用叠加法求挠度和转角

1、当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系而且弯曲变形是很小的因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的下面举例说明 例 7-3 图 7-8 所示简支梁，承受均布载荷 q 和集中力偶 M0 作用，已知 M0 =ql2 。试求跨度中点的挠度 fc 和 A 截面的转角 A 。 解：利用叠加法求解时，首先将 q , M0 同时作用下的简支梁 (

2、 图 7 -8a ) ，分解为 q 作用下的简支梁 ( 图 7-8b) 和 M0 作用下的简支梁 ( 图 7 -8c ) ，然后，由表 7.1 查取结果叠加。 从表的第 9 栏查得均布载荷 q 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为 由表 7.1 第 5 栏查得集中力偶 M0 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为 叠加以上结果，求得 q , M0 同时作用下的中点挠度和 A 截面转角为 fc 为负值，表示挠度向下A 为负值，表示 A 截面顺时针转动例 7-4 简支梁如图 7 10a 所示，在 2a 的长度上对称地作用有均布载荷 q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角 解：利用叠加法求解。由于简支

3、梁上的载荷对跨度中点 C 对称，故 C 截面的转角应为零因而从 C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图 7 10b 所示。梁上作用有均布载荷 q 和支座 B 的反力 RB = qa.这样，悬臂梁上 B 端面的挠度在数值上等于原梁中点 C 的挠度，但符号相反， B 端面的转角即为原梁 B 端面的转角经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便 由表 7 1 的第 2 栏查得，当集中力 RB (=qa) 作用时 ( 图 7 10c ) ， B 端面的转角和挠度分别为 由表 7 1 的第 4 栏查得，当均布载荷 q 作用时 ( 图 7 10d) ， E 截面的转角和挠度分别为 由于 EB 梁段上无

4、载荷作用，所以 q 引起 B 点的转角和挠度分别为 = = 叠加上述结果，可得 B 端面的转角和挠度分别为 于是，原梁 ( 图 7 10a ) 中点 C 的挠度 fc 为 例 7-6 某一变截面外伸梁如图 7 11a 所示 AB 、 BC 段的抗弯刚度分别为 EI1 和 EI2 ，在 C 端面处受集中力 P 作用，求 C 端面的挠度和转角 解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表 7 1 中的结果为此，必须将外伸梁分为 AB 、 BC 两段来研究首先假设梁的外伸段 BC 是刚性的，研究由于简支梁 AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角然后，再考虑由于外伸段 BC 的变形所引起的 C 截面

5、的挠度和转角最后将其两部分叠加，得 C 截面的实际变形 由于假设 BC 段为刚性，故可将 P 力向简支梁 AB 的 B 端简化，得 P 和 Pa P 力可由 B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶 Pa 引起 B 截面的转角 ( 图 7 11 b) 由表 6 1 查得 它引起 C 截面的转角和挠度分别为 在考虑 BC 段的变形时，可将其看作悬臂梁 ( 图 7 11c ) ，由表 6 1 查得，在 P 力作用下 C 截面的转角和挠角分别为 将图 7 11b 、 c 中的变形叠加后，求得 C 端面实际的转角和挠度分别为 例 7-7 在悬臂梁 AB 上作用线性分布载荷，如图 7-12 所示试求自由端 B 点的挠度 解：本例同样可以应用叠加法求解将图中 dx 微段上载荷 qdx 看作集中力，查表 7 1 的第 3 栏求得微段载荷 qdx 作用下自由端 B 截面的挠度为 (1