质点动力学 2.ppt

1、2.3 功、保守力的功,一、功 、功率,1恒力的功,力对质点作功：,只有位移方向上的分量作功,力 对质点作功为：,2.变力的功,当N时,直角坐标系：,自然坐标系：,1. 一般情况下，功与力和路径有关,说明,S,S,o,o (t1),A,B,u,o (t2),位移与参照系有关,与参照系无关，位移与参照系有关，故 A与参照系有关。,4. 平均功率,瞬时功率,瓦特(W)=(J/s),3. 合力的功等于各分力的功的代数和。,解：, 例 小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。求：(1) 的功， (2) 重力的功。,受力分析,变力,恒力 曲线运动,A

2、,B,万有引力的功,C,二、保守力的功,引力作功与具体路径无关！,作功只与质点的初、末位置有关。,若质点在引力的作用下，沿BDA从B回到A点，,如果质点沿ACBDA封闭路径一周，引力作功为：,设质量为m的物体在重力的作用下从a点任一曲线acb运动到b点。,重力作功,在元位移 中，重力 所做的元功是,由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。,设物体沿任一闭合路径 运动一周，重力所作的功为：,表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。,弹性力的功,弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设 两点为弹簧伸长

3、后物体的两个位置， 和 分别表示物体在 两点时距 点的距离。,由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末位置，与运动的路径无关，称为保守力。,保守力的判据是：,若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散力。 如摩擦力、爆炸力等,三、质点的动能定理,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,元功：,总功：,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,说明,1. 合外力的功是动能变化的量度。,例 柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为，且

4、s ，求初速度v0 。,解：,由动能定理：,例 一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。 求小球下滑到 时小球对圆柱体的压力。,解：在处时，质点受力如图,自然坐标系,利用动能定理,一、 势能,仍以引力为例,按照动能定理：,若质点在引力场中运动（只受引力作用）,引力场,或,2.4势能 、机械能守恒,可见，空间位置的量 与动能相对应！,使其与动能的和保持不变！,我们把,称为（引力）势能 ，通常用 Ep 表示,由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有 一定的势能与质点所处位置有关。,势能增量的负值！,定义了势能的差值。,当保守力场作正功时（A0），,动能增大，,可以认为这是质点势能减小并转化

5、为运动能量的故！,势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量,(Potential Energy),（Kinetic Energy）,Conservative 有“保存”的意思。,Conservative force保守力,意味着：在保守力场中，质点的动能可以“势能”的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的“动能”。,按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差！,如引力势能：,常量可任意选择！,对引力情况，通常取无限远为势能零点。,弹性势能：,重力势能：,z = 0处为势能零点。,x = 0处为势能零点。,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功

6、。,势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。,势能是相互作用有保守力的系统的属性。,说明,设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：,例 轻弹簧原长l0，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于： (1)弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。,解：,(1)以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：,x,(2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：,任意位置 x 处的系统总势能：,x,m,O,O,P,

7、x0,例 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能: （1）地面为零势能点； （2）无限远处为零势能点。,解：,二 机械能能量守恒定律,1、质点系动能定理,设质点系由N个质点组成 mi ,( i = 1, 2, 3, N),速度为,受力为：,按质点动能定理：对任一质点 mi 有,初态,末态,对每个质点 都适用！,对整个质点系,质点系的动能定理,一般情况下，内力作功总和 不等于零。,初态,末态,如若将质点系内各质点相互作用的内力分成保守内力 和非保守内力,则内力做的总功 也可以作相应分解：,质点系的动能定理可改写为,2、 功能原理（work-energy theorem）,该式

8、称为功能原理,依势能定义，内保守力 作功可表示成质点系势能差：,当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功 （或内力作功总和为零）时：,在孤立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能 与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互 交换，但系统的总机械能为恒量. 机械能守恒定律,3、机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy),由功能原理：,注意,本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒 等都是针对某惯性系的结论！,按功能原理，要改变一系统的机械能 ，可通过外力对 系统作功，也可利用系统的非保守内力作功；,4、 能量转换和守恒定律,系统内部

9、非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化,前者是外界与系统间的能量交换，后者则是系统内部 机械能与非机械能之间的转换。,对于孤立系统,功能原理,实验事实证明：在孤立系统中机械能增加or减少 时，就有等量的非机械能减少or增加，从而保持系 统的总能量（机械能与非机械之和）不变。 能量转换和守恒定律,例 如图所示，一质量为m，长为l的柔索放在桌面上，柔索跨过滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间摩擦系数为。试求： （1）柔索下垂长度至少为多大时，柔索开始下滑？ （2）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？,解:(1),附加条件：,(2),利用功能原理,机械能变化：,设桌面上长度(1x),摩擦

10、力,由功能原理,解：,(c)末态,系统AB地球,初态和末态“定义”,如图示，用一弹簧将质量分别为 和 的上下两块水平木板A和B相连，B板放在地面上试求：对A需加多大压力F，才能因突然撤去它使A跳起过程中提拉起B?,例 ,(c)末态,从初态到末态 的能量转化。,初态和末态的 总动能为零。,初态：,末态：,根据机械能守恒,例 计算第一、第二宇宙速度。,第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v,机械能守恒：,万有引力提供向心力：,得：,第一宇宙速度,第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球

