格林公式及其应用

1、第三节 格林公式及其应用课题第 3讲：第三节格林公式及其应用教学目的要求1. 掌握格林公式;2. 掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件;3. 掌握二元函数的全微分求积4. 掌握定理3的证明方法.主要内容与时间分配1. 格林公式 30分钟2. 平面上的曲线积分与路径无关的条件; 30分钟3. 二元函数的全微分求积 20分钟重点难点格林公式;曲线积分与路径无关的条件. 教学方法和手段启发式教学法.以讲授为主，使用电子教案课后作业练习 习题 103第153页 2 (3) ; 3; 4(3) ; 5(4); 7. 一、格林公式1单连通区域。设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分都属于。称为单连通区域

2、（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图10-3-1定理1（格林公式） 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=。为的取正向的边界曲线。证 对既为型又为型区域：连续，=图10-3-2： 又 =+ =对于型区域，同理可证 = 原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用： 在格林公式中，取，= 说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立图10-3-3 （2）记法= （3）在一定条件下用二重积分计

3、算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。 （4）几何应用。 例1 计算 ：解 原式=， ，例2 计算星形线围成图形面积解 =二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2 设区域G是一个单连通区域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是在G内恒成立。 例1 ：从到的折线 ；：从到的直线 解 = 3 ：,即 =图10-3-4定理3 设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线，=。（2）对内任一曲线，与路径无关（3）在内存在某一函数使在内成立。（4），在内处处成立。证明 （1）（2） 在内任取两

4、点，及连接的任意两条曲线， 为内一闭曲线 由（1）知，即+=图10-3-5（2）（3）若在内与路径无关。当起点固定在（）点，终点为后，则是的函数，记为。下证 =的全微分为=。 ，连续，只需证， 由定义 =+ 图10-3-6 =+ =， 即， 同理。（3）（4）若=，可证=， 由具有连续的一阶偏导数故=（4）（1）设为内任一闭曲线，为所围成的区域。=。例2 曲线积分， 为过，和点的圆弧。解 令，则， 与路径无关。 取积分路径为。+图10-3-7=例3 计算， （1）为以为心的任何圆周。 （2）为以任何不含原点的闭曲线。解 （1）令，图10-3-8在除去处的所有点处有=，作以0为圆心，为半径作足够

5、小的圆使小圆含在内，=，即=（2）= 0三、二元函数的全微分求积 与路径无关，则为某一函数的全微分为=+注：有无穷多个。图10-3-9例4 验证：是某一函数的全微分，并求出一个原函数。解 令， 原式在全平面上为某一函数的全微分，取，图10-3-10=例5 计算， 为从到再到，是半圆弧 解 令， ， 图10-3-11添加直线，则，原式+= = 原式=例6 设在上连续可导，求，其中为从点到的直线段。 解 令， 图10-3-12= ，故原积分与路径无关，添构成闭路， 原式+ 原式= 练习1.证明：若为连续函数，而为无重点的按段光滑的闭曲线，则。 2.确定的值，使在不经过直线的区域上，与路径无关，并求当为从点到点的路径时的值。 3设，为上的连续函数，证明小结：1. 格林公式及应