三角形全等的证明

1、三角形全等的判定,一、边角边 （sas）,二、角边角 (asa),三、角角边 (aas),四、边边边 (sss),五、综合练习,制作人：王一豹,2. 叫做全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做 。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,对应边,对应角,对应顶点,复习提问,能够重合的两个三角形,3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上,全等于,全等三角形的判定（一）,sas（边角边定理),画abc,使ab=3cm，ac=4cm。,画法：,2. 在射线am上截取ab= 3cm,3. 在射线an上截取ac=4cm,这样画出来的三角形

2、与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？,若再加一个条件，使a=45，画出abc,1. 画man= 45,4.连接bc,则abc就是所求的三角形,把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？,画一画,再任意画一个abc和def，使ab=de , ac=df , a=d , 把画好的abc和def比较，它们全等吗？,d,e,f,abcdef,由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？,用符号语言表达为：,在abc与def中,ab=de a=d ac=df,abcdef（sas）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“sas”,图 1,已知：

3、如图1，ac=ad，cab=dab 求证：acbadb,ac=ad（已知）,cab=dab（已知） ab=ab（公共边） acbadb（sas）,例1,证明：在acb和adb中,例 题 讲 解,图2,已知：如图2，adbc，ad=cb 求证：adccba,分析：观察图形，结合已知条件，知，,ad=cb，ac=ca，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。,所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。,ad=cb（已知） 1=2（已知） ac=ca （公共边） adccba（sas）,例2,证明：adbc 1=2（两直线平行，内错角相等） 在dac和bca中,d,c,1,a,b,2,b,动

4、态 演 示,图3,已知：如图3 ，adbc，ad=cb，ae=cf 求证：afdceb,证明：adbc（已知） a=c（两直线平行，内错角相等） 又 ae=cf ae+ef=cf+ef（等式性质） 即af=ce 在afd 和ceb 中,ad=cb（已知） a=c（已证） af=ce（已证） afdceb（sas）,若求证d=b ，如何证明？,分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用ae=cf，可得：af=ce,变式训练1,问：,动 态 演 示,练习：已知：如图4，点a、b、c、d在同一条直线上，ac=db，ae=df，eaa

5、d，bcac，垂足分别为a、d,图4,求证：（1）eabfdc、（2）df= ae,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（sas）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,图5,变式训练2 已知：如图5：ab=ac，ad=ae，1=2 求证：abdace,证明：1=2（已知） 1+bae = 2+bae（等式性质） 即 cae= bad,在cae和bad 中,ac=ab（已知） cae=bad（已证） ae=ad abdace（sas）,分析：两组对应夹边已知，缺少 对应夹角相等的条件。 由bae 是两个三角形的 公共部分，可得：cae=

6、bad。,变式训练2：拓 展,（1）求证：e=d （2）若ace绕点a逆时针旋转，使1=900时，直线ec， bd的位置关系如何？给出证明。,当ead 为平角时呢？,图5,已知：如图5：ab=ac，ad=ae，1=2,1,2,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（sas）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。,1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。,总结概括，知识拓宽,2明确全等三角形“边角边”公理的

7、运用方法。,全等三角形的判定（二）,asa（角边角定理）,创设情景,实例引入,一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,c,b,e,a,d,先任意画出一个abc， 再画一个a/b/c/，使a/b/=ab， a/ =a， b/ =b 。把画好 的a/b/c/剪下，放到abc上， 它们全等吗？,探究1:,已知：任意 abc，画一个 a/b/c/， 使a/b/ab， a/ =a， b/ =b ：,画法：,2、在 a/b/的同旁画da/ b/ =a ， eb/a/ =b， a/ d，b/e交于点c/。,1

8、、画a/b/ab；,a/b/c/就是所要画的三角形。,问：通过实验可以发现什么事实？,引入新课：,作图：已知：abc，(让同学们自己画）再画一个三角形a/b/c/,使b/c/=bc, b/= b, c/= c.,1、画线段a/b/=ab 2、在a/b/的同旁，分别以a/、b/为顶点画 d a/b/=a, e b/a/=b , a/d 、b/e交于点c/,得 a/b/c/,现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？,完全重合,角边角公理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“asa”),讲解新课：,例1、已知：如图，dab=cab，c=d 求证：ac=ad,证明：

9、, dab=cab，c=d,abd=acd (三角形内角和定理）,在acb和adb中,dab=cab ab=ab （共用边） abd=acd, acbadb （asa),ac=ad,讲解新课:,例2、已知：点d在ab上，点e在ac上，be和cd交于o点，ab=ac，b=c. 求证：bd=ce,证明：在abe和acd中,a= a ab=ac b=c, abeacd （asa),ad=ae,ab=ac,bd=ce,讲解新课,如图，要证明ace bdf,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。,ac=bd,a=b,c=d,ac=bd,a=b,aec=bfd,课堂练习,1、如右图：已知

