数列倒序相加、错位相减、分组求和

1、数列倒序相加、错位相减、分组求和一选择题（共2小题）1（2014秋葫芦岛期末）已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令an=，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2015=（）A1B1C1D12（2014春池州校级期末）已知函数f（x）=x2cos（x），若an=f（n）+f（n+1），则ai=（）A2015B2014C2014D2015二填空题（共8小题）3（2015春温州校级期中）设，若0a1，则f（a）+f（1a）=，=4（2011春启东市校级月考）Sn=12+34+56+（1）n+1n，则S100+S200+S301=5（2010武进区校级模拟）数列an满足，a1=1，Sn是

2、an的前n项和，则S21=6（2012新课标）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为7（2015张家港市校级模拟）已知数列an满足a1=1，an+1an=2n（nN*），则S2012=8（2009上海模拟）在数列an中，a1=0，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），则s100=9（2012江苏模拟）设数列an的前n项和为，则|a1|+|a2|+|an|=10（2013春温州期中）等比数列an中，若a1=，a4=4，则|a1|+|a2|+|an|=三解答题（共15小题）11在数列an中，a1=18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+|an|12（

3、2010云南模拟）已知数列an的前n项和Sn=25n2n2（1）求证：an是等差数列（2）求数列|an|的前n项和Tn13已知在数列an中，若an=2n3+，求Sn14（2014海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x2+nxn115求下列各式的值：（1）（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn；（2）1+2x+4x2+6x3+2nxn16（2010春宁波期末）在坐标平面 内有一点列An（n=0，1，2，），其中A0（0，0），An（xn，n）（n=1，2，3，），并且线段AnAn+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，）（1）求x1，x2（2）求出数列xn的通项公式xn（3）

4、设数列nxn的前n项和为Sn，求Sn17（2013秋嘉兴期末）已知等差数列an的公差大于0，a3，a5是方程x214x+45=0的两根（1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前n和Sn18（2014秋福州期末）已知等比数例an的公比q1，a1，a2是方程x23x+2=0的两根，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列2nan的前n项和Sn19（2011春孝感月考）求和：Sn=（x+）2+（x2+）2+（xn+）220（2014春龙子湖区校级期中）求数列n前n项和Sn21（2011秋文水县期中）已知数列an中，an=2n33，求数列|an|的前n项和Sn22数列an中，an=n2n，

5、求Sn23已知数列an中，an=（2n1）3n，求Sn24求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，的前n项和Sn25已知数列an中，试求数列an的前n项之和Sn数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2014秋葫芦岛期末）已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令an=，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2015=（）A1B1C1D1【解答】解：函数f（x）=xa的图象过点（4，2），则：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，则：，=则：Sn=a1+a2+an=，则：，故选：D2（2014春池州校级期末）已知函数f（x）=x2

6、cos（x），若an=f（n）+f（n+1），则ai=（）A2015B2014C2014D2015【解答】解：函数f（x）=x2cos（x），若an=f（n）+f（n+1），ai=（a1+a3+a5+a2013）+（a2+a4+a6+a2014）=（3+7+11+4027）（5+9+13+4029）=21007=2014故选：B二填空题（共8小题）3（2015春温州校级期中）设，若0a1，则f（a）+f（1a）=1，=1007【解答】解：，当0a1时，f（a）+f（1a）=+=+=+=1，故=10071=1007，故答案为：1，10074（2011春启东市校级月考）Sn=12+34+56+（1

7、）n+1n，则S100+S200+S301=1【解答】解：由题意可得，S100=12+34+99100=50，S200=12+34+199200=100s301=12+34+299300+301=150+301=151s100+s200+s301=50100+151=1故答案为：15（2010武进区校级模拟）数列an满足，a1=1，Sn是an的前n项和，则S21=6【解答】解：，a1+a2=a2+a3，a1=a3，a3+a4=a4+a5a1=a3=a5=a2n1，即奇数项都相等a21=a1=1S21=（a1+a2）+（a3+a4）+（a19+a20）+a21=10+1=6答案：66（2012新

8、课标）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为1830【解答】解：，令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）（a4n+2a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n1+a4n+16=bn+16数列bn是以16为公差的等差数列，an的前60项和为即为数列bn的前15项和b1=a1+a2+a3+a4=10=18307（2015张家港市校级模拟）已知数列an满

9、足a1=1，an+1an=2n（nN*），则S2012=3210063【解答】解：数列an满足a1=1，anan+1=2n，nN*n=1时，a2=2，anan+1=2n，n2时，anan1=2n1，=2，数列an的奇数列、偶数列分别成等比数列，S2012=+=3210063故答案为：32100638（2009上海模拟）在数列an中，a1=0，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），则s100=2550【解答】解：据已知当n为奇数时，an+2an=0an=0，当n为偶数时，an+2an=2an=n，S100=0+2+4+6+100=0+50=2550故答案为：25509（2012江苏模

10、拟）设数列an的前n项和为，则|a1|+|a2|+|an|=leftbeginarrayln2+4n1，1n2n24n+7，n3endarrayright.【解答】解：Sn=n24n+1，an=，当n2时，an0，S1=|a1|=a1=2，S2=|a1|+|a2|=a1a2=3；当n3，|a1|+|a2|+|an|=a1a2+a3+an=2S2+Sn=n24n+7|a1|+|a2|+|an|=故答案为：10（2013春温州期中）等比数列an中，若a1=，a4=4，则|a1|+|a2|+|an|=2n1frac12【解答】解：a1=，a4=4，4=q3，解得q=2即数列an是以为首项，以2为公比

