多面体旋转体

1、最新 料推荐多面体和旋转体一 . 教学内容：1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。【典型例题】例 1.三棱锥 PABC ，PAa， ABAC2a，PABPBCBAC60 ，求这个三棱

2、锥的体积。分析： 由题设PABPAC60P在平面 ABC 上的射影 O必在BAC 的平分线上又 BAC60 ， AB AC ，可知BC是正三角形考查方向： 考查三棱锥体积的常用求法。分析一：作P在底面上的射影 O，求 PO和C的面积注意到 PA1 AB 且 PAB60分析二：2知 PA PB同理 PBPC，把 PBC作为底，则 PA为高分析三： 割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线 AD ，交 BC 于 D，过 P 点作底面的垂线，垂足为O，由分析知射影O 必在AD 上，易知 ABC是正三角形， AB=2a ，S ABC3a2PCDAOE B过 P作 PE AB

3、，垂足为 E，连 OE，则 OE AB1最新 料推荐在 Rt PAE 中， PAE 60 ，PA aPE3，a ，OEAEtg303a2aAE26在 RtPOE中， POPE 2OE 26 a3V P ABC1S ABCPO2a333解法二：（利用等积转换法解）在PAB 中PAa， AB 2a， PAB60PB 2a2(2a) 22a(2a) cos 603a 2P A B是直角三角形， PAPB，同理可证 PAPC，又 PB PC PPA平面 PBC在 PBC中， PB PC3a，BC2aS P B C2 a2V PABCV A PBC1S PBCPA2a 333解法三：（用分割求积法解）由

4、解法二知， PBPC3a， D是 BC 中点，连结 PDCPD，BC AD ，PDADDBC平面 PADVPABCVB PADV2VB PAD2 SPADBD2 a 3C PAD33解法四：（用补形求积法解）延长AP 到 Q，使 PQ=a，连结 QB 、QC，可得一个棱长为 2a的正四面体V P A B C1V Q A B C12( 2a) 32a322123例 2.如图，已知直三棱柱 ABC A 1 B1 C1，用一平面去截它， 得截面2 B 2 C2 ，且AA 2h1 ，BB 2h2 ， CC2 h 3 ，若C的面积为 S，求证：介于截面与下底面之间的几何体体积V 1 S h1h2h3 )

5、。(32最新 料推荐A 1C1B1C2B2h3A 2A h1h2CB考查方向： 不规则几何体体积的求法分析： 将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。VV C ABB 2VCA 2B 2 AVC A 2 B 2C 2证法一：连结 AB2 、B2 C、 CA2 ，这样就把几何体 ABCA1 B1C1 分成三个三棱锥VVCABBVCAA B2VC A B C22222V C ABB 2VB 2 ABC1Sh23V CV C ABA 2V A 2 ABC1AA 2 B2Sh13V CA 2B 2 C2V A 2 CB 2C2VA 2 BCC2V B A 2 C2CV B ACC 2VC2

6、 ABC1 Sh33V1h2h3 )S(h13证法二：连结 AB 2 、 B 2C，并作 BE AC 于 E侧面 AA 1 C1C底面 ABCBE 平面 AA 1C1C，设 ACa， BE h则 VVB 2 A B C V B2 A 2A C 2C1 Sh21 1 ( hh3) ah33211Sh21(h 1h3 )133ah21 Sh21(h 1h 3 )S333最新 料推荐1S( h1h 2h3 )3小结： 证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。例 3. 已知圆锥外切于半径

7、为 1 的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。考查方向： 面积最值的求法。分析： 用一个变量把目标函数表示出来。解法一： 如图，作圆锥 SO 的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆SCO1AOB连结 O1B ，设SBO2 ，则O1 BOSO是圆锥的高，圆O1的半径是 1在 RtO1 BO中， BO1 ctgctg在 Rt SOB中， SOBOtg2ctgtg2圆锥 SO的体积V1BO 2SO32c t gtg2c t g323tg 2(1tg 2)23( tg2121)2402204当 tg 21 即 tg2 时， V min82234最新 料推荐此时， BO2，SO4SBBO 2SO 2

