第十章 频率响应 多频正弦稳态电路.ppt

1、第十章 频率响应 多频正弦稳态电路,多个频率不同的正弦激励下的稳态电路,电路的响应；平均功率。,不同频率正弦稳态下，电路响应与频率的关系频率响应,10-1 基本概念 10-2 再论阻抗和导纳 10-3 正弦稳态网络函数 10-4 正弦稳态的叠加 10-5 平均功率的叠加 10-6 RLC电路的谐振,N 线性时不变网络,1. 基本概念,情况(a)：复数Z、Y，相量模型(第八章),情况(b)：网络函数 ，相量模型中 动态元件用 、 表示(本章)。,10-1 基本概念,2.多频正弦激励的分类,电路的激励原本为非正弦周期波：方波、锯齿波等。对其进行傅里叶分解，得到含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦

2、分量（谐波分量）。,多频正弦稳态电路：多个不同频率正弦激励下的稳态电路。,基本分析方法：用相量法对每个频率逐一进行分析，然后应用叠加定理求得最终解。,1. 基本概念,（1） 非正弦周期电流的产生,非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）,引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？,基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。,根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。,2. 1非正弦周期电流和电压,由非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流,非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法,这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解

3、不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。,响应也是非正弦周期量，如何求响应？,工程上遇到的各种周期函数f（t）总可以分解为如下的 傅立叶级数：,2.2 非正弦周期量的分解,式中，第一项A0是不随时间变化的常数，称为f（t）的恒定分量或直流分量；傅立叶级数的第二项是一个正弦函数：A1msin（t+1），其幅值为A1m，初相位为1，角频率为，2/是（）的周期，即该正弦函数的周期与被分解的周期函数相同，的系数为1，所以A1msin(t+1）被称为一次谐波，也叫做基波；傅立叶级数的第三项A2sin（2t+2）的频率为基波频率的二倍，故称为二次谐波。以此类推，有三次谐波、四次谐波等等。除恒定分

4、量和基波外，其余各项都可统称为高次谐波。,表1 一些典型周期函数的傅立叶级数,采用谐波分析法的好处： （1）当直流分量作用时，因为直流稳态下电容相当开路、电感相当于短路，所以计算其产生的稳态响应分量是很简便的。 （2）由于各次谐波分量均为正弦信号，所以就可以采用前面谈到相量法来计算各次谐波单独作用时产生的稳态响应分量。,2.3 谐波分析法,周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路的稳态响应的方法就称为谐波分析法。,谐波分析举例 图示电路，电源电压 求各支路电流。,3) 瞬时叠加,使用谐波分析法来计算非正弦周期电路稳态响应的过程主要有三个步骤： （1）把给定的非正弦周期激励信号展开成傅立叶级

5、数，根据具体的要求确定应取到多少次谐波来合成该激励信号。 （2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用下电路的稳态响应。当直流分量作用时，采用直流电路的分析方法，此时电容相当于开路，电感相当于短路；当谐波分量作用时，采用正弦稳态电路的分析方法来计算。由于各次谐波分量的频率是不相同的，所以当不同谐波作用时，电路中的阻抗是不相同的。 （3）用叠加定理将直流分量和各次谐波分量单独作用时产生的稳态响应相加即可得到在给定非正弦周期信号激励下的电路的稳态响应。注意，叠加时应将各次谐波产生的响应表示成时域表达式后再相加，因为不同频率的相量式叠加是没有意义的。,定义线性非时变单口无源网络N0的输入阻抗和 输入导纳

6、如下：,其中：,1 单口网络的阻抗和导纳,10-2 再论阻抗和导纳,结论：阻抗是频率的函数，阻抗的模和辐角通常也都是频率的函数。,（1）RL串联电路的阻抗,2 阻抗和导纳与频率的关系,幅频特性,相频特性,幅频特性,相频特性,输入阻抗Z可看作激励电流 A的电压响应，输入导纳Y可看作激励电压 V的电流响应。,（2）RL并联电路的阻抗,分量 电阻,分量 电抗,结论：电阻分量和电抗分量都是网络中各元件参数和频率的函数。,一般,网络呈电感性 网络呈电容性 网络呈纯电阻性。,分量 电导,分量 电纳,网络呈电感性 网络呈电容性 网络呈纯电阻性。,输入导纳函数,输入阻抗函数,无源单口网络的输入阻抗和导纳满足以

7、下关系：,求图所示RC并联电路的输入阻抗函数 。,解,表明阻抗角(即u与i的相位差)与频率的关系,幅频特性与相频特性,与的关系,相频特性,幅频特性,表明阻抗模(即 )与频率的关系,与的关系,幅频特性与相频特性,特性曲线呈低通(Low Pass)性质和滞后性质,称为截止(cutoff)频率,为通频带。,提问：从物理概念上理解该电路的LP性质。,网络函数：对单一激励的线性、时不变电路， 指定的响应对激励之比定义为网络函数，记为H。,激励可以是电压源电压或电流源电流，响应可以是任一支路的电压或电流。对电阻电路，H为一实数。例如，对单个电阻R，若一外施电流作为激励，其两端出现的电压作为响应，则H=R，

