第3章 概率论基础.ppt

1、第3章 概率论基础,3.1事件和概率(event and probability),1事件：在一定条件下，必然出现的现象称为必然事件；在一定条件下，必然不出现的现象称为不可能事件；而在一定的条件下，可能出现、也可能不出现的现象称为随机事件（random phenomenon）。相应的试验称为随机试验。 随机事件的概念非常重要，数理统计的核心内容就是研究随机事件的规律性。,3.1事件和概率,2样本空间 称随机事件E的每一个结果为一个基本事件(样本点)。全部基本事件的集合称样本空间，记为S。 例：抛1枚硬币，H为正面；T为反面，则S=H，T 例：掷一颗骰子，观察出现的点数，则样本空间为 S=1,2

2、,3,4,5,6 播下5粒种子，记录发芽的粒数，其样本空间为 S=0,1,2,3,4,5 观察一次对靶射击的环数，其样本空间为 S=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3 概率的古典定义 若一随机试验共有n个互不相容且等可能发生的结果,事件A发生的结果有m(A)个,则事件A的概率可定义为,3.1事件和概率,3 概率的古典定义,例3-1: 抛质地均匀的硬币连续3次,试计算产生如下事件的概率。 （1）A：“恰好一次正面”； （2）B：“三次反面”； （3）C：“至多一次正面” 解：事件的全部可能结果（以1表示正面，0表示反而）： 1 1 1、1 1 0、1 0 0、0 0 0、0 0 1

3、、0 1 1、1 0 1、0 1 0共8种结果 其中：n(A) = 3；n(B) = 1；n(C) = 1+3 = 4,3.1事件和概率,因而：P(A) = 3/8 = 0.375 P(B) = 1/8 = 0.125 P(C) = 4/8 = 0.50,4 概率的统计定义,假定在相似条件下重复进行同一类试验，事件A发生的次数a与总试验次数n的比称为频率(a/n)，当n充分大时，随机事件A出现的频率愈来愈稳定地接近某个定值p，则称p为随机事件A的概率，记作,3.1事件和概率,4 概率的统计定义,例： 大豆品种的发芽试验结果,3.1事件和概率,5 概率的性质,概率有以下性质： 0 p(A) 1

4、P(A)愈大，表明事件A就愈容易发生，当P(A)= 1时，表明事件A 一定会发生； P(A)愈小，表明事件A就愈不容易发生，当P(A)接近0时，表明事件A 发生的机会非常小，以至于可以认为其在实际上不可能发生。,3.1事件和概率,3.2 集合理论和维恩图,设随机试验E的样本空间为S 随机事件A是S的子集 如果事件B的任一元素都是事件A的一元素，则称事件A包含事件B，记为,和事件：A事件与B事件至少有一部分元素是相同的，记为(A+B)或 ，A+B发生等同于A或B发生。 积事件：事件A与事件B的交集 或(AB)称为事件A与事件B的积事件，AB发生等同于A且B发生。 互斥事件：如果A与B没有任何元素

5、相交，称A与B为互斥事件 ，即A与B不可能同时发生。,3.2 集合理论和维恩图,对立事件：A事件的补集A为A事件的对立事件，即图形中的阴影部分。 差事件：差集A-B所代表的事件为事件A与事件B的差事件，即A发生且B不发生。,3.2 集合理论和维恩图,维恩图实例,在一次研究治疗癌症药物产生的副作用的试验中，共选取500名癌症病人参加试验。S代表参加癌症药物试验的所有病人的集合。 假设40%的病人在接受药物后出现了高血压(Hypertension) 现象，H代表出现高血压病人的子集。 假设75%的病人在接受药物后出现了视力模糊(Blurred vision) 现象，B代表出现视力模糊病人的子集。,

6、3.2 集合理论和维恩图,15%的病人在接受药物试验后既出现了高血压又出现了视力模糊。即H子集与B子集相， 交集占15%。 阴影部分为至少出现一种症状的病人所占的比例。 阴影部分为不出现任何症状的病人所占的比例。,3.2 集合理论和维恩图,维恩图实例,3.3 概率的计算,1对立事件的概率 如果事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为P(A)=1- P(A)。,如某昆虫的死亡率为P(A) =0.4， 则其存活率为P(A)=1- P(A) = 0.6,2 独立事件概率的乘法 诸事件中，某一事件的出现，并不影响其它事件出现的概率，则称为独立事件。否则便是依赖事件。两独立事件，事件A和事件B发生的

