扭转的概念和实例

1、扭 转,北方交通大学,蒋永莉,2020年10月16日,应力,材料力学解决问题的步骤：,内力,强度、刚度校核,设计截面尺寸,确定许可载荷,外力,变形,工程实际问题,解超静定问题,强度条件,刚度条件,主要内容和重点: 扭转的概念 外力偶的计算、扭矩、扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的强度计算 圆轴扭转时的刚度计算, 工程实例,1.扭转的概念和实例,M,工程实例,变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为 直线扭转变形,外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶,扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式扭转 以扭转为主要变形的杆件轴,2.外力偶矩的计算 扭矩 扭矩图,2.1 外力偶矩,若功率的单位为马力:,已知

2、：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）,设角速度为 (rad/s),2.2 扭矩 扭矩图,扭矩(T)：杆件扭转时横截面上的内力。截面法,符号：,右手螺旋法则,扭矩矢量方向与截面外法线法线一致，则扭矩为正,3. 扭矩图,矢量方向垂直于横截面的内力偶矩,表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）扭矩图,例题1：已知：A、B、C的传输功率为PA4kW PB=10kW PC=6kW n=500r/min 。 试作轴的扭矩图。,1. 外力偶矩,2. 扭矩（设正法）,3. 画扭矩图,T176.4N.m T2=115N.m,（m轴单位长度内的扭力偶矩

3、）,试作轴的扭矩图,拓展：,3.纯剪切,3.1 薄壁圆筒扭转时的剪应力：, 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变, 各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动。,假设：切应力沿壁厚均匀分布,适用范围：适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、 非弹性、线性与非线性等情况,精度：线弹性情况下,当d R0/10 时,误差 4.53%,各截面上应力？,3.2 剪应力互等定理：,在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线,切应力互等定理,截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）,微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态纯剪切,纯剪切状态,3.3 剪切胡克定律,引入比例常数G,在

4、剪切比例极限内，切应力与切应变成正比剪切胡克定律,G切变模量，其量纲与应力相同常用单位为GPa,实验表明：当切应力 t 不超过一定限度tp 时,tp剪切比例极限,3.4 剪切变形比能,dW= (dyt) dx /2,dV=dW,v = dV /dV = () /2 = 2/2G,4.圆轴扭转时的应力,各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动 横截面仍保持平面，半径保持直线, 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变,扭转平面假设,试验现象, 各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动,从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面,物理方面,几何方面,dj / dx扭转角变化率,G ,静力学

5、方面,应力与变形公式,极惯性矩,抗扭截面系数,公式的适用范围：,圆截面轴,tmaxtp, 空心圆截面, 实心圆截面,极惯性矩,例 2 已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。,解：,低碳钢,铸铁, 扭转失效与极限应力,塑性材料,屈服,断裂,脆性材料,断裂,塑性材料：扭转屈服应力ts 脆性材料：扭转强度极限tb,扭转屈服应力ts ：圆轴扭转屈服时横截面上切应力,扭转极限应力tu,扭转失效形式,扭转强度极限tb：圆轴扭转断裂过程中横截面上的最大切应力, 许用切应力,tu材料的扭转极限应力 n - 安全因数,塑性材

6、料：t =（0.50.577）s 脆性材料：t = （0.81.0）st,危险点处于纯剪切状态，又有,塑性材料：扭转屈服应力ts 脆性材料：扭转强度极限tb,扭转极限应力tu, 圆轴扭转强度条件,为保证轴不发生强度失效，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力,圆轴扭转强度条件,校核 设计截面尺寸 确定许用载荷,例题3：已知：N7.5kW,n=100r/min,许用剪应力40MPa,空心圆轴的内外径之比 = 0.5。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。,=0.045 m=45 mm,实心圆截面：,强度条件：,=1.28,为什么承受同样的外力偶矩， 空心轴比实心轴更合理,?,空心圆截

7、面：,3,为什么承受同样的外力偶矩， 空心轴比实心轴更合理,?,若 Ro/d 过大将产生皱褶,空心截面比实心截面好,A,B,C,解：作轴的扭矩图,MA,MB,MC,分别校核两段轴的强度,例题4 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kNm, MB = 36 kNm ,MC =14 kNm. 已知材料的许用切应力 = 80MPa,试校核该轴的强度。,轴安全,T,5.圆轴扭转时的变形,扭转变形用两个横截面绕轴线的相对扭转角表示,相距dx的两横截面间扭转角：,扭转变形一般公式,GIp圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度,常扭矩等截面圆轴,

8、例题5:已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求（1）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭转角 CD、AD两截面间扭转角 AD,例题5:已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求（1）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭转角 CD、AD两截面间扭转角 AD,1kN.m,3kN.m,0.5kN.m,解:,例题5:已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求（1）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭转角 CD、AD两截面间扭转角 AD,例题5:已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求（1）画扭矩图（2）max（3）CD两

9、截面间扭转角CD、AD两截面间扭转角 AD,课堂讨论：如何计算图示圆锥形轴的扭转角？,解：,刚度条件,圆轴扭转刚度条件,q 单位长度的许用扭转角, 注意单位换算:, 一般传动轴， q = 0.5 1 ()/m,例题6:已知：传动轴主动轴输出功率PB60kW n=300r/min PA=PC=PD=20kW 轴为直径d=55mm的实心轴 G=80GPa =40MPa =10/m 试校核该轴。,1. 求外力偶矩,2. 画扭矩图,Tmax=1273N.m,3. 校核,例题6:已知：传动轴主动轴输出功率PB60kW n=300r/min PA=PC=PD=20kW 轴为直径d=55mm的实心轴 G=8

10、0GPa =40MPa =10/m 试校核该轴。,例题7:图示等截面实心圆轴,已知外力偶矩MB=400 N.m,MC=600N.m，G=80GPa，=40MPa，= 0.25 0/m。试确定轴的直径.,例题7:图示等截面实心圆轴,已知外力偶矩MB=400 N.m,MC=600N.m，G=80GPa，=40MPa，= 0.25 0/m。试确定轴的直径.,解:,受力分析及平衡方程:,作扭矩图,MA=20N.m, MD=220N.m,变形协调方程:,T,MA=20N.m, MD=220N.m,强度条件:,刚度条件:,例题8:已知 L1=1.5m, L2=1m, d1=70mm, d2=50mm,=6

11、0MPa，G 1 = G 1=G 。 试求:M0,解:,平衡方程:,变形协调方程:,例题8:已知 L1=1.5m, L2=1m, d1=70mm, d2=50mm,=60MPa。 试求:M0,例题9 ：已知凸缘联轴节用螺栓连接，轴的max=70MPa 直径d1=10cm 螺栓直径d22 cm 2=40MPa。D=20cm。试确定所需螺栓个数。,1. 确定T,2. 螺栓受力、变形,由螺栓剪切强度条件：,得n=7.3 取n=8,6.非圆截面扭转的概念, 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴,试验现象, 横截面翘曲, 角点处 g 为零, 侧面中点处 g 最大,自由扭转：,横截面上只有剪应力，没有正应力。,约束扭转：,横截面上既有剪应力，又有正应力。,翘曲,矩形截面杆自由扭转：,应力分布特点, 横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大,弹性力学解,系数 a, b, g 表,长边中点 t 最大,1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩越大； 2.扭矩只与轴所受的外力偶矩有关，与轴的材料、 横截面形状、大小无关；,课堂讨论：下列论述是否正确？,课堂讨论：下列论述是否正确？,3.等截面直杆产生扭转