11、的等比数列则数列|an|是以为首项，以2为公比的等比数列故|a1|+|a2|+|an|=2n1故答案为：2n1三解答题（共15小题）11在数列an中，a1=18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+|an|【解答】解：数列an中，a1=18，an+1=an+2，an是首项为18，公差为2的等差数列，an=18+（n1）2=2n20，由an=2n200，n10，设an的前n项和为Sn，当n10时，|a1|+|a2|+|an|=Sn=18n+=n2+19n当n10时，：|a1|+|a2|+|an|=Sn2S10=n219n+180|a1|+|a2|+|an|=12（2010云南模拟）已知数

12、列an的前n项和Sn=25n2n2（1）求证：an是等差数列（2）求数列|an|的前n项和Tn【解答】解：（1）证明：n=1时，a1=S1=23n2时，an=SnSn1=（25n2n2）25（n1）2（n1）2=274n，而n=1适合该式于是an为等差数列（2）因为an=274n，若an0，则n，当1n6时，Tn=a1+a2+an=25n2n2，当n7时，Tn=a1+a2+a6（a7+a8+an）=S6（SnS6）=2n225n+156，综上所知13已知在数列an中，若an=2n3+，求Sn【解答】解：数列an中，若an=2n3+，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，Sn=（1+1+3

13、+5+（2n3）+（+）=+=n（n2）+1=n22n+114（2014海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x2+nxn1【解答】解：当x=0时，Sn=1；当x=1时，Sn=1+2+3+n=；当x1，且x0时，Sn=1+2x+3x2+nxn1，xSn=x+2x2+3x3+nxn（1x）Sn=1+x+x2+x3+xn1nxn=，x=0时，上式也成立，x1Sn=15求下列各式的值：（1）（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn；（2）1+2x+4x2+6x3+2nxn【解答】解：（1）当n为奇数时，1+23+（1）nn=n=，当n为偶数时，1+23+（1）nn=，又2+22+23+

14、2n+=2n+12，记Sn=（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn，Sn=；（2）记Sn=1+2x+4x2+6x3+2nxn，则当x=1时，Sn=1+2+4+6+2n=1+2=n2+n+1；当x1时，xSn=x+2x2+4x3+2nxn+1，（1x）Sn=1+x+2（x2+x3+xn）2nxn+1=1+x+22nxn+1，Sn=+2；综上所述，Sn=16（2010春宁波期末）在坐标平面 内有一点列An（n=0，1，2，），其中A0（0，0），An（xn，n）（n=1，2，3，），并且线段AnAn+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，）（1）求x1，x2（2）求出数列xn的通项

15、公式xn（3）设数列nxn的前n项和为Sn，求Sn【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线A0A1的斜率为20=1，x1=1直线A1A2的斜率为2，（2）当n1时，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1），累加得：，检验当n=1时也成立，（3），令bn=2n，对应的前n项和Tn=n（n+1）令两式相减得：17（2013秋嘉兴期末）已知等差数列an的公差大于0，a3，a5是方程x214x+45=0的两根（1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前n和Sn【解答】解 （1）a3，a5是方程x214x+45=0的两根，且数列an的公差d0，解方程x21

16、4x+45=0，得x1=5，x2=9，a3=5，a5=9，（2分），解得（4分）an=a1+（n1）d=2n1（6分）（2）an=2n1，（8分）（9分）（11分）（13分）数列bn的前n项和：（14分）18（2014秋福州期末）已知等比数例an的公比q1，a1，a2是方程x23x+2=0的两根，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列2nan的前n项和Sn【解答】解：（1）方程x23x+2=0的两根分别为1、2，（1分）依题意得a1=1，a2=2，（2分）所以q=2，（3分） 所以数列an的通项公式为an=2n1；（4分）（2）由（1）知2nan=n2n，（5分）所以Sn=12+222+n2

17、n，2Sn=122+223+（n1）2n+n2n+1，由得：Sn=2+22+23+2nn2n+1，（8分）即Sn=n2n+1，（11分）所以Sn=2+（n1）2n+1（12分）19（2011春孝感月考）求和：Sn=（x+）2+（x2+）2+（xn+）2【解答】解：当x=1时，（xn+）2=4，Sn=4n，当x1时，an=x2n+2+，Sn=（x2+x4+x2n）+2n+（+）=+2n=+2n，所以当x=1时，Sn=4n；当x1时，Sn=+2n20（2014春龙子湖区校级期中）求数列n前n项和Sn【解答】解：数列n前n项和Sn，（3分）Sn=，（6分），得：Sn=1（10分）Sn=2（13分）2

18、1（2011秋文水县期中）已知数列an中，an=2n33，求数列|an|的前n项和Sn【解答】解：令an=2n330，解得n，所以当n16时，an0，又a1=233=31，则数列|an|的前n项和Sn=32nn2；当n17时，an0，则数列|an|的前n项和Sn=S16+Sn16=+=n232n+512，综上，Sn=22数列an中，an=n2n，求Sn【解答】解法一：Sn=12+222+323+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1，两式相减可得，Sn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1化简可得Sn=2+（n1）2n+1解法二、由an=n2n=（n1）2n+1（n2）2n，可得Sn=0（1）2+180+22418+（n2）2n（n3）2n1+（n1）2n+1（n2）2n=2+（n1）2n+123已知数列an中，an=（2n1）3n，求Sn【解答】解：an=（2n1）3n，Sn=3+332+533+（2n1）3n，3Sn=32+333+534+（2n3）3n+（2n1）3n+1，2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=3（2n1）3n+1=（22n）3n+16，Sn=（n1）3n+1+324求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，的前n项和Sn【解答】解：由题意知，当a=1时，当a1由等比数列的求和公式