7、概率分别为P(A)和P(B)，则两事件同时发生的概率为： P(AB)=P(A)P(B),3.3 概率的计算,例：某害虫大发生年份的概率在甲地为0.20,在乙地为0.15,则两地在某年同时发生的概率是: P（AB）= P（A）P（B） = 0.20 0.15 = 0.03,乘法法则可以推广到几个独立事件A，B，C，D， ，P(ABCD )=P(A) P(B) P(C) P(D) ,3 独立互斥事件的加法 设事件A与事件B为互斥事件，其出现的概率分别为P(A)和P(B)，则出现事件A或事件B的概率为P(A)+P(B),3.3 概率的计算,例：某害虫大发生年份的概率为0.15,中等发生年份的概率为0

8、.40,则某年份属中到大发生的概率是: P（A+B）= P（A）+ P（B）=0.15 + 0.40 = 0.55,加法法则可以推广到几个互斥事件A，B，C，D， ，P(A+B+C+D+ )=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+ ,3.3 概率的计算,例：稻螟蛉和稻纵卷叶螟可以为害同一稻株，两种为害是独立且非互斥事件。如稻螟蛉 为害株概率P(A)=0.10,稻纵卷叶螟为害株概率为P(B)=0.15,则稻株任一螟虫为害的概率为： P（A+B）= P（A）+P（B）-P（AB） = 0.10+0.015-0.10 0.15=0.235,4独立并不互斥事件的加法 如果事件A与事件B虽相互独立但并

9、不排斥，即有可能重叠，则出现A或B事件的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),3.3 概率的计算,5事件不是独立时的概率乘法-条件概率 如两事件并不独立，即事件A的出现影响事件B出现的概率，往往在时间上事件A的出现在先，事件B的出现在后。则在给定事件A时，事件B出现的概率称为它的条件概率为： P(B/A)=P(AB) /P(A),例：春旱常导致三化螟大发生，春旱事件为A，其出现在先，三化螟发生为害为事件B，其出现在后。如某地春旱年份的概率为P（A）=0.30，而春旱同时三化螟大发生的年份概率为P（AB）=0.20,问在春旱已出现的条件下，当年三化螟大发生的事件概率为： P(B

10、/A)=P(AB) /P(A) = 0.20/0.30=0.667,6 完全事件系的概率,若n个事件A1，A2，An是试验的完全事件系， A1，A2，An是互斥的，而且其和(A1+A2+An)是必然事件，则这n个事件的概率的和为1，即 P(A1+A2+An)= P(A1) +P(A2)+.P(An)=1。如果n个事件出现的概率相等，则P(An)=1/n。 例：在掷一颗骰子的试验中，P(1+2+3+4+5+6)=P(1)+P(2)+P(6)=1， P(A)=1/6,3.3 概率的计算,概率计算的综合实例(1),例：被称为活化石的银杏树中35%具有花叶(V)，而其余为绿色 (G)；70%具有白花(

11、W)而其余为粉花(P)；仅20%的银杏树同时具有花叶和白花。,P(V)=0.35，P(V)= P(G) = 0.65 P(W)=0.70，P(W)= P(P) = 0.30 P(VW)=0.20 则P(VW)= P(V)+ P(W)- P(VW) =0.35+0.70-0.20=0.85， 即85%的银杏树具有花叶或白花，或随机挑选一株树，其出现花叶或白花或两者的概率为85% 。 (独立事件并不互斥的概率加法),随机挑选一株树，求其出现白花和绿叶的概率？ P(WV)=P(W)-P(WV)=0.70-0.20=0.50 (差事件),概率计算的实例(2),随机挑选一株树，求其出现绿叶和粉花的概率？ P (V W)=1- P(VW) =1-0.85=0.15 (对立事件的概率),如果一株银杏树具有花叶但还未开花，求其出现白花的概率？ P(W/V)=P(VW) / P(V)=0.20 / 0.35=0.57 即在所调查的所有银杏树中