高等数学教学课件54

1、科学出版社,二、直接积分法,三、不定积分的第一类换元积分法,一、 不定积分概念,第四节,不定积分,第五章,四、不定积分的第二类换元积分法,五、分部积分法,六、有理函数的积分,七、三角函数有理式的积分,八、简单无理函数的积分,科学出版社,定义 1. 函数,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,可积，则,( C 为任意常数 ),例如,记作,一、不定积分的概念,C 称为积分常数，表示原函数全体，不可省略！,科学出版社,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆运算思想，直接写出原函数,二、 直接积分法,(1)式表明函数先积分再微分得

2、到的还是原来的函数,而(2) 式表明先微分再积分则要增加一个常数!,科学出版社,科学出版社,或,或,科学出版社,不定积分的性质,推论: 若,则,科学出版社,例1.,解:,求,原式 =,例2. 求,解:,原式 =,原式 =,科学出版社,例3. 求,解:,原式 =,科学出版社,解:,例4.,求,原式 =,科学出版社,例5.,解:,例6.,解:,原式 =,求,求,原式 =,科学出版社,第一类换元法,设,可导,则有,三、不定积分的第一类换元积分法,第一类换元法又称“凑微分法”，,凑出一个微分：,就是在被积函数中,科学出版社,解：,例8.,计算,解：,例7 .,看作u，直接凑微分,计算,科学出版社,计算

3、,解：,例11.,计算,解：,类似,例9.,例10.,计算,解：,原式,原式,原式,科学出版社,例12.,解:,令,则,想到公式,计算,原式,科学出版社,例13.,想到,解:,(直接凑微分),计算,科学出版社,例14.,解:,原式 =,计算,科学出版社,例15.,解法1,计算,科学出版社,解法 2,同样可证,或,例9例13 可以作为基本积分公式记住.,科学出版社,计算,解：,例17.,计算,解：,例16.,科学出版社,解：,例18.,计算下列不定积分,科学出版社,例18.,解：,科学出版社,常用的几种凑微分形式:,万能凑幂法,科学出版社,科学出版社,例19. 计算,解法1,解法2,结果一样！,

4、科学出版社,例20.,计算下列不定积分:,解：,科学出版社,例21.,计算下列不定积分:,解：,科学出版社,例22.,计算下列不定积分:,解：,原式,科学出版社,例22.,计算下列不定积分:,解：,科学出版社,例23.,计算下列不定积分:,解：,科学出版社,例23.,解：,科学出版社,例24. 计算,解:,原式 =,科学出版社,例25.,解:,分析:,计算,原式 =,科学出版社,例26.,解:,计算,原式=,科学出版社,四、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,则有换元公式,的反函数.,科

5、学出版社,例27.,计算,解：,令,得,于是,再将,代回，整理得,（也可用凑微分法）,科学出版社,例28.,计算,解：,希望去掉根号，故令,于是,原式,科学出版社,例29. 求,解: 令,则, 原式,原式,科学出版社,例30. 求,解:,则, 原式,令,科学出版社,例31. 求,解:,则, 原式,科学出版社,注:,1. 被积函数含有,除采用三,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 . 还可用代换,或,角代换外, 还可利用公式,2. 再补充两个常用双曲函数积分公式,科学出版社,倒代换,例32.,解:,则,当x 0 时, t 0,当 x 0 时, 也有相同的结果.,计算下列不定积分:,故,(1)

6、令,科学出版社,例33.,(2),解:,令,则,于是,（也可用部分分式方法）,科学出版社,例34.,计算,解:,令,则,于是,（也可用部分分式方法）,科学出版社,例35.,计算,解:,因为被积函数中有,故可设,则,于是,（也可用拆项法做）,科学出版社,注:,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第八节讲,科学出版社,由导数公式,得,实际操作程序：,(1) v 容易求得 ;,容易计算 .,五、分部积分法,移项后,凑一个微分dv,交换u、v位置,科学出版社,例36.,解: 令,则, 原式,同理,原式,计算,科学出版社,例37.,解: 取,则, 原式,当被积函数是指数函数 (或三角

7、函数) 与幂函数,相乘时，将后者取为u，前者取为v.,幂函数的幂次会降低，故称 “降幂法”. 如上面两例.,由于在运算过程中,计算,注：,科学出版社,例38.,计算,解：,科学出版社,例39.,解: 令,则,原式 =,计算,科学出版社,例40.,计算,解：,原式 =,例39和例40给出的是“升幂法”，,三角函数) 与幂函数相乘时.,用在被积函数是对数函数 (或反,幂函数的幂次会升高.,是由于在运算过程中,科学出版社,例41.,计算,解：,原式 =,科学出版社,解:, 则,继续凑微分,故,注: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,本例及例43是循环法.,例42.,计算,取,科学

8、出版社,例43.,计算,解:,于是,科学出版社,将被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例44. 求,解: 令,则,原式=,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,科学出版社,例45. 计算,解:,于是,可先用三角函数凑微分,科学出版社,例46. 计算,解: 若凑,则做分部积分后,不易运算. 因此可考虑凑微分,于是,科学出版社,例47.,解:,则,得递推公式,计算,令,科学出版社,注:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,科学出版社,例48.,证:,证明递推公式:,设,科学出版社,注:,分部积分题目的类型:,1

9、) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,科学出版社,例49.,的一个原函数是,求,解:,若先求出,再求积分反而复杂.,已知,科学出版社,例50.,解法1：,令,则,故,计算,先换元后分部,科学出版社,解法2：,直接用分部积分法,科学出版社,六、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 既约真分 式,分解,若干部分分式之和,设,是既约分式，,科学出版社,则部分分式中有形式：,其中,都是

10、待定的常数.,科学出版社,例51.,解: 被积函数分解为可以写成,为确定A1,的值, 在等式两边同乘以(x+3),再令x=-3 得,计算,A1=1.,为确定A2的值,在等式两边同乘以(x-2), 再令x=2,得A2=2.,科学出版社,因此,科学出版社,例52.,解:,在等式两边同乘以 x-1，再令x=1,得A=1,被积函数分解为可以写成,计算,在等式同乘以(x2+1)2, 再令x=i 得-2i=Di+E，即D=-2，E=0,在等式两边同乘以x再令x=. 得B= -A= -1.,在等式两边令 x=0，得-2 = -1+C，即C=-1,科学出版社,故,于是 原式=,科学出版社,四种典型部分分式的积

11、分:,变分子为,再分项积分,科学出版社,例53.,解:,问题:,提示:,变形方法同本例,并利用例47的递推公式 .,计算,原式,求,科学出版社,例54. 求,解法1:,注: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,由于我们可以把x2看成一个变量,被积函数为,两边乘以 x4,再令x=0, 得D=1; 两边乘以x2+1,再令x2=-1,得F=1;,两边乘以x2, 再令x2=,得B =-F=-1,于是,科学出版社,解法2：,于是,设,科学出版社,解法3：,于是,设,科学出版社,例55.,计算,解：,科学出版社,七、三角函数有理式的积分,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,转化为t 的有理函数的积分.,则,科学出版社,则,万能代换,令,科学出版社,例56.,解:,令,可得,计算,科学出版社,虽然三角函数有理式的不定积分都可以用万能代换,化成有理函数的不定积分，,函数的积分往往比较繁，,方便的方法来解.,例57.,计算,解：,但是得到的有理,在很多情况下可以用其他更,原式,科学出版社,例58.,计算,解：,原式,科学出版社