8、（单位：）为一实数。,复习,1.网络函数,10-3 正弦稳态网络函数,若响应与激励在同一端口，则属策动点函数，若响应与激励不在同一端口，则属转移函数。由于响应和激励都可以是电压或电流因而策动点函数和转移函数又可具体地分为表3-1所示的6种情况。,表3-1 线性电阻电路网络函数的分类,1.网络函数,定义：对相量模型，在单一激励作用下无源二端网络的响应相量与激励相量之比定义为网络函数,或者系统函数,频率特性,反应了系统自身的固有特性，系统的属性，是 分析系统的重要函数。,2.RC低通电路,幅频特性:,相频特性:,分析：,（1）,称为低通(low pass)网络,（3）,（2）,（1）以上所述电路的

9、LP滤波特性与理想情况相差较大， 只是最简单的LP滤波电路。,（2）频率响应反映了电路本身的特性。,频率响应反映了电路本身的特性。由于C、L的存在（内因），电路呈现出响应随 f 变化的特点。,H(j) 反映这特点；其幅频、相频特性曲线直观 地反映了这一特点。在某一时算得的H(j) ，表明 对应于该的响应、激励相量的比值。外因通过内因 起作用，研究多频正弦波作用于动态电路的稳态响应 时，应先求得电路的H(j) 。,注意：,作业：习题10-3，10-5,本节讨论利用叠加定理计算多个正弦电源作用下线性时不变电路的稳态响应。 1、正弦电源的频率相同 2、正弦电源的频率不同 利用叠加定理，分别计算每个正

10、弦激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加求得稳态电压u(t)和电流i(t)。 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时，仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。,10-4 正弦稳态的叠加,例10-4：试用叠加定理求如图所示电路的电流 已知,解：作用于电路的两电压源频率相同，作出 的相量模型图，计算任一电源单独作用时的电流。,根据叠加定理：,其中 和 分别是相量模型图中 和 时支路 的电流。,即,故得,例10-5：电路如图所示，求,解：本题是不同频率的正弦电源作用于电路的情况。就整体而言；本题不符合单一频率的条件，不能

11、运用相量法。但是，如果只求每一电源单独作用时的响应，则仍可运用相量法，再根据叠加定理即可解决问题。,故得,对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳态响应，应用叠加定理，先用傅里叶级数把非正弦周期信号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和，再按不同频率正弦激励下响应的计算方法求得。,周期性非正弦信号电源的稳态响应,例 图 (a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻 上的稳态电 压u(t)。,(1) 5V直流电压源作用时，由于=0，在直流稳态条件下，电感相当于短路，所以,(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=1

12、03rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量,相应的瞬时值表达式为,(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时，31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量,瞬时值表达式为,(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时，51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量电压分量,瞬时值表达式为,注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。,(5)其余谐波分量的计算方法相同 最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得

13、到电阻上稳态电压的瞬时值,非正弦周期量一般分析方法,（1）将给定的非正弦周期量进行傅里叶级数展开，变换为直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量的组合。高次谐波取到哪一项视题目要求而定。,（2）分别求出直流分量和各谐波分量单独作用时的响应。注意阻抗随频率而变化。,（3）将（2）计算出的结果化为瞬时表达式后进行叠加。注意最终的响应是用时间函数表示的。,内容提要,平均功率,非正弦周期信号的有效值,10-5 平均功率的叠加,结论：叠加原理不适用于瞬时功率。,根据叠加原理：,瞬时功率：,1. 平均功率,1.1 瞬时功率,此时，叠加原理可用于平均功率。,平均功率：,假设p为周期函数，且周期为T, 则,1.

14、2 平均功率,结论：叠加定理不适用于同频率正弦电路中平均功率 的计算，而对多个不同频率的正弦电路中平均功率的 计算是适用的，即多个不同频率的正弦电流（或电压） 产生的平均功率等于每一正弦电流（或电压）单独作 用时产生的平均功率之和。,I1、I2、IN为各不同频率正弦电流的有效值。,设：,为各不相同，且比值为有理数，则根据叠加原理得一具有公周期的平均功率。,且频率成整数倍，,非正弦周期电流有效值的计算公式,同理可得非正弦周期电压有效值的计算公式为：,2. 非正弦周期信号的有效值,非正弦周期电流（电压）的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。,例1 已知周期电流的傅立叶级数

15、展开式 i=100 + 63.7 cost +31.8 cos 2t + 21.2 cos 3t A 求其有效值。,所以,电流i的有效值为112.9 A 。,解:,例108单口网络端口电压，电流分别为：,与 为关联参考方向，试求单口网络吸收的功率,解：在运用叠加原理计算平均功率时，每次只考虑一种频率如给定该频率的电压和电流，则该项功率为，因此，在电压、电流都含多种频率成分时,含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和并联谐振电路

