复合函数求导及应用

1、复合函数求导及应用复合函数求导及应用求 y(3x 2)2， f(u)u2，g(x) 3x2 的导数1复合函数的概念对于两个函数 y f(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 u g(x)的复合函数，记作 y f(g(x)2复合函数的求导法则复合函数 y f(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积题型一 简单的复合函数求导问题 例 1求下列函数的导数：(1)y1 2x2； (2)yesin x； (3)ysin 2x；23

2、(4)y5log (2x 1)1111解设2，则 y( u 22 (1)y2， u 1 2x)2 4x)u(12x )u(2 1 1- 2x21 2x(4x)2 .2212xu，usin x，则 yxux u sin x(2)设 yeyuecos xecos x.ux（） .(3)设 ysin u， u 2x3，则 yx2x+yucos u 22cos31010(4)设 y5log2u， u 2x1，则 y5(log2u) x(2 1) uln 22x1 ln 2.复合函数的求导步骤复合函数求导及应用练习 求下列函数的导数：(1)y (2x 1)4；(2) y 102x3；(3)ysin4xc

3、os4x.解： (1)令 u2x 1，则 yu4， yxyuux 4u3(2x1) 4u32 8(2x1)3.(2)令 u2x3，则 y10u， yxyuux 10uln 10 (2x3) 2ln 10 102x3.442222sin2 2 12 1cos 4x)(3)y sinx cos x (sin xcos x)x cos x 12sin 2x 14(13 1 4 4cos 4x.所以 y 44cos 4x sin 4x.31题型二复合函数与导数的运算法则的综合应用 例 2求下列函数的导数：1x2；(2)y xcos 2xsin 2x.(1)yx22解2) x 1 x2 x(1x2 )

4、1x2 x2(1)y (x1x1x21 2x21x21x2.复合函数求导及应用1(2)y xcos 2x 2sin2x 2 x( sin2x)cos 2x 2 xsin4x ， y11x 1xsin 4x2sin 4x2cos 4x2sin 4x242xcos 4x.练习 求下列函数的导数：2 x33(1)y sin 3；(2)ysin xsin x；(3)yxln(12x)解： (1)y sin2 x2sinx sinx2sinxx x12x3333 cos333sin3 .33332322(2)y(sin xsin x ) (sin x) (sin x ) 3sin xcos xcos x

5、 3x 3sin xcos x2x(3)yx ln(12x)xln(1 2x) ln(1 2x) 1 2x .题型三复合函数导数的综合问题 例 3设 f(x) ln(x1) x1axb(a，bR，a，b 为常数 )，曲线 yf(x)与直线 y3 在(0,0)点相切求，的值2xa b 解 由曲线 yf(x)过(0,0)点，可得 ln1 1 b 0，故 b 1.由 f(x) ln(x 1) x 1 axb，得 f(x) 11 a，则 f(0)1 1a3a，此即x1 2x122为曲线 yf(x)在点 (0,0)处的切线的斜率由题意，得3a3，故 a0.22练习 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上

6、端下滑的距离s(单位： m)关于时间t(单位： s)的函数为ys(t)52259t.求函数在7t15时的导数，并解释它的实际意义解：函数y5259t2 可以看作函数f(x) 5x和x(t)25 9t2 的复合函复合函数求导及应用数，其中 x 是中间变量由导数公式表可得f(x)11-x2 ，(18t.2t)再由复合函数求导法则得yt ( (119t，2( 18t)s t)fx)t)-x25 9t22将 t7 代入 s(t)，得 s7 0.875.当 t7时，梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s.151515易错函数 yxe1 2x 的导数为 _1 2x1 2x) e1 2x1 2x 1 2x

7、1 2x 解析 y e x(exe2x)exe2)(1(1(2x)e1 2x. 答案 y (12x)e1 2x函数 ylnex在 x 0 处的导数为 _x1e解析： ylnex xln exln(1exln(1 x，则 exx1e)xe )y11e .当 x0 时， y 11 1 答案：11 12.2课后练习函数y (2 0158x)3的导数 y()1A8x)2B 24xC 24(2 0158x)2D8x)23(2 01524(2 015解析： y3(2 015 8x)2(2 0158x) 3(2 0158x)2( 8) 24(2 0158x)2.2函数yx2cos 2x 的导数为()A y

8、2xcos 2x x2sin 2xBy 2xcos 2x 2x2sin 2xC y x2cos 2x2xsin 2xDy 2xcos 2x 2x2sin 2x解 y(x2) cosx2x2(cos 2x) 2xcos 2x x2( sin 2x)(2x) 2xcos 2x2x2sin 2x.复合函数求导及应用3已知 f(x)ln(3x1)，则 f (1)_.解析： f(x)1 1)3， f(1)3答案：33x1 (3x3x12.24设曲线 yeax 在点 (0,1)处的切线与直线x 2y10 垂直，则 a _.解析：令 y f(x) ，则曲线 yeax 在点 (0,1)处的切线的斜率为 f(0)，又切线与直线x2y 1 0 垂直，所以 f (0) 2.因为 f(x) eax，所以 f(x) (eax) eax(ax) aeax，所以 f(0) ae0 a，故 a2.答案： 25求下列函数的导数：(1)y cos(x 3)；(2)y(2x1)3 ；(3)ye2x 1.解：(1)函数 ycos(x 3)看作函数 y cos u 和 u x3 的复合函数，由复合函数的求导法则可得 yxux(3)yu(c