基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

1、专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，

2、关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： 解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。，则，欲求y的最大值，可先求的最大值。,当且仅当，即时 “=”号成立，故此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，则，即在上是减

3、函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由得，由，则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则：，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类

4、问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。解法二：由，知，则：，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例1. 求函数的最值。错解：当且仅当即时取等号。所以当时，y的最小值为25，此函数

5、没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数的定义域为，所以须对的正负加以分类讨论。正解：1）当时，当且仅当即时取等号。所以当时， 2）当时， 当且仅当，即时取等号，所以当时，.例2. 当时，求的最小值。错解：因为所以当且仅当即时，。分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致错误。正解：因为当且仅当，即时等号成立，所以当时，。例3. 求的最小值。错解：因为，所以分析：忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值。正解：令，则又因为时，

6、是递增的。所以当，即时，。例4.已知且，求的最小值.错解： ,的最小值为.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值.正解：当且仅当即时等号成立. 的最小值为.综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当

7、且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例2. 当时，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。技巧三： 分离例3. 求的值域。解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解

8、：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知，且，求的最小值。解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。巩固练习：1、已知：且，则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，则a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设，则下列不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、

9、设且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若实数满足，则的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正数满足，则的取值范围是 .8、若,且，则的最小值为 . 基本不等式知识点：1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个

10、正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域为，+）(2)当x0时，yx22；当x0时， yx= （ x）2=2值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例： 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等

11、式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 分离技巧四：换元例：求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，

12、但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知，且，求的最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。技巧七例：已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采

13、用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u33，ab18，y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。