初中数学培优竞赛讲座第25讲__奇数、偶数与奇偶分析

1、最新资料推荐第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2 整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1奇数偶数2两个整数相加(减 )或相乘，结果的奇偶性如下表所示3若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数4设 m、 n 是整数，则m 土 n， mn 的奇偶性相同5设 m 是整数，则m 与 m ， mn 的奇偶性相同奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法例题【例 1】三个质数之和为86，那么这三个质数是(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手注： 18

2、 世纪的哥尼斯堡， 有 7 座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题一个游人怎样才能不重复地一次走遍7 座桥，而最后又回到出发点1736 年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这 7 座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连简单地说， 当且仅当图形中的

3、奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2 时，这个图形才能一笔画【例 2】如果 a、 b、 c 是三个任意的整数，那么a b b c ca（）、2、22A 都不是整数B至少有两个整数C至少有一个整数D都是整数(2001 年 TI 杯全国初中数学竞赛题)思路点拨举例验证或从a、 b、c 的奇偶性说明【例 3】(1) 设 1， 2， 3， 9 的任一排列为al， a2， a3， a9求证： (all一 1)( a 22) (a9 9)是一个偶数(2) 在数 11， 22， 33， 44， 54， 20022002， 20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，

4、求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003思路点拨(1)转换角度考察问题， 化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2) 由于任意添 “十” 号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手【例 4】已知 x、 x 、 x 、 、 x 都是 +1或一 1，并且 x1x2x3xn 1xn0，求证： n 是 4123nx2x3x4xnx1的倍数思路点拨 可以分两步，先证 n 是偶数 2k ，再证明 k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式【例 5】游戏机的“方块”中共有下面?种图形每种“方块”都由4 个 l l 的小方格组成现用这7 种图

5、形拼成一个7 4 的长方形 (可以重复使用某些图形)问：最多可以用这7 种图形中的几种图形?1最新资料推荐思路点拨为了形象化地说明问题，对74 的长方形的28 个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，其余6 个方格各占2 个黑格 2 个白格注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n项和与积 )，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明 )能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖

6、掘不变量，不变性一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法所谓赋值法就是在解题时， 将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法【例 6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下 ?思路点拨这不可能我们将口向上的杯于记为： “ 0”，口向下的杯子记为“ 1”开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数一个杯子每翻动一次，所记数由0 变为 1，或由 l 变为0，改变了奇偶性每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来

7、相同所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能整数可以分为奇数和偶数两类【例 7】在 1， 2， 3， 2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思路点拨两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+ +2005 的奇偶性即可因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2， 3， 2005 中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与 1+2+3+ +2005 的奇偶性相同，而1+2+3+ +2005= 1(1+ 2005) 2005=1003 2005 为奇数；2因此，所求代数和为奇数注：抓住“ a+b 与 a

8、b 奇偶性相同” ，通过特例 1 十 2 十 3 十十 2005 得到答案【例 8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数 ”这句话正确吗 ?试证明你的结论思路点拨用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况这句话是正确的下面证明之若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数 )，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m1) 那么，贺卡总张数为 2m(2m 1)=4m 2-2m，显然是偶数若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m，为偶数贺卡总

9、张数为(2m+1) 2m，仍为偶数故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一【例 9】桌面上放有1993 枚硬币，第1 次翻动 1993 枚，第 2 次翻动其中的1992 枚，第 3 次翻动其中的 1991 枚，第1993 次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993 枚硬币原先朝下的一面都朝上 ?并说明理由思路点拨若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次因此，要把1993 枚硬币原2最新资料推荐先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993 枚硬币的总次数为奇数现在1993 次翻动的总次数为1+2+3+ +1993=1993 (

10、1+1993)/2=1993 997 是个奇数，故猜想可以使桌面上1993 枚硬币原先朝下的一面都朝上理由如下： 按规定， 1993 次翻动的总次数为1+2+3+ +1993=1993 (1+1993)/2=1993 997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997 次而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上按如下的方法进行翻动：第 1 次翻动全部 1993 枚，第 2 次翻动其中的 1992 枚，第 1993 次翻动第 2 次未翻动的那 1 枚，第 3 次翻动其中的 1991 枚，第 1992 次翻动第 3 次未翻动的 2 枚，第 997 次翻动其中的

11、997 枚，第 998 次翻动第997 次未翻动的996 枚这样，正好每枚硬币被翻动了997 次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果【例 10】在 6 张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上 1-6 这 6 个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出 6 个数请你证明：所得的 6 个数中至少有两个是相同的思路点拨从反面人手，即设这6 个数两两都不相等，利用aibi 与 aibi( i =1，2， 3， 4， 5，6) 的奇偶

12、性相同，引入字母进行推理证明设 6 张卡片正面写的数是a1、 a2、 a3、 a4、 a5、 a6 ，反面写的数对应为 b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6 ，则这 6 张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为a1b1 ，a2b2 ，a3 b3，a4b4 ，a5 b5 ，a6 b6 设这 6 个数两两都不相等，则它们只能取0， 1， 2，3， 4， 5 这 6 个值于是 a1b1+ a2b2+ a3b3+ a4 b4+ a5b5+ a6b6=0+1+2+3+4+5=15是个奇数另一方面，aibi与 aibi( i =1， 2， 3， 4， 5，6)的奇偶性相同所以a1 b1 + a2