8、3 2S全S侧S底BO SBBO 28解法二：设C是SB 与圆 O1的切点，连结O1C，设棱锥高 SOh，底半径 OBr，母线SB=l在 Rt SO1C中， SO1h 1， O1C 1SC(h1) 21h22hBOBCrlSCCBh 22hr在 RtSOB中， h 2r 2(h 22 hr) 2rhh2V 锥1r2hh 233h2( h 22h)(2 h4)43h2( h244)3h2h2V 锥 2( h2)483h243当 h24，即 h4 时， V min8 ，此时 r2h23l3 2S 全S底S侧r 2rl8小结： 解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。例 4. 四面

9、体的一条棱长是x，其他各条棱长都是1。5最新 料推荐（ 1）把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f(x) ；（ 2）求 f(x) 的值域；（ 3）求 f(x) 的单调区间。考查方向： 立体几何与函数的关系解：（ 1）如图，设 BC=x ，则 S 到面 ABC 的垂足 O 是 ABC 的外心连 OA 并延长交 BC于 D，则 D 是 BC中点且 AD BC易知 AD14 x 2 ， SCx24设BC 的外接圆半径为R，由 R4x 2abc4SABC得 R1， SO1 R 23x24x 24x2V1SABCSOx3 x2 (0x3 )312SCDAOB（ 2）f ( x)x3 x 21x 2

10、( 3 x 2 )1212而 x23x23为定值， x 2，3x 200当且仅当 x 23x 2 即 x6 时， f (x)取得最大值 128f (x) 的值域为（0， 18（ 3）当x6 时， f ( x) 取得最大值2又 0x3f ( x)的递增区间是 ( 0，6 ，递减区间是 6 ， 3 )22小结： 讨论函数 V(x) 的性质要注意变量x 的实际意义。例 5. 斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC ，AB=AC=10 ，BC=12 ，棱柱顶点 A 1 到 A 、B、C 三点等距离，侧棱长是 13，求它的侧面积。6最新 料推荐解法一：取BC 中点 D，则 BCAD设 A 1O 底面 ABC

11、，则 O在 AD 上BCAA 1 （三垂线定理）CBB 1侧面 B1 BCC 1 为矩形取 AB 中点 EA 1AA 1BABA 1EAE5由A 1 E12A 1A13S 侧12 10 213 12 396C1A 1B 1CAODEB解法二： 取 BC 中点 D，则C1A 1B 1ECADB7最新 料推荐ADBCBC平面 ADA 1A 1 D BCCAA 1 ，过 B作 BEAA 1 于E，连 CE，则 AA 1平面 BECEC 为棱柱的直截面等腰1 AB 中，易知5cos EAB1312s i nE A B13BE120AB sin EAB13S 侧( 1202 12) 13 39613选题

12、目的： 熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。例 6. 如图，在半径为5cm 的球面上有A 、 B、 C 三点，每两点间的距离分别是AB=6.4cm ，BC=4.8cm ，CA=8cm ，求：（ 1）过这三点的平面与球心 O 的距离。（ 2） B、 C 两点间的球面距离。（ 3）过 OO的球的直径 PD 的端点 P 与 ABC 的三顶点组成的三棱锥 P-ABC 的侧面 PBC 与底面所成的二面角。（ 4）由点 P和C的外接圆组成的圆锥PO 与球 O的体积比DAOCBMOP解： （ 1）OO截面 ABC在C中4.8： 6.4

