2021学年中考数学重难题型突破规律探究含解析

1、中考数学重难题型突破：规律探究“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。3、规律探究类问题架构： 规律探究第一次做差为常数一阶等差规律意思是第一次做差差

2、为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。2、一阶等差的实质： 通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个 在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下： 由一阶等差的实质可得规律为：。为求出的不变差，的求解可带第一组值求解。3、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个数记

3、为（2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为，即后项前项（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点，设通项公式为：，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式； 例1 如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子【规范答题】法一：套通项公式。有图可得数据做差，带入公式，得到：。法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个第2个图案中棋子的个数个每个图形都比前一个图形多用6个第30个图案中棋子的个数为个故答案为：179 例2 观察下列数：，它

4、们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是A B C D【规范答题】法一：观察分析。 ，由上可知，第个数是故选：法二：赋值思想。令，A，A错；B，B错；C ，C对； D，D错。 1 给定一列按规律排列的数：1，则第个数为A B C D【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，的平方，分子是正奇数，则第个数是，故选： 2 已知下列一组数：1，；用代数式表示第个数，则第个数是A B C D【解答】；第个数是：故选： 3 按一定规律排列的一列数依次是、1、按此规律，这列数中第100个数是ABCD【解答】由、可得第个数为，第100个数为：故选： 4 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，

5、第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，则第个图案中有根小棒【解答】第1个图案中有根小棒，第2个图案中有根小棒，第3个图案中有根小棒，第个图案中有根小棒故答案为： 5 如图是用棋子摆成的“小屋”，按照这样的方式摆下去，第6个这样的“小屋”需要枚棋子【解答】第1个“小屋”，下边正方形棋子，上边1枚，共，第2个“小屋”，下边正方形棋子，上边3枚，共，第3个“小屋”，下边正方形棋子，上边5枚，共，第个“小屋”，下边正方形棋子，上边枚，共，当时，故答案为：35 6 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第个图形需要棋子枚（用含的代数式表示）【解答】第一个图需棋子；第

6、二个图需棋子；第三个图需棋子；第个图需棋子枚故答案为： 7 如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1）、（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，最下面一层小正方体木块总数应是【解答】观察图形知：第1个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；第2个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；第3个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；第个图形中最下面一层的小正方体的个数为个；故答案为： 8 下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第个图形中的个数为为正整数）【解答】第一个图形有个，第二个图形有个，第三个图形有个，第四个图形有 个，第个图形共

7、有：故答案为： 9 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个【解答】当为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有个，故共有个；当为偶数时，中间一行有个，故共有个所以当时，共有个 规律探究再差为常数再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。1、再差法通项公式（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为，二次差的结果为一个固定常数，记为；（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：（4）若记不住公式，可设为：，代入开始的3组数据，即可得到通项

8、公式。 例3 将半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， ，依次规律，第6个图形有个小圆【规范答题】法一：通项公式法。有图可得数据12346101624第二次做差得常数，第一次做差的第一个数带入公式计算，得到：。法一：二次函数法。设：，代入、 得：，解方程组，得，所以， 10 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，按照这样的规律摆下去，第是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（用含的代数式表示）【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子

9、数是（个；第2个图形中的棋子数是（个；第3个图形中的棋子数是（个，以此类推，发现：第是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（个 11 观察下列砌钢管的横截面图，则第个图的钢管数是（用含的式子表示）【解答】第一个图中钢管数为；第二个图中钢管数为；第三个图中钢管数为；第四个图中钢管数为，依此类推，第个图中钢管数为，故答案为： 12 如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第个图案中有根火柴棒。（用含的代数式表示）【解答】依题意得：，根数为：；，根数为：；，根数为：；时， 根数为：故答案为： 13 将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第行左起第个数【解答】由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三

10、行3个数，则第行个数，故前个数字的个数为：，当时，前63行共有个数字，在第64行左起第4个数，故答案为：64，4 14 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是【解答】第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有5块，第3个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有13块，第个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有，当时，黑色地砖的块数有故答案为：365 15 当等于1，2，时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于（用表示，是正整数）【解答】第1个图形：白色正方形1个，

11、黑色正方形个，共有个；第2个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个；第3个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个；，第个图形：白色正方形个，黑色正方形个，共有个故答案为： 规律探究作商为常数通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。1、商比法规律探究（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为（2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为；（3）则该类型的规律为：任意的第项满足： 例4 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是A B C D【规范答题】法一：

12、观察分析。，故选：法一：套公式。可得数据12345做比得常数，带入公式计算，得到：。因为与等价，所以选法三：赋值思想。 例5 如图，在中，在上，于，且，过作于，过作于，过作于，过作于则有，若在线段的右侧，则的最大值为【规范答题】在中，由的直角三角形的性质可知，由题意，可得的最大值为5，故答案为5 16 按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第n个单项式是（）A（1）n1x2n1 B（1）nx2n1 C（1）n1x2n+1 D（1）nx2n+1【解答】，由上可知，第个单项式是：，故选： 17 如图，在中，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，按这样的规律