10、，abe=cbd, bce=dba,ec=ad 求证：ab=be,bc=db 2、如右图：已知，ad, ef,bc交于o，且ao=od，bo=oc，eo=of 求证：aebdfc,变式练习：,全等三角形的判定（三）,aas（角角边定理）,定理的引入:,如图在abc和def中，a=d， b=e ，bc=ef，abc与def全等吗？,证明：a+b+c=180 d+e+f=180 又a=d b=e c=f,c=f bc=ef b=e,abcdef (asa),如图所示， abcdef,那么 角角边定理得证。,三角形的判定定理三,在两个三角形中，如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角形全等。,a

11、=d b=e bc=ef,abcdef (aas),例题讲解：,例1.已知：点d在ab上，点e在ac上，be和cd相交于 点o，ad=ae，b=c。 求证：bd=ce,巩固练习,如图，1=2，d=c 求证：ac=ad,证明：在_和_中 _ （ ） _ （ ） _ （公共边） _ _（ ） _（全等三角形对应边相等）,abd,abc,1=2,d=c,ab=ab,abd,abc,ac=ad,已知,已知,aas,全等三角形的判定（四）,sss（边边边定理）,定理的引入:,a,b,c,d,已知：ac=de ab=df bc=fe 求证：abc dfe,e,思考,f,定理的引入:,a,b,c,d,已知：

12、ac=dc ab=db 求证：abc dbc,证明：连接ad， ac=dc cad= cda 同理， bad= bda bac= bdc ac=dc a= d ab=db abc dbc（sas）,a,c,d,b,如图所示， abcdbc ，那么边边边定理得证。,在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。,三角形的判定定理四,ac=dc ab=db bc=bc,abc dbc（sss）,例1：如图，已知ab=cd，bc=da。 说出下列判断成立的理由： （1）abccda （2）b=d,a,b,c,d,解（1）在abc和cda中 ab=cd（已知） bc=da（已知） ac=ca

13、（公共边） abccda（sss） （2） abccda b=d（全等三角形的对应角相等）,练习1 如图，已知点b、e、c、f在同一条直线上，abde，acdf，becf。求证：ad。,证明：becf（已知）,即 bcef,在abc和def中,abde（已知）,acbf（已知）,bcef（已证）,abcdef（sss）,ad(全等三角形对应角相等）,小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。, be+ec=cf+ec,例2，如图，已知abcd，adcb，求证：bd,证明：连结ac,abcd（已知）,acac（公共边）,bcad（已知）, abc cda（sss）, bd（全等三角形对应角相等）,在

14、abc和 adc中,问：此题添加辅助线，若连结bd行吗？,在原有条件下，还能推出什么结论？,答：abcadc，abcd，adbc,小结：四边形问题转化为三角形问题解决。,一定 （sas）,不一定,一定 (asa),一定 (aas),不一定,一定 (sss),归纳：二个三角形全等的判定方法,五、综合练习题 全等三角形的应用,：利用全等三角形证明线段（或角）相等,例1：如图，直线ac、 bd交于点o，oa=oc ob=od 直线ef过点o且分别交ab、 cd于e、f,求证：oe=of,在aob和cod中 ob=od aob=cod oa=oc aobcod （sas） b=d （全等三角形的对应角

15、相等） 在boe和dof中 b=d ob=od boe=cof boedof （asa） oe=of （全等三角形的对应边相等）,证明,ab=dc,ac=db,bc=cb,证明：,在abc和dcb中,如图：ab=dc，ac=db 求证：abo=dco, abcdcb,（sss）, a=d (全等三角形的对应角相等),在aob和doc中,a=d aob=doc ab=cd, aobdoc,（aas）, abo=dco （全等三角形的对应角相等）,巩固练习： 如图：acbc adbd ，ad=bc ceab dfab，垂足分别为e、f，求证：ce=df,分析：,由已知可推出abcbad,要证ce=df，需证aceadf，所缺条件可由abcbad推出,二：利用全等三角形证明线的垂直关系,证明：,例：如图：bf是rtabc的角平分线，acb=90，cd是高，bf与cd交于点e，egac交ab于g 求证：fgab,bf平分abc,12,cdab 3+abc=90 又acb90 a+abc=90 3a,又egac a4 34,在beg与bec中 12 34 bebe begbec,（aas）,bg=bc （全等三角形的对应边相等）,在bfg与bfc中,bg=bc 12 bf=bf,bfgbfc （sas）,fgb=fcb=90 fgab,巩固练习： 如图：abc中，ad平分bac，de、