线性代数教案

1、第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式一、二阶行列式的定义 设二元线性方程组 用消元法解得 令称为二阶行列式则 二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 用消元法解得 令 称为三阶行列式 则 2 全排列及其逆序数一、全排列 个不同元素排成一列。可将 个不同元素按1 进行编号，则 个不同元素的全排列可看成这 个自然数的全排列。 个不同元素的全排列共有 种。 逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。 通常取从小到大的排列为标准排列，即 1 的全排列中取123 为标准排列。 二、逆序及逆序数 逆序数的定义：一个排列的逆序

2、数的总数称为逆序数。 逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。 例：讨论 1 ， 2 ， 3 的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序数的计算：设 为 的一个全排列，则其逆序数为 其中 为排在 前，且比 大的数的个数。 例：求 的逆序数。 解： ， 3 阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式。 二阶行列式 其中 是 的全排列， 是 的逆序数， 是对所有 的全排列求和。 三阶行列式 其中 是 的全排列， 是 的逆序数， 是对所有 的全排列求和。 n 阶行列式的定义 其中

3、是 的全排列， 是 的逆序数， 是对所有 的全排列求和。 例： ， 4 对换*对换的定义：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。 定理 1 对换一次改变排列的奇偶性。 定理 2 阶行列式为 其中 为 的逆序数。 5 行列式的性质转置行列式的定义 设 称为 的转置行列式。 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质 2 行列式互换两行（列），行列式变号。 推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。 性质 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ，等于用数 乘以该行列式。 推论 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质 4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则

4、此行列式为零。 性质 5 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。即若 则性质 6 把行列式某一行（列）的元素乘以数 再加到另一行（列）上，则该行列式不变。 例 计算 解 。例 计算解 。6 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中，把元素 所处的第 行、第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；而 称为 的代数余子式。 引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，即 则 。证 先证简单情形： ； 再证一般情形： 定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 （此定理称为行列式按行（列）展开定理）

5、 证： 例解 例 解 从而解得 。 定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 结合定理及推论，得 或 ， ，其中7 克拉默法则定理（克拉默法则） 设线性方程组 的系数行列式 则上述线性方程组有唯一解： ，其中 证明在第二章 当 全为零时，即 称之为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组必定有解（ ）。 根据克拉默法则，有 1 齐次线性方程组的系数行列式 时，则它只有零解（没有非零解） 2 反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 。第二章 矩阵及其运算矩阵一、矩阵的定义 称 行、 列的数表 为 矩阵 ，或简称为矩阵；表示为 或简记为 或 或

6、；其中 表示 中第 行，第 列的元素。 注： 第一章中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数，而 矩阵是 个数的整体，不对这些数作运算。 例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。 设 都是 矩阵，当 则称矩阵 与 相等，记成 。 二、特殊形式 阶方阵 ： 矩阵 行矩阵 ： 矩阵（以后又可叫做行向量），记为 列矩阵 ： 矩阵（以后又可叫做列向量），记为 零矩阵 ：所有元素为 0 的矩阵，记为 对角阵 ：对角线元素为 ，其余元素为 0 的方阵，记为 单位阵 ：对角线元素为，其余元素为 0 的方阵，记为 三、线性变换的系数矩阵 线性变换的定义： 设变量 能用变量 线性表示，即

7、这里 为常数这种从变量 到变量 的变换称为线性变换， 线性变换由 个 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。 上式的系数可构成一个 矩阵 称之为线性变换的 系数矩阵。 线性变换和系数矩阵是一一对应的。 例如，直角坐标系的旋转变换（变量 到变量 的变换）的系数矩阵为 恒等变换的系数矩阵为 同样，齐次线性方程组 与系数矩阵 也是一一对应的。 非齐次线性方程组 与 增广矩阵 也是一一对应的。 2 矩阵的运算一、加法 设 ， 都是 矩阵，则 加法 定义为 显然， ， 二、数乘 设 是数， 是 矩阵，则 数乘 定义为 显然 ， ， 三、乘法 乘法运算比较复杂，首先看一个例子 设变量

8、到变量 的线性变换为 变量 到变量 的线性变换为 那么，变量 到变量 的线性变换应为 即 定义矩阵 和 的乘积为 按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义 设 ， ，则乘法定义为 其中 ， 注 ：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第 行，第 列元素为前一个矩阵的第 行元素与后一个矩阵的第 行元素对应相乘再相加。 例 ：设 ， ，则 一个必须注意的问题 ： 1 若 ， ，则 成立，当 时， 不成立； 2 即使 ， ，则 是 阶方阵，而 是 阶方阵； 3 如果 ， 都是 阶方阵，例如 ， ，则 ，

9、而 ； 综上所述，一般 （即矩阵乘法不满足交换率）。 但是下列性质显然成立： ， ， ， 几个运算结果： 1 2 3 若 为 矩阵， 是 阶单位阵，则 ；若 是 阶单位阵，则 。 4 线性变换的矩阵表示： 设 ， ， ， ， 则 5 线性方程组的矩阵表示： ， ， ， 则 矩阵的 幂： ， ， ， 。 例：证明 证：用归纳法： 时，显然成立，假定 时成立，则 时 从而结论成立。 由于 是直角坐标旋转 角度变换的系数矩阵，故而 是旋转了 角度变换的系数矩阵。 四、转置 设 ，记 则称 是 的转置矩阵。 显然， ， ， ， 对称矩阵的定义：若矩阵 满足 （即 ），则称 是对称阵 例 ：设 是 矩阵