13、下去，的长为为正整数）【解答】 在中，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，可得：，故， 18 如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是【解答】观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，右边三角形的数字规律为：2，下边三角形的数字规律为：， 规律探究周期性循环周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。题目求的量设为，周期记为，周期数为,余数记为。则该类型的规律为： 例6 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫

14、做点伴随点已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为；若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为【规范答题】的坐标为，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，余2，点的坐标与的坐标相同，为；点的坐标为，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数，点均在轴上方，解得，故答案为：，；且 例7 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，则点的横坐标为【规范答题】，的横坐标为：1

15、2，且，的横坐标为：，点的横坐标为：故答案为：12084 19 如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转的，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为【解答】边长为4的等边的顶点与原点重合，如图，过点作轴于，将绕顶点顺时针旋转的，四边形是平行四边形，即，；将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，即，；，即，；的坐标为，即，；故答案为， 20 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按照逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按照逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，为正整数）

16、，则点的坐标为【解答】由题意可得，每一次都旋转，每8次变化为一个循环组，在的正半轴上，故答案为 21 如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为【解答】根据题意，如下图示：根据图形可知，第3次碰到长方形边上的点的坐标为；通过上图观察可知，每碰撞6次回到始点，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为故答案为：， 22 如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形直角顶点的坐标为的直角顶点的坐标为【解答】求出到轴

17、的距离以及得出的长，即可得出三角形直角顶点的坐标，再利用勾股定理计算出，然后根据旋转的性质观察连续作旋转变换，得到每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，于是判断三角形和三角形的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形的直角顶点的坐标过点作轴于点，点，点坐标为：，即三角形直角顶点的坐标为：，对连续作如图所示的旋转变换，每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，而，三角形和三角形的状态一样，则三角形与三角形的直角顶点相同，三角形的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0故答案为：， 23 如图，中，且边在直线上， 将绕点顺时针旋转到位置可得到点，此时；将位置

18、的三角形绕点顺时针旋转到位置， 可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置， 可得到点，此时；，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则【解答】由图可知， 每旋转 3 次为一个循环组依次循环，为 671 个循环组的长度，故答案为： 规律探究推理型规律探究推理型规律探究中，对恒等式的规律探究以及证明往往比较容易，这部分规范性很重要；而针对反比例函数中的推理规律数形结合思想很重要，而且这部分内容综合性较强，需对函数知识点、坐标系的知识点、三角形的知识点熟练掌握。1、恒等式推理（1）这部分内容对规律发掘不是很难，可以利用前面的一阶等差和二阶等差综合分析。（2）这部分内容往往需要证明发现的恒等式。

19、在证明中主要要体现：“左边= =右边”的主线2、反比例函数推理（1）这部分内容实则是考察坐标系中的知识点，对反比例函数，抓住一个原则：只要有点落在反比例函数上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。（2）常用的知识点：三角板中的勾股比例，这部分内容，考试时要能迅速通过成倍放大或缩小得出三边的边长。（也可以通过三角函数求出其它边长，但是对选择填空而言，用三角函数就是在浪费时间） 一次函数的快速求法：，代表直线的纵截距，看直线与轴相交的点的纵坐标。的几何意义与面积模型的几何意义过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.过双曲线(0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点

20、和原点，所得三角形的面积为. 例9 观察下列各个等式的规律：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式 请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第个等式（用的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的【规范答题】（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：；（2）猜想第个等式是：，证明：左边=右边，第个等式是： 例10 如图，点，点，点，在函数的图象上，都是等腰直角三角形，斜边、，都在轴上是大于或等于2的正整数），则点的坐标是；点的坐标是（用含的式子表示）【规范答题】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，是等腰直角三角形，设点的坐标为，将点代入，可得，故点的

21、坐标为，则，设点的坐标为，将点代入，可得，故点的坐标为，则，设点的坐标为，将点，代入，可得，故点的坐标为，综上可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，总结规律可得：坐标为：， 24 观察下列等式：；（1）猜想并写出第个等式；（2）说明你写出的等式成立的理由【解答】（1）第个等式为（2）理由：左边，右边，所以左边右边，即 25 观察下列式子：（1）根据上述规律，请猜想，若为正整数，则（2）证明你猜想的结论【解答】（1）根据题意得：；（2）证明：， 26 如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为过作 交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，则点的坐标为 ，点的坐标为，【解答】过作轴交于点，设，则，是等边三角形，在中，点在上，即，解得或（舍去），经检验为原方程的解，又，作轴交于点，设，则，是等边三角形，在中，点在上，即，解得或（舍去），经检验为原方程的解，坐标为，点的坐标为 27 如图，已知、均为等腰直角三角形，直角顶点、在函数图象上，点、在轴的正半轴上，则点的横坐标为【解答】 分别过、作轴的垂线，垂足为、，则，为等腰直角三角形，设，则，解得（舍