2pd cfpd，=， dqae，=，+=+，即=2， qf+pe=2pq【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理， 有一定难度（ 2）中正确地作出辅助线， 利用平行线分线段成比例定理得出=和=，是解题的关键9如图，在

30、 abc中， acb=90， bc的垂直平分线 de交 bc于 d，交 ab于 e，f 在射线 de上，并且 ef=ac（ 1）求证： af=ce；（ 2）当 b 的大小满足什么条件时，四边形 acef是菱形？请回答并证明你的结论；（ 3）四边形 acef有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）先根据 fdbc， acb=90得出 dfac，再由 ef=ac可知四边形 efac是平行四边形，故可得出结论；（ 2）由点e 在 bc 的垂直平分线上可知db=dc=bc，be=ec，由直角三角形的性质可求出b=ecd=30，再由相似三角形的判定定理可知 bde bca，进而可得出 ae=ce，再求出

31、 eca的度数即可得出 aec是等边三角形，进而可知 ce=ac，故可得出结论；（ 3）若四边形 efac是正方形，则 e 与 d 重合， a 与 c重合，故四边形acef不可能是正方形【解答】 解：（1） acb=90， fd bc， acb=fdb=90， dfac，又 ef=ac，四边形 efac是平行四边形， af=ce；（ 2）当 b=30 时四边形 efac是菱形，点 e 在 bc的垂直平分线上， db=dc=bc，be=ec， b=ecd=30， df ac， bde bca， = = ，即 be= ab， ae=ce又 eca=90 30=60， aec是等边三角形 ce=ac

32、，四边形 efac是菱形；（ 3）不可能若四边形 efac是正方形，则 e 与 d 重合， a 与 c重合，不可能有 b=30【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、 菱形的判定与性质、 线段垂直平分线及直角三角形的性质、正方形的判定与性质，涉及面较广，难度适中10已知，把 rtabc和 rt def按图 1 摆放，（点 c 与 e 点重合），点 b、c、e、f 始终在同一条直线上， acb=edf=90， def=45， ac=8，bc=6， ef=10，如图 2， def从图 1 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 cb向 abc匀速运动，同时，点 p 从 a 出发，沿 ab以每秒 1

33、个单位向点 b 匀速移动，ac与 def的直角边相交于 q，当 p 到达终点 b 时， def同时停止运动，连接 pq，设移动的时间为t （s）解答下列问题：（ 1） def在平移的过程中，当点 d在 rt abc的边 ac上时，求 t 的值；（ 2）在移动过程中，是否存在 apq为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由（ 3）在移动过程中，当 0t 5 时，连接 pe，是否存在 pqe为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由【分析】（1）根据等腰三角形性质求出即可；（ 2） ap=aq，求出即可； ap=pq，作 phac于 h，根据相似得出比例式， 即可求出

34、答案； aq=pq，作 ph ac于 h，根据相似得出比例式，当 5t 10 时， aq=pq，作 phbc， pgac，利用相似与勾股定理，即可求出答案；（ 3）分为三种情况， pqe=90， peq=90， epq=90，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10 即可【解答】 解：（1）当 d 在 ac上时， de=df， ec=cf= ef=5， t=5 （ 2）存在 ap=t， edf=90， def=45， cqe=45= def， cq=ce=t，aq=8t ，当 0t 5 时，ap=aq， t=8 t ， t=4 ；ap=pq，作 phac于 h，ah=hq=aq

35、=4t ， phbc， aph abc，=，=， t=； aq=pq，作 qi ab于 i ， ai=pi=ap= t （等腰三角形的性质三线合一） ， aiq=acb=90， a=a， aiq acb，=，=， t=，当 5t 10 时， aq=pq，作 phbc，pg ac，同理可求出， fc=qc=10 t ，bp=10t ， ph= （10 t ） =8t ，bh= （ 10t ）=6t ， qg=qcgc=qcph=10t （ 8t ） =2，222pg=hc=6（ 6t ） =t ， pq=aq=8（ 10 t ） =t 2， pq =pg +qg，（ t 2） 2=（t ） 2

36、+（ 2） 2 ，解得： t=秒，其它情况不符合要求，综合上述：当 t 等于 4 秒、秒、秒、秒时 apq是等腰三角形（ 3）由勾股定理： ce=cq=t， sina= =， cosa= = ， pw= t ，aw= t ， qw=8 t t=8 t ，22222=2t+64 ， pq=pm+qw=（t ） +（8 t ）t 222 t ）222t+64 ，pe=ph+eh=（ t+8+（t t ） = t pqe=90，在 rt peq中222pq+qe=pe， t1=0 （舍去） t 2= ； peq=90，222pe+eq=pqt 1=0（舍去） t 2 =20（舍去）此时不存在；当 e

