初中数学动点问题例题集

1、最新资料推荐动点问题专题训练1、如图，已知 ABC 中， ABAC10厘米， BC8厘米，点 D 为 AB 的中点（ 1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；A若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全等？D（ 2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来Q的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运 BC

2、动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条P边上相遇？解：（ 1） t1秒， BP CQ 3 1 3 厘米， AB 10厘米，点 D 为 AB 的中点， BD 5 厘米又厘米， PC835 厘米 PCBCBP， BC8， PC BD 又ABAC ，BC ， BPD CQP （4 分） vPvQ ， BPCQ ，又 BPD CQP ， BC ，则 BP PC4， CQBD 5 ，点 PBP4，点 Q 运动的时间 t秒，CQ 51533 vQ厘米 /秒（7 分）t443（2）设经过x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得 15 x3x 2 10，41最新资料推荐解得 x8

3、0秒3点 P 共运动了 80380 厘米3 80 2 28 24 ，点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，经过 80 秒点 P 与点 Q 第一次在边AB 上相遇 （ 12 分）33 x 6 与坐标轴分别交于 A、 B 两点，动点 P、 Q 同时从 O 点出发，2、直线 y4同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA运动，速度为每秒1 个单位长度，点 P 沿路线 O B A 运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（ 3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、 P、 Q

4、 为顶点的平行四5边形的第四个顶点M 的坐标yB解（ 1） A（ 8， 0） B（ 0，6） 1分P（2）OA 8，OB 6AB108x点 Q 由 O 到 A 的时间是OQ8（秒）A6101分点 P 的速度是2 （单位 /秒） 18当 P 在线段 OB 上运动（或0 t 3 ）时， OQt， OP2tS t2 1 分当 P 在线段 BA 上运动（或3 t 8）时， OQ t， AP610 2t 16 2t ,如图，作 PDOA 于点 D ，由 PDAP ，得 PD486t， 1 分BOAB5S1 OQPD3 t 224 t 1分255（自变量取值范围写对给1 分，否则不给分 ）8241分（3）

5、 P，552最新资料推荐I824， M 21224， M 31224315，5，5，5分553 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y= 2x8 分别与 x 轴， y 轴相交于 A， B 两点，点 P（0， k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心， 3 为半径作 P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？解：（ 1） P 与 x 轴相切 .直线 y= 2x 8 与 x 轴交于 A（ 4， 0），与 y 轴交于 B（ 0， 8），OA =4， OB=8

6、.由题意， OP=k，PB =PA=8+ k.在 Rt AOP 中， k2+42=(8+ k)2 ，k= 3， OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 .（ 2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P在线段 OB 上时 ,作 PECD 于 E. PCD 为正三角形，DE = 1 CD = 3 ， PD =3，22 PE= 3 3 . 2 AOB = PEB=90， ABO= PBE， AOB PEB，3 3 AO PE ,即 4 = 2 ， AB PB 4 5 PB3最新资料推荐 PB 3 15 , 2 POBOPB 83 15 ，2 P(0, 3158)

7、，23158 . k23 15当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得P(0,8)， k= 3 15 8，2当 k= 3 15 8 或 k= 315 8 时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三22角形是正三角形.4（09 哈尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中， 点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ 3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ， AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀

8、速运动，设 PMB 的面积为 S（S0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值解：4最新资料推荐5 在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动， DE 保持垂直平分Q5DBEAP

9、C图 16最新资料推荐PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（ t 0）（1）当 t = 2 时， AP =，点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值解：（ 1） 1， 8 ；5（2）作

10、QFAC 于点 F ，如图 3， AQ = CP= t， AP 3 t 由 AQF ABC， BC52324 ，得 QFt QF4 t 455 S1(3t)4t ，B25即 S2 t26 t 55E（3）能当 DEQB 时，如图 4Q DE PQ， PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形A此时 AQP=90 由 APQ ABC ，得 AQAP ，ACAB即 t3 t 解得 t9 358如图 5，当 PQ BC 时， DE BC，四边形QBED 是直角梯形此时 APQ =90由 AQP ABC ，得AQAP ，ABAC即 t3 t 解得 t15 538（4） t545或 t142点 P 由 C

