人教版九年级上册数学《24.2.2 直线和圆的位置关系 第三课时 切线长定理及三角形的内切圆》教学课件

1、切线长定理和内切圆,第3课时,情境创设,1、如下左图，点A在O上，P是O外一点，OAP是直角，PA是O的切线吗？为什么？,2、如何过O外一点P作O的切线，这样的切线能作几条？,结论小结,如右图所示,切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.,切线是直线，切线长是线段的长.,在下图中，PA,PB是O的两条切线， 切点分别是A,B，沿直线OP将图形对 折，你发现了什么？,1、图形是 对称图形， 该图形关于 对称； 2、PA= ， =BPO.,轴,直线OP,PB,APO,你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？,证明：连接OA、OB. PA、P

2、B是O的切线, PAOA,PBOB, 即POA、POB是直角三角形. 又OA=OB、OP=OP, POAPOB, PA=PB、APO=BPO.,已知如图，P是O外一点，连接PO,PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B. 求证：PA=PB,APO=BPO.,如右图所示,切线长定理： 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,1=2,符号表示为,1,2,例题教学,如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B， 直线OP交O于点D、E，交AB于点C. （1） AD 与BD是否相等？为什么？ （2）OP与A

3、B有怎样的关系？为什么？, 解：（1） AD = BD, PA、PB是O的切线, PAO=PBO=90 ,APO=BPO, AOD=BOD, AD = BD.,（2）PA、PB是O的切线， A、B为切点,PA=PB. 又APO=BPO, OPAB，AC=BC, 即OP垂直平分线段AB.,例2：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 和圆O分别相切于点L、M、N、P . 求证： AD+BC=AB+CD.,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB, NC=MC，DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP.,即 AB+CD=AD+BC .,补充：圆的外切四边形的两组对边的

4、和相等,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,小 结：,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2 .圆的外切四边形的两组对边的和相等,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中相等的圆弧,（5）写出图中所有的等腰三角形,ABP， AOB,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=

5、APC=BPC,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB= .,P,A,B,C,O,60,（4）OP交O于M，则 ， .,M,牛刀小试,（3）若P=70，则AOB= .,110,（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA.,OA=3,。,P,B,A,O,反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.,练习1：已知：P为O外一点，PA、PB为O的切线， A、B为切点，BC是直径. 求证：ACOP.,D,练习2.（口

6、答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2) 如果P=46,求COD的度数.,C, O,P,B,D,A,E,大显身手,如图，AB是O的弦，BD切O于点B，ODOA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。,OBA+3=90 OB=OA OBA=A 3+A=90 又ODOA 1+A=90 1=3 又1=2 2=3 BD=CD,解：连接OB，则OBBD,1.由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆. 2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆. 3.三角形外接圆的圆心叫做 三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角

7、形.,三角形与圆的位置关系（回顾）,探索：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?,I,I,上右图就是三角形的内切圆作法：,D,（1）作ABC、ACB的平分线BM和CN，交点为I. （2）过点I作IDBC，垂足为D. （3）以I为圆心，ID为半径作I， I即为所求.,M,N,这样的圆可以作出几个呢?为什么?.,直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到ABC三边的距离相等(为什么?),和ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.,定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.,分别作

8、出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?,提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.,广东省怀集县大岗镇中心初级中学 梁克繁,解：设AF=x，则AE=_ ， CD=CE=AC-AE=_， 同理 BD=BF=AB-AF=_， 由BD+CD=BC得 _+_=_ 解得x=_. AF=_，BD=_，CE=_.,x,13-x,9-x,（13-x）,（9-x）,14,4,9,4,5,例2 如图，ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F，且AB=9，BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长？,练习 如图，在ABC中，点O是内心. （1）若ABC=50， ACB=70，则 BOC的度数为.,（2）若A=80，则BOC=. （3）若BOC=110，则A=.,130,40,120,广东省怀集县大岗镇中心初级中学 梁克繁,ABC的内切圆半径为r，ABC的周长为l ，求ABC的面积. （提示：设内心为O，连接OA，OB，OC）.,解：如图：过圆心O分别连接 OD,OE,OF, 并且连接OA,OB,OC， 则有 SABC=SAOB+SBOC+SAOC = AB r+ BC r+ AC r = (AB+BC+AC)