37、pq=90时222pq+pe=eq，t 1=（舍去） t 2=4，综合上述：当 t=或 t=4 时， pqe是直角三角形【点评】本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想11已知： abc在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为a（0，3），b（ 3， 4），c（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1 个单位长度）（ 1）画出 abc向下平移 4 个单位得到的 a1 b1c1 ，并直接写出 c1 点的坐标；（ 2）以点 b 为位似中心，在网格中画出 a2bc2，使 a2 bc2 与 abc位似

38、，且位似比为 2：1，并直接写出 c2 点的坐标及 a2 bc2 的面积【分析】（1）根据网格结构，找出点 a、b、c 向下平移 4 个单位的对应点 a1、b1 、c1 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 c1 的坐标；（ 2）延长 ba到 a2，使 aa2=ab，延长 bc到 c2，使 cc2=bc，然后连接a2c2 即可，再根据平面直角坐标系写出c2 点的坐标，利用 a2 bc2 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解【解答】 解：（1）如图， a1b1c1 即为所求， c1 （2， 2）；（ 2）如图， a2bc2 即为所求， c2（ 1，0）

39、， a2bc2 的面积： 6 4 2 62424=24 6 4 4=24 14=10【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的求解，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活运用12已知，（1）求的值； （ 2）若，求 x 值【分析】（1）设 x=2k，y=3k， z=4k，代入后化简即可；（ 2）把 x=2k，y=3k，z=4k 代入得出 2k+3=k2，求出方程的解，注意无理方程要进行检验【解答】 解 由，设 x=2k， y=3k， z=4k，（ 1

40、）， （ 2）化为， 2k+3=k2，即 k22k3=0， k=3 或 k=1，经检验， k=1 不符合题意， k=3，从而 x=2k=6，即 x=6【点评】 本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用，注意解（1）小题的方法，解（ 2）小题求出 k 的值要进行检验13如图，已知点 f 在 ab上，且 af：bf=1：2，点 d是 bc延长线上一点，bc：cd=2：1，连接 fd与 ac交于点 n，求 fn：nd的值【分析】过点 f 作 fe bd，交 ac于点 e，求出= ，得出 fe= bc，根据已知推出 cd= bc，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可

41、【解答】 解：过点 f 作 febd，交 ac于点 e，=， af：bf=1：2， = ， = ，即 fe= bc， bc： cd=2： 1， cd= bc， fe bd， = = 即 fn： nd=2：3证法二、连接 cf、ad， af： bf=1： 2， bc：cd=2：1， = = ， b=b， bcf bda，= ， bcf=bda， fcad， cnf and，= 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目14如图，直线 l 1 、l 2、l 3 分别交直线 l 4 于点 a、b、c，交直线 l 5

42、 于点 d、 e、 f，且 l 1l 2 l 3，已知ef：df=5：8，ac=24（ 1）求 ab的长；（ 2）当 ad=4，be=1时，求 cf的长【分析】（1）根据l 1l2 l 3 ，推出=，代入求出bc即可求出ab；（ 2）根据 l 1 l 2l 3，得出=，求出 ob、oc，根据平行线分线段成比例定理得出代入求出即可【解答】（1）解： l 1l 2 l 3，ef： df=5： 8， ac=24，=，=， bc=15， ab=acbc=2415=9=，（ 2）解： l 1l 2l 3=，=， ob=3， oc=bcob=15 3=12，=，= ， cf=4【点评】 本题考查了平行线分

43、线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例15点 d 为 rt abc的斜边 ab上一点，点 e 在 ac上，连接 de，cd，且 ade=bcd，cfcd交 de的延长线于点 f，连接 af（ 1）如图 1，若 ac=bc，求证： afab；（ 2）如图 2，若 acbc，当点 d 在 ab上运动时，求证： afab【分析】（1）根据 ade=bcd可得出 fdc=b=45，进而可得到 cdb caf，由全等三角形的性质即可得出 afab；（ 2）先根据相似三角形的判定定理得出acbfdc，进而得出 bcd acf，再由相似三角形的

44、性质即可得出结论【】证明：（1） ade=bcd， fdc=b=45， cd=cf， cdb caf， caf=45， afab；（ 2） ade=bcd， acd+dcb=90， dca+acf=90， acf= bcd= adf， aed=cef， bac=cfd， acb=dcf=90， acb fdc， bcd acf， b=caf， afab【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 熟知以上知识是解答此题的关键16如图，在 abc中， bcac，点 d 在 bc上，且 dc=ac， acb的平分线 cf交 ad于 f，点 e 是 ab的中点，连接 ef（ 1）求证： 2ef=bd，（ 2）四边形 bdfe的面积为 6，求 abd的面积【分析】（1）根据等腰三角形性质推出f 为 ad中点，根据三角形的中位线定理推出即可； （2）根据三角形中位线推出 efbd，推出似比 k=1： 2，得出面积比是 ，代入求出即可aef abd且两三角形相【解答】（1）证明： dc=ac，cf为 acb