11、 向 A 运动， DE 经过点 C连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 62223242DP C图 4BQDEAPC图 5BQGDPC t ， QC QG CG (5 t ) 4(5 t ) 55APC(E)由 PC 2QC 2 ，得 t 23(5 t )244(5 t )2 ，解得 t5552点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C，如图 76图 6BQGDAPC(E)图 7最新资料推荐(6 t )2 3(5 t) 2 44 (5 t) 2 ， t45】55146 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ，ACB90，B60，BC 2 点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l 从

12、与 AC 重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D 过点 C 作 CE AB 交直线 l 于点 E ，设直线 l 的旋转角为（ 1）当度时，四边形 E D B C是等腰梯形，此时 AD 的长为；当度时，四边形 E D B C是直角梯形，此时 AD 的长为；（ 2）当 90时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由lE COAB DCOAB（备用图）解（ 1） 30， 1； 60， 1.5 ；4 分（ 2）当 =900 时，四边形 EDBC是菱形 .0 = ACB=90， BC/ ED. CE/ AB, 四边形 EDBC是平行四边形 .6 分在 Rt ABC中， ACB

13、=900， B=600, BC=2,0 A=30 . AB=4, AC=2 3 . AO= 1 AC =3 .8 分2在 Rt AOD中， A=300， AD=2. BD=2. BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形 EDBC是菱形10 分7 如图，在梯形ABCD 中，AD BC， AD3， DC5， AB4 2， B 45 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为t 秒（ 1）求 BC 的长（ 2）当 MN AB 时，求 t 的值（ 3）试探究： t 为何值时，

14、MNC 为等腰三角形BC 运动；动点 N 同ADNMC7最新资料推荐解：（ 1）如图，过 A 、D 分别作 AKBC 于 K ，DHBC 于 H ，则四边形 ADHK是矩形 KHAD 31 分在 Rt ABK 中， AKAB sin 4542 242BKAB cos454242 分22在 RtCDH 中，由勾股定理得，HC52423 BCBK KHHC 4 33 103 分ADADNBKCBGCHM（图）（图）（ 2）如图，过D 作 DG AB 交 BC 于 G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 MN AB MN DG BG AD 3 GC 10 3 7 4 分由题意知，当 M 、 N 运动

15、到 t 秒时， CN t， CM 10 2t DG MN NMC DGC又 CC MNC GDC CNCM5分CDCG即 t 102t57解得， t506分17（3）分三种情况讨论：当 NCMC 时，如图，即t102t10 t7 分3ADADNNBM C B M H E C 8（图）（图）最新资料推荐当 MN NC 时，如图，过N 作 NEMC 于 E解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC11MC10 2t 5 t22EC5t在 Rt CEN 中， cosctNCCH3又在 Rt DHC 中， cosc5CD 5t3t525解得 t8 分8解法二： CC，DHCNEC90 NEC DHC NC

16、 EC DC HC即 t 5 t 5 325 t8 分81 NC1 t当 MN MC 时，如图，过M 作 MFCN 于 F 点 . FC22解法一：（方法同中解法一）1 tcosCFC 2 MC 10 2t60解得 t17解法二： C C， MFC MFC DHC FC MC HC DC1 t即 2 10 2t3AD5NFBCH MDHC90（图）3560 t17102560综上所述，当t9 分、 t或 t时， MNC 为等腰三角形38179最新资料推荐8 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC交 CD 于点 F AB 4，BC 6，

17、B60.（ 1）求点 E 到 BC 的距离；P 作 PMEF 交 BC 于点 M ，过 M 作（ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过MN AB 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EPx .当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 .NADADADNEFEPFEPFBC BC BC图 1MM图 2图 3AD（第 25 题） ADEFEFBCBC图 4（

18、备用）图 5（备用）10最新资料推荐解（ 1）如图 1，过点E作EG BC于点G分1 E 为 AB 的中点，AD1 BEAB22EF在Rt EBG中，B2 分60 ， BEG 30 BG1 BE 1，EG22 123BC2EBC3G即点到的距离为图 13 分（ 2）当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN 的形状不发生改变PMEF，EGEF， PM EGEFGM， PMEG3 BC，EP同理MNAB44 分如图 2，过点 P 作 PHMN 于 H ， MN AB， NMCB 60 ， PMH30 AND PH1 PM3 EPF22 MHPM cos303HBC235 G M则 NHMNMH4

