高一数学教案：正弦定理、余弦定理(2)

1、课题： 正弦定理、余弦定理（2）教学目的：1掌握正弦定理、余弦定理；2使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点： 正弦定理、余弦定理的运用教学难点： 正弦定理、余弦定理的灵活运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 正弦定理 ：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abcsin A=2R（ R 为 ABC外接圆半径）sin Bsin C2 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A

2、, 用正弦定理求B 时的各种情况 :若 A 为锐角时 :ab sin A无解absinA一解 (直角 )bsinAab二解 (一锐 , 一钝 )ab一解 (锐角 )已知边 a,b 和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1 HB2HBaCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAaba b无解仅有一个解有两个解仅有一个解ab无解若 A 为直角或钝角时:a b 一解 (锐角 )3在 Rt ABC 中(若 C=90 )有： c2a 2b2在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、讲解新课：1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

3、的余弦的积的两倍第 1页共 5页即 a 2b 2c 22bc cos Acos Ab2c 2a 22bcb 2c 2a 22ac cos Bcos Bc 2a 2b22cac2a2b22ab cosCcosCa 2b2c 22ab 问题 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边， 推导 如图在 ABC 中， AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b AC AB BC AC ? AC( ABBC) ? ( ABBC)b22AAB2 AB ? BC BCc22 | AB | ? | BC | cos(180B)2ABBCc22ac cos Ba 2即 b2c2a 2

4、2ac cos B同理可证 a2b 2c22bc cos A， c2a 2b22ab cosC求出此角的对边？CaB2 余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（ 1）已知三边，求三个角；（ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例 1 在ABC中，已知a 7， b10， c6，求 A、B 和 C解：b2c2a2 A 44cos A2bc 0 725，a2b2c2 0 8071， C 36,cosC2ab B 180 (A C) 100( sinC c sin A 0 5954, C 36 或 144 ( 舍 ) )a例 2 在ABC中，已知

5、 a 2 730，b 3 696， C 82 28，解这个三角形第 2页共 5页解： 由 c 2a 2b 22ab cosC ，得 c 4 297 cos Ab 2c2a 2 0 7767， A 39 2 ,2bc B 180 (A C) 5830( sinA a sin C 0 6299， A=39 或 141 ( 舍) )c例 3ABC三个顶点坐标为 (6 ，5) 、 ( 2， 8) 、 (4 ， 1) ，求 A解法一： |AB| 6 ( 2) 2(5 8) 273B87|BC| ( 2 4)2(8 1)28565A4|AC| (6 4)2(5 1) 22 5321222C-4-22468

6、ABACBC2cos A2 ABAC=365 A 84解法二：AB ( 8， 3) ， AC ( 2， 4) cosA AB? AC = ( 8)( 2)3 ( 4)2ABAC732 5365, A 84例 4 设 a =(x1, y1)b =(x2, y2)a 与 b 的夹角为（ 0 ），求证： x1x2+ y1y2=| a | b |cos证明：如图，设a , b 起点在原点，终点为A， B则 A=(x1, y1)B=(x2 , y2)AB = ba在 ABC中，由余弦定理| ba | 2=|a | 2+| b | 22| a |b | cos | ba | 2=|AB | 2=|(x 2

7、-x1, y2-y1)| 2=(x2-x1)2+( y2-y1)2| a |21212， | b |22222=x+y= x +y (x2-x1)2+( y2-y1)2= x12 +y12+ x22+y222| a |b | cos第 3页共 5页 x1x2+ y1y2=| a | b |cos即有 a ? b = x1x2+ y1y2=| a | b |cos四、课堂练习 ：1在 ABC 中， bCosA=acosB，则三角形为 ()A 直角三角形B 锐角三角形C等腰三角形D 等边三角形2在 ABC 中，若 a2 b2+c2，则 ABC 为；若 a2=b2+c2，则 ABC为；若 a2 b2

8、+c2 且 b2 a2+c2 且 c2 a2+b2，则 ABC为3 在 ABC 中， sinA=2cosBsinC，则三角形为4 在 ABC 中， BC=3， AB=2，且 sin C2 (61) ， A=sin B5参考答案：1 C2 钝角三角形，直角三角形，锐角三角形3 等腰三角形4 120五、小结余弦定理及其应用六、课后作业 ：1 在中，证明下列各式：ABC（1）（ a2 b2c2） tan A（ a2 b2 c2）tan B 0(2)cos 2Acos2B11 .222b2aba证明： (1) 左边（ a2b2 c2） sin A(a 2b2c2 ) sin Bcos Acos B(a

9、 2b2c 2 )a2bca 2(a 2b 2c2 )b2acb22R b 2c22R a2c22abc(b2c2a2 )a 2c2b22Rb2c2a 2a 2c2b2abc (11)0右边R故原命题得证(2)左边12sin2A12 sin2 Ba 2b 2(112sin 2A2sin 2 Ba2b2 )(2R)2sin2A( 2R)2sin2B112211右边a2b 2( 2R) 2(2R)2a 2b 2故原命题得证2 在 ABC中，已知sin B sin Ccos 2 A ，试判断此三角形的类型2解： sin B sin Ccos 2 A , sin Bsin C 1cos A22 2sin B sin C 1cos 180（ B C）将 cos （ B C） cos Bcos Csin Bsin C代入上式得cos Bcos Csin Bsin C 1,cos （ BC） 1又 0 B， C ， B C B C 0 B C第 4页共 5页故此三角形是等腰三角形3 在 ABC中， bcos A acos B 试判断三角形的形状解法一：利用余弦定理将角化为边bcos A acos B , b b 2c2a2a a 2c 2b 22bc2acb2 c2 a2 a2 c2 b2, a2 b2, a b，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边