10、，证明 是 阶对称阵， 是 阶对称阵。 例 ：设 ，且 ， 为 阶单位阵， ， 证明： 是对称阵， 。 证 ： ，故 是对称阵。 。 五、方阵的行列式 为 阶方阵，其元素构成的 阶行列式称为方阵的行列式，记为 或 。 显然， ， ， 。 例 ：设 记， 其中 是 的代数余子式， 称为 的伴随阵。 证明： 。 证：设 设 。 例：设 为 （ ）阶实方阵，且 ， ，求 。 解：注意到 由 ，得 ， ， 由于 ，故 。 六、共轭矩阵 为复矩阵， 为 的共轭复数，则称 为 的共轭矩阵。 显然， ， ， 。 3 逆矩阵设 为 阶方阵，若有同阶方阵 使得 则称 是可逆的， 为 的逆阵， 可以证明，如果 是

11、可逆的，则 的逆阵是唯一的，并记 的逆阵为 ，从而上式可写成 例： ， 例：设 到 的线性变换由下式给出 其逆变换 到 的线性变换则右下式给出 这是因为 ，则 ， 例：线性方程组 有唯一解： 定理 1 （矩阵可逆的充分必要条件） 可逆 。 证： ：若 可逆，则存在 ，使得 ， ，所以 。 ：若 ，则由 得 ，故而 可逆。 在证明中可知 这是 的计算公式，其中 是 的伴随阵， 是 的代数余子式。 例： ，求 。 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 例： ， ，求 。 解： ， ， ， ， ， 。 推论： 是 阶方阵， ，则 。 可逆阵的性质： 1 可逆 可逆，且 。 2 可逆， 可逆，且

12、。 3 可逆，且同阶 可逆，且 。 4 可逆 可逆，且 。 定义负幂次方：设 可逆，则定义 ， 。 例：设 ，求 。其中 ， ， 。 。 例：设方阵 满足 ，证明 可逆，并求 。 证： 。 4 矩阵分块法例 设 可按以下方式分块，每块均为小矩阵：， ， ， 则 矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。 矩阵分块法的运算性质： 1 加法： 设 ， ， 则 。 2 数乘： 设 ， 是数，则 。 3 乘法： 设 ， ，则 其中 ， ， ， 。 4 转置： 设 ，则 。 5 对角分块的性质： 设 ，其中 均为方阵，则 。 若 可逆，则 。 例 。求 。 解 设 ， ，则 ， ，则

13、。 例 设 ， 为可逆方阵，求 解 设 ，则由 得 ，其中 ， 按乘法规则，得 解得： ， ， ， 故 。 几个矩阵分块的应用： 1 矩阵按行分块： 设 ，记 ， 则 矩阵按列分块： 记 ， 则 。 2 线性方程组的表示： 设 若记 ， ， 则线性方程组可表示为 。 若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 3 矩阵相乘的表示： 设 ， ，则 。 设 ， ，则 ，其中 是 矩阵， 是 ， 是 。 4 对角阵与矩阵相乘： ， 。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组1 矩阵的初等变换定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1 互换两行（记 ）； 2 以数 乘以某一

14、行（记 ）； 3 把某一行的 倍加到另一行上（记 ）。 若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 定义 若矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 与 行等价，记 ； 若矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵 ，则称 与 列等价，记 ； 若矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ，则称 与 等价，记 。 等价关系满足： 1 反身性： ； 2 对称性： ； 3 传递性： 。 例 用初等行变换解线性方程组： 解 （称 是该线性方程组的增广矩阵） , （ 称为行阶梯形矩阵） ，（ 称为行最简形矩阵） 对应的线性方程组为 取 ，则 即 对 矩阵 ，总能经若干次初等行变

15、换和初等列变换变成如下形式 ， （称之为标准形）。 2 矩阵的秩定义 在 矩阵 中，任取 行 列的元素，按原排列组成的 阶行列式，称之为 的 阶子式。 若 矩阵 中有一个 阶子式 ，并且所有的 阶子式全为零，则称 为 的最高阶非零子式， 称为 的秩，记 。 例 在 中，一个2 阶子式 ，所有3 阶子式均为零： ， ， ， 故 。 特别，当 阶方阵 的行列式 ，则 ；反之，当 阶方阵 的秩 ，则 。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 （满秩）。 定理 若 ，则 。 例 求 的秩，以及一个最高阶非零子式。 解 用初等行变换化 为行阶梯形矩阵：所以， ， 是 的一个最高阶非零子式。 3 线性方程组的解定理 n元线性方程组 1 无解 2 有唯一解 3 有无穷多解 证 设 ，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成如下行最简形矩阵 证 1 ，则 ，上述矩阵的第r+1 行对应矛盾方程 ，故方程组无解。 2 ，则上述行最简形矩