第一轮复习第二章_第4课时__函数的奇偶性与周期性

1、函数的奇偶性与周期性,1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数.,一、函数的奇偶性,2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数.,二、简单性质,研究半个区间！,1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称.,反之成立！,2.单调性:,3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|).,3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是

2、偶函数.,例: 函数 f(x)=0(xD, D关于原点对称)是既奇又偶函数.,三、函数奇偶性的判定方法,1.根据定义判定:,首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数;,若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x).,2.利用定理, 借助函数的图象判定:,3.性质法判定:,在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;,两偶函数之积(商)也为偶函数;,一奇一偶函数之积(商)为奇函数.,(注意取商时分母不为零!),四、函数的周期性,如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周

3、期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期.,五、典型例题,1.判断下列函数的奇偶性：,偶函数,奇函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数,奇函数,偶函数,(2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和.,f(1)g(0)g(-2),偶函数,奇函数,f(4a+x)=f(x).,5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x)是偶函数, 当 x0, 2时, f(x)=2x-1, 求 x-4, 0时 f(x) 的表达式.,6.若对任意的 xR, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(

4、b+x)=f(b-x), 其中 ba. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数.,8.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, bR 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论.,9.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数, 且对于任意的 a, bR 都满足: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0)0. (1)求证: f(x)是偶函数; (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T0)的值.,

5、0,0,f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数,(1)f(0)=1, f(-b)=f(b),(2)考虑 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m).,7.若对任意的 xR, 都有 f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2b-x)=2c, 其中 ab. 则 f(x) 是以 4(a-b) 为周期的周期函数.,课堂练习,D,B,C,A,5.奇函数 f(x) 在3, 7上是增函数, 在3, 6上的最大值为 8, 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为( ) A. 5 B. -5 C. -13 D. -15,6.奇函数 f(x) 在-1, 0上是减函数, , 是锐角三角形的两 个内角, 且 , 则下列不等式中正确的是( ) A. f(cos)f(cos) B. f(sin)f(sin) C. f(cos)f(cos) D. f(sin)f(cos),D,D,7.已知 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称, 又关于点 (m, n) 对称, 其中 ma. 求证 f(x) 是以 4(a-m) 为周期的周期函数.,证: 由已知, f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2m-x)=2n, f4(a-m)+x=f2a-(4m-2a-x),=f(4m-2a-x)=f2m-(