13、b2 + a3b3 + a4b4 + a5b5 + a6b6 与(a1 一 b1)+(a2 一 b2)+(a3 一 b3)+(a 4 一 b4)+(a5 一b5 )+(a6 一 b6)=( aa2a3a4a5a ) 一 (b bbb4bb) =(1+2+3+4+5+6) 一1612356(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0 是个偶数， 15 是奇数，两者矛盾所以， a1b1 ， a2b2， a3b3， a4b4， a5b5， a6b6 这 6 个数中至少有两个是相同的注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法【例 11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1) 若最初小

14、船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?(2) 若小船最初在左岸，它过河99 次之后，是停在左岸还是右岸?思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为 2 的倍数，所以是偶数同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数(2) 通过 (1)，我们发现，若小船最初在左岸， 过偶数次河后， 就回到左岸； 过奇数次河后， 就停在右岸 现在小船过河 99 次，是奇数次因此

15、，最后小船该停在右岸注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸 (或由右岸到左岸 )就过河一次；往返一个来回就过河两次3最新资料推荐【例 12】黑板上写了三个整数， 任意擦去其中一个， 把它改写成另两个数的和减去 1，这样继续下去，得到 1995、 1996、 1997，问原来的三个数能否是 2、 2、 2？思路点拨 如果原来的三个整数是 2、2、 2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、 1996、 1997所

16、以，原来的三个数不可能是2、 2、 2注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性【例 13】 (苏州市中考题 )将正偶数按下表排成五列：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行2468第 2 行16141210第 3 行182022242826根据上面的排列规律，则2000 应位于 ()A 第 125 行，第1 列B第 125 行，第2 列C第 250 行，第1 列D第 250 行，第2 列思路点拨观察表格，第1 行最右边的数为8，第 2 行最左边的数为 16，第 3 行最右边的数为24，于是可猜测： 当行数为奇数时， 该行最右边的数为8行数； 当行数为偶数时， 该行最左

17、边的数为8行数 通过验证第 4 行、第 5 行、第 6 行知，上述猜想是正确的，因为2000=8 250，所以 2000 应在第 250 行，又因为 250 为偶数，故 2000应在第 250 行最左边，即第250 行第 1 列，故应选 C注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招【例 14】 (2000 年山东省竞赛题 )如图 18 1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字若左轮子上方的箭头指着的数字为a，右轮子上方的箭头指着的数字为b，数对 (a， b)所有可能的个数为n，其中 a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m，则 m 等于 ()

18、n11C53A BD 42612思路点拨依题意可知所有的数对n=4 3=12，其中 a+b 恰为偶数的数对 m=3 1+1 2=5 因此，m =5 ，故选 Cn12【例 15】(第江苏省竞赛题 )已知 a、b、c 中有两个奇数、 一个偶数， n 是整数， 如果 S=(a+2n+1)(b+2n十 2)(c+2n 十 3)，那么 ()A S 是偶数B S 是奇数CS 的奇偶性与 n 的奇偶性相同D S 的奇偶性不能确定思路点拨弄清 a+2n+1， b+2n+2 ， c+2n+3 的奇偶性即可依题得： (a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1) a+b+c 为偶数

19、， 6(n+1)为偶数， a+b+c+6(n+1) 为偶数 a+2n+1， b+2n+2， c+2n+3 中至少有一个为偶数，S 是偶数故选A 注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数4最新资料推荐学力训练1若按奇偶性分类，则2222002是数1 +2 +3 + +20022能不能在下式，的各个方框中分别填入“ +”号或“一”号，使等式成立?答：3已知三个质数a、b、 c 满足 a+b+c+abc 99，那么 a b b cca 的值等于4已知 n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3， (2)4n 一 1，其中，能表示“任意奇数”的()A 只有 (1

20、)B 只有 (2)C有 (1) 和(2)D 一个也没有5如果 a， b， c 都是正整数，且a， b 是奇数，则3a+(b 一 1)2c 是 () A 只当 c 为奇数时，其值为奇数B 只当 c 为偶数时，其值为奇数C只当 c 为 3 的倍数，其值为奇数D 无论 c 为任何正楚数，其值均为奇数6已知 a，b，c 三个数中有两个奇数、一个偶数， n 是整数，如果 S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3) ，那么 () A S 是偶数B S 是奇数C S 的奇偶性与 n 的奇偶性相同D S 的奇偶性不能确定(第 16 届江苏省竞赛题 )7 (1) 是否有满足方程x2 y2=1998 的

21、整数解 x 和 y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由(2) 一个立方体的顶点标上+1或一 1，面上标上一个数，它等于这个面的4 个顶点处的数的乘积，这样所标的 14 个数的和能否为0?8甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A 作 1，J，Q，K 分别作 11，12， 13，不同 )，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13 对牌，每对牌彼此相减，问这 13 个差的乘积的奇偶性能否确定?9在 1，2， 3， ,1998 之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是10 1， 2，3， 98 共 98 个自然数，能够表示成两整数

22、平方差的数的个数是(全国初中数学联赛试题 )11在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0 分，平局每个选手各记 1分，今有 4 个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心， 其数据各不相同， 分别为1979，1980 ，1984， 1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有名选手参加12已知 p、 q、 pq+1 都是质数，且p 一 q40，那么满足上述条件的最小质数p； q(第 15 届“希望杯”邀请赛试题 )13设 a，b 为整数，给出下列 4 个结论：(1) 若 a+5b 是偶数，则 a 一 3b是偶数；(2) 若 a 十 5b是偶数，则 a 一 3b是奇数；(3) 若 a+5b 是奇数，则 a 一 3b是偶数；