19、图 22222在 Rt PNH 中，PNNH2PH253227 PMN 的周长 = PMPNMN37 46 分当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形当 PMPN 时，如图3，作 PRMN 于 R ，则 MRNR类似， MR3 2MN2MR 3分7 MNC 是等边三角形，此时， xEPGMBCADNEPFRBCBG M图 3MCMN3BGMC6 1 3 28 分ADADEPFEF （P）NNGMCBCGM图 4图 511最新资料推荐当 MPMN 时，如图 4，这时MCMN MP3此时， xEP GM6 13 53当 NPNM 时，如图 5， NPM

20、PMN30 则PMN 120 ， MNC60 ，又 PNM MNC180 因此点 P 与 F 重合，PMC 为直角三角形 MC PM tan30 1此时， xEPGM61 14综上所述，当 x2 或 4 或 53 时， PMN 为等腰三角形 10 分9 如图，正方形ABCD中，点 A、B 的坐标分别为（ 0， 10），（ 8，4），点 C在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD的边上，从点 A 出发沿 AB CD 匀速运动，同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动， 当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1) 当 P 点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标 x （

21、长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图所示， 请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3) 在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点 P 沿 ABCD 匀速运动时， OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由解：（ 1） Q （ 1， 0） 1 分点 P 运动速度每秒 钟 1 个单位长度 2 分（2） 过点 B 作 BF y 轴于点 F ， BE x 轴于点 E ，则 BF 8， OFBE4 AF 10 4 6 yD在 Rt A

22、FB 中， AB8262103 分过点 C 作 CG x 轴于点 G ，与 FB 的延长线交于点H C ABC 90 , AB BC ABF BCH APM12FHBONQ EG x最新资料推荐 BHAF6, CHBF8 OG FH 8 6 14,CG 8 4 12 所求 C 点的坐标为（14， 12）4 分（ 3） 过点 P 作 PM y 轴于点 M， PN x 轴于点 N，则 APM ABF APAMMPtA MM PABAFBF1 068 AM3 t，PM4 t PNOM 10 3 t , ON PM4 t 5555设 OPQ 的面积为S （平方单位）S1(103t)4732t2t)(1

23、5tt（ 0 10） 5 分51010说明 :未注明自变量的取值范围不扣分4747 时， OPQ 的面积最大 6 分 a3 0当 t103102(6)10此时 P 的坐标为（94 ， 53 ） 7 分1510（4）当 t5 或 t295 时，OP 与 PQ 相等 9 分31310 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC 的中点 AEF90，且 EF 交正方形外角DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证： AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M ，连接 ME ，则 AM=EC，易证 AME ECF ，所以 AEEF 在此基

24、础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（ 2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由FADADADFFBECGBECGBC E G图 1图 2图 313最新资料推荐解：（ 1）正确（ 1 分）证明：在 AB 上

25、取一点 M ，使 AMEC ，连接 ME （ 2 分）DBM BEBME 45AMEA135，FCF 是外角平分线，MDCF45，BECF135ECGAMEECF AEBBAE 90， AEBCEF90，BAECEF AME BCF （ASA ） （5 分）AEEF （6 分）（ 2）正确 （ 7 分）证明：在 BA 的延长线上取一点 N 使 ANCE ，连接 NE （ 8 分）FBNNBE DNAPCE 45四边形 ABCD 是正方形，AD BE DAEBC E GBEA NAECEF ANE ECF （ASA ） （ 10 分）AEEF （ 11 分）11 已知一个直角三角形纸片OAB ，

26、其中AOB90，OA将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边2，OB4 如图，OB 交于点 C ，与边AB 交于点 D （）若折叠后使点B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；yBOAx（）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B ，设 OBx ， OCy ，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；yBxOA（）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B ，且使 B D OB ，求此时点 C 的坐标yB14xOA最新资料推荐解（）如图，折叠后点B 与点 A 重合，则 ACD BCD .设点 C 的坐标为0，mm0 .则 BC OB OC 4 m .于是 ACBC4m .在 Rt AOC 中，由勾股定理，得AC 2OC 2OA2 ，即 42m222 ，解得 m3.m2点 C 的坐标为3分0， . 42（）如图，折叠后点B 落在 OA 边上的点为 B ,则 B CD BCD .由题设 OBx， OCy ，则 B CBCOB OC4y ，在 RtB OC 中，由勾股定理，得B C 2OC 2OB 2 .42y2x2 ，y即 y1 x226 分8由点 B 在边 OA上，有0 x 2 ，解析式 y1 x220 x 2为所求 .8当 0 x 2 时， y 随 x 的增大而减小，y 的取值范围为3 y 2.