16、谐振时的特性。,10-6 RLC电路的谐振,1.RLC串联谐振电路,例：,（1）正弦激励的频率为2000rad/s，电路表现为纯电阻电路，阻抗值|Z|最小，电流最大。,（2）电感电容电压有效值远高于外施电压，但二者反相，相互抵消。,谐振条件：,谐振频率,1.1 谐振条件,当X=0时，电路呈现纯电阻性， ，此时电路处于谐振（resonance)状态.,仅与电路参数有关,串联电路实现谐振的方式：,(1) L C 不变，改变 w,(2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。,0由电路参数决定，一个R L C串联电路只有一个对应的0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。,RLC

17、元件阻抗与频率的关系曲线,由RLC串联电路的阻抗特性曲线可看出：电阻R不随频率变化；感抗XL与频率成正比；容抗XC与频率成反比，阻抗|Z|在谐振之前呈容性（电抗为负），谐振之后呈感性（电抗为正值），谐振发生时等于电阻R，此时电路阻抗为纯电阻性质。,1.2 特性阻抗和品质因数,特性阻抗：,谐振时动态元件的电压与激励电压之比Q（RLC电路的品质因数）,RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即,品质因数：,Q值一般在几十到几百之间。,无量纲,1.3 谐振时电路的特性, 各元件电压,相 量 图,当 w0L=1/(w0C )R 时，Q1一般在几十到几百之间。

18、 UL= UC =QUs Us,RLC串联谐振电路谐振时的电流：,电路谐振时，串联谐振电路中的电流达到最大， 为了便于比较不同参数下串谐电路的特性，有：,1.4.回路电流与频率的关系曲线,I谐振特性曲线,从I谐振特性曲线可看出， 电流的最大值I0出现在谐振点0 处，只要偏离谐振角频率，电流就 会衰减，而且衰减的程度取决于电 路的品质因数Q。即：Q大电路的 选择性好；Q小电路的选择性差。,由上式可得到I谐振特性曲线如下图所示：,在谐振点响应出现峰值，当 偏离0时，输出下降。即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应，对谐振信号最突出(响应最大)，而对远离谐振频率的信号具有抑制能力。这种对不同输入信

19、号的选择能力称为“选择性”。,谐振电路具有选择性,谐振电路的选择性与Q成正比,Q越大，谐振曲线越陡。电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力，所以选择性好。因此Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。,一接收器的电路参数为：U=10V,w=5103 rad/s, 调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q。,解,例1,一个线圈与电容相串联，线圈电阻R=16.2，电感L=0.26mH ，当把电容调节到100pF时发生串联谐振。(1)求谐振频率和品质因数；(2)设外加电压为10V，其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流和电容电压；(3)若外加电压仍为10V

20、，但其频率比谐振频率高10%，再求电容电压。,(1)谐振频率和品质因数分别为,(2) 谐振时的电流和电容电压为,线圈与电容串联电路,例2,UC可用下式直接得到,(3) 电源频率比电路谐振频率高10%的情形,线圈与电容串联电路,在无线电技术中，要求电路具有较好的选择性，常常需 要采用较高Q值的谐振电路。,但实际的信号都具有一定的频率 范围，如电话线路中传输的音频信 号，频率范围一般为.4KHz，广播 音乐的频率大约是30Hz15KHz。 这说明实际的信号都占有一定频带 宽度。为了不失真地传输信号，保 证信号中的各个频率分量都能顺利 地通过电路，通常规定当电流衰减 到最大值的0.707倍时，所对应

21、的 一段频率范围称为通频带BW。,1.6 选择性与通频带,其中 是通频带的上、下边界。,通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。,通频带的确定,可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数,品质因数Q愈大，通频带宽度愈窄，曲线愈尖锐，电路的选择性能愈好； Q值愈小，通频带宽度愈大，曲线愈平坦，选择性能愈差；但Q值过高又极易造成通频带过窄而使传输信号不能完全通过，从而造成失真。,显然通频带B和品质因数Q是一对矛盾，实际当 中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。,谐振角频率,电路发生并联谐振，电路呈现电阻性。,2.RLC并联谐振电路,2.1 谐振条件,品质因数,RLC并联谐

22、振电路的品质因数Q，其量值等于谐振时感纳或容纳与电导之比。,谐振角频率与RLC串联电路相同。,谐振特点：,（1）输入端导纳为纯电导，导纳值|Y|=G最小，端电压达最大,2.2 谐振时电路的特性,（2）,IL(w0) =IC(w0) =QIS,谐振特点：,LC上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为零，电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的Q倍，也称电流谐振。,谐振特点：,（3）,RLC串联谐振,RLC并联谐振,图(a)是电感线圈和电容器并联的电路模型。 已知R=1, L=0.1mH, C=0.01F。试求电路的谐振 角频率和谐振时的阻抗。,解：根据其相量模型图 (b)写出导纳,例3,令上式虚部为零,求得,代入数值得到,谐振时的阻抗,当0LR 时,一个电感为0.25mH，电阻为25的线圈与85pF的电容器接成并联电路，试求该并联电路的谐振频率和谐振时的阻抗。,谐振角频率和谐振频率分别为,谐振时的阻抗为,例4,作业：习题10-10，10-11，10-17， 10-