13、： 86： 8： 10A B C为直角三角形，且A B C 90O 在 AC 上 C4， OC5，则 OO 38最新 料推荐故过这三点的平面和球心O 的距离为 3cm（ 2） B、 C两点的球面距离是截面 BOC 的劣弧 BC 的长在OC中， cos BOCOB 2OC 2 BC 23372OB OC625BC 为5arccos337625即 B、 C两点的球面距离为 5 arccos 337 ( cm) 625（ 3）取点 M为BC的中点，则O MP为三棱锥 P ABC 的侧面 PBC与底面所成二面角的平面角而 PO 8cm， O M1 AB. cm232在 RtPO M 中， tgO MP

14、PO5O M2O MP arctg 5 ，故所求二面角为 arctg 522（ ）V 圆锥 P ABC1428128(cm3)433V 球 O 453500( cm3 )33故 V圆锥 PABC ： V 球O128： 50032：12533【模拟试题】1.圆台两底半径分别是1 和 2，则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（）。A. 2 ： 1B. 1： 2C. 3： 4D. 1： 42.设正方体的全面积为24cm2 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）4 cm38 cm332A.B.C.6 cm 3cm333D. 33. 若干毫升的水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的

15、高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A.6 3cmB.6cmC.23 18cmD. 33 12cm4.ABC 三边长 AB=5 ， BC=3 ，AC=4 ，设分别以此三边为轴，把C 旋转一周所得旋转体的体积为 VAB 、 V BC 、 VAC ，那么它们的 大小关系是（）A.VABV ACVBCB. V ABV BC V AC9最新 料推荐C.V BCV ABVACD.V BCVACVAB5. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，则这点到三棱锥顶点的距离为_。6. ABCD 是边长为 1 的正方形， E、

16、 F 分别为 BC、 CD 的中点，沿 AE 、 EF、 AF 折成四面体，使 C、 B、 D 三点重合，那么这个四面体的体积等于_ 。7. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体的表面积之比是（）236A.3B.2C.3D.28.在直径为 AB=2 的半圆上有一点P，过 P 的切线 CD 交 BA 延长线于 P，交过 B 的切线于 C，现以 BD 为轴旋转得一圆锥，求圆锥体积的最小值，并求取得最小值时此圆锥的高。9.如图，在正三棱柱ABCA 1 B1C1 各棱长都等于a， E 是 BB 1 的中点，（ I）求直线 C1B 与平面 A 1B 1BA

17、所 成 角 的 正 弦 值 ；（ II ） 求 证 ： 平 面A E C 平面 A C CA；（ III ） 求 点11 1C 1到平面 A E C的距离。A 1C1B1EACB10最新 料推荐【试题答案】1. C2. A 提示：球的直径 =正方体的棱长3. B 提示：利用体积相等4. D 提示：注意弄清楚旋转所得的圆锥和圆锥的底面半径和高5. 7提示：构造长方体（长宽高分别为2、 3、 6），所求的距离为其对角线长。16.247. C8.BCO为(0，) ，则 BCctg ， BD ctg tg2解：设412c t gtg2Vc t g3122c t g31 tg 2123tg2(1tg 2

18、)12223( tg1tg) 221 88331tg 2tg 22，即 tg当且仅当2取等号，这时BC2，高 BD 4DAPOBC9.解：（ I ）取 A 1 B1 中点 M ，连结 C1 M ， BM11最新 料推荐三棱柱 ABCA 1 B1C1是正三棱柱C1 MA 1 B 1， C1MB 1C1 M平面 A 1ABB 1C1 BM 为直线 C1B 与平面 A 1ABB 1所成的角在 RtBMC 1中， C1M3a， BC12a2sinC1M6C1BM4BC 1A 1D1C1MB1FEACB（ II ）取 A 1C1的中点 D 1， AC 1的中点 F，连结 B 1D 1， EF， D 1F则有 D 1F/ /1/ /1AA 1， B1 EAA 1/22D 1 FB1 E则四边形D 1 FEB 1是平行四边形EF/ /B 1D 1由于三棱柱 ABCA 1B 1C1 是正三棱柱1 D 1 A 1C1又平面 A 1B 1C 1平面 ACC 1 A 1 于A 1C1