11、引力而必须具有的发射速度。,(1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。 (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,由机械能守恒：,得：,2.5 非惯性参考系 惯性力,很显然在 S 参考系中，滑块的运动符合牛顿定律。,而在 S参考系中则不然。,一、惯性参考系和非惯性参考系,考虑如下两个参考系 S（地面）和 S（相对于 S 加速运动的车厢）：车厢光滑底面上有一个滑块。,牛顿定律只在特殊的参照系惯性系中成立！,牛顿定律不能成立的参照系非惯性系。,地面参考系,地心参考系,太阳参考系,常用近似惯性系,地球自转加速度 a 0.034 m/s2,太阳绕银河系中心加速度 a 3 10 10 m/

12、s2,地球公转加速度 a 0.006 m/s2,实际上，没有严格意义上的惯性系存在，惯性系只是参考系的一个理想物理模型。,实际工作中常常根据具体情况选用一些近似惯性系。比如在研究地面上物体的运动时，选用地面参考系就是一个很好的近似。,二、平动加速参考系中的惯性力,两个平动参考系之间，加速度变换,设 S 为惯性系，S 为非惯性系,若质点 m 在 S 系中满足牛顿第二定律：,S 相对于 S 加速度为：,考虑到力与参考系无关,则在 S 系中：,牛顿第二定律在非惯性系不成立！,但是，若在非惯性系引入虚拟力（惯性力）：,在非惯性系 S 系中：,牛顿第二定律在非惯性系 形式上成立,考虑到力与参考系无关,则

13、在 S 系中：,牛顿第二定律在非惯性系不成立！,但是，若在非惯性系引入虚拟力（惯性力）：,在非惯性系 S 系中：,牛顿第二定律在非惯性系 形式上成立,注意：惯性力不是真正作用在物体上的力！ 惯性力无施力者，也无反作用力。,解：,在不同参照系中对同一现象的解释可能很不相同！ （如）,例 考虑一个用轻绳挂在一匀加速运动车厢车顶上的小球，小球相对于车厢静止。设车厢相对于地面的加速为 ，小球质量 m。,小球以 加速运动！,在 S 系中，小球受力如图：,在 S系中，小球受力如图：,则小球静止！,其平衡位置为：,（1）在 S 中,三、惯性离心力,或：,T 提供质点的“向心力”，使质点具有“向心加速度”,（

14、2）在 S中，观测者认为 小球静止！,牛顿2nd定律“不成立”,式中,与 T 方向相反！,两力平衡，,小球静止！,称为惯性离心力！,例题 杂技演员站在沿倾角为 的斜面下滑的车厢内，以速率v0 垂直于斜面上抛红球，经时间 t0 后又以v0 垂直于斜面上抛一蓝球. 车厢与斜面无摩擦.问二球何时相遇.,解 以车厢为参考系，小球受力见上右图.,以出手高度为坐标原点建立坐标系Oy，以抛出红球时为计时起点.对红球和蓝球分别有,两球相遇时 ，得相遇时间为,讨论因 t = t0 时才抛蓝球，故应 t遇 t0 .因而要求,即必在红球返回 y 0 之前抛出蓝球.,有可能结合在一起； 或产生新的成份（如粒子间的碰撞

15、）,2.6 碰撞问题,一、 碰撞过程,碰撞是自然界中十分普遍的现象，泛指一类“物体”间的“相互作用”。,特点：,“碰撞”前，无相互作用； 接近时发生相互作用； “碰撞”后，相互作用消失。,作用时间短， 作用力复杂。,碰撞前后为 自由运动状态,相互作用结果：,但是，“碰撞”前后，“物体”的性质是容易测量的。,通常根据“碰撞”前后“物体”性质的变化来研究 “物体”间的相互作用性质。,如：高能粒子对撞机可用来 （1）产生新粒子(BEP) （2）研究粒子间的基本相互作用(LEP),由于碰撞过程中（1）相互作用强，（2）力的形式复杂，（3）无法直接测量和记录碰撞过程。难以直接研究“碰撞”。,1. 弹性碰

16、撞,二、 碰撞分类,按照“碰撞”前后“物体”的性质分类,“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前相同,且“物体”内部状态无变化,如：宏观物体无形变，无发热,微观粒子（内部结构）的状态同碰撞前,特点：,“碰撞”前后“物体”总能量保持不变。,（宏观物体指动能，微观粒子指广义能量）,2. 非弹性碰撞,“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前不相同;,如：宏观物体有形变，有发热等；,微观粒子（内部结构）的状态不同于碰撞前，或产生新的粒子,或“物体”内部状态有变化。,特点：,“碰撞”前后“物体”总机械能不守恒。,（对微观粒子指部分或全部机械能转化为内部能量）,注意：力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞。,由动量守恒和总动能

17、守恒：,碰撞理论,讨论限于两个质点的弹性碰撞和完全非弹性碰撞,1. 弹性碰撞,如图所示,这是 弹性碰撞所应遵循的两个一般关系,两球m1，m2对心碰撞，碰撞前速度分别为v10 、v20，碰撞后速度变为v1、v2,动量守恒和动能守恒,由上面两式可得,讨论：一维对心碰撞,(4)/(3)得,碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20 ）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（v2-v1 ）,由（3）、（5）式可以解出,讨论,即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是 最初处于静止的情况，即 碰撞静止的 ，结果 会突然 停止， 接过 的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。,这时可得：,气体分子与器壁的碰撞属于此类,完全弹性碰撞,（五个小球质量全同）,讨论,这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球,这时可得：,讨论,即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