分式培优讲义

1、讲 义 分式姓名： 分式知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（B0）分式无意义：分母为0（B=0）分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B0）分式值为正或大于0：分子分母同号（或）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）分式值为1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本

2、身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的

3、同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠

4、倒位置后，与被除式相乘。式子表示为分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。知识点七：整数指数幂引入负整

5、数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即 （） （） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）m，n均为整数。科学记数法若一个数x是0x10的数则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定：n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=知识点七分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增

6、根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。知识点八：列分式方程基本步骤审：仔细审题，找出等量关系。设：合理设未知数。列：根据等量关系列出方程（组）。解：解出方程（组）。注意检验验：检验并答题。计算专练1、化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值化简求值：，其中 化简： ； ； （a2-4） a+b+ (x+1) 分式典型题1、代数式中，是整式的有_，是分式的有_.2、若M=,则当x_时，M有意义；当x=_时，M=0；当x=_时，M=4.3、当x_时，分式的值为正数.4、在正数范围内定义一种运算*，其规则为a*b=，则x*(x+1)=_.5、不论x取何值时，下列分式

7、总有意义的是（ ）A.B. C.D.6、若x29=0,则分式的值为（ ）A.1 B.5 C.1或5D.57、若分式的值为零，则m取值为( )A.m=1B.m=1 C.m=1D.m的值不存在8、每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.元B.元 C.元D.()元9、如果把分式中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）A.扩大2倍B.扩大6倍 C.扩大3倍 D.不变10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a个，甲做m个所用的天数与乙做n个所用的天数相等（其中mn），设甲每天做x个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（

8、 ）A.、 B. 、 C.、D.、11、下列各式中，是分式的是( )A.B. x2C.D.12、当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是( )A.B.C.D.13、当m_时，关于x的方程有增根；若关于x的方程=无解，则m= 14、已知，求分式的值。15、已知，求的值.16、若方程的解是正数，求a的取值范围.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围.17、已知a2+3a+1=0,求（1）a+; （2）a2+; （3）a4+18、已知a、b、c均不为0，且,求的值。19、已知，求代数式的值20、若，求的值。21、已知求的值22、化简：23、计算：（巧算） 24、已知x为正整数，且

9、也为正整数，求所有符合条件的x的值。分式培优题一、填空1、若a、b 满足+=2，则的值是 。2、当x_时，与互为倒数 3、如果，则 ； 4、当m= 时，分式的值为零. 5、已知-=4，则= 。6、若abc=135，则= ，= 。7、已知：=，则= 8、已知，则= 。9、如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，依此类推,由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n3）.则的值是 ,当的结果是时，n的值 .10、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题 (1) 计算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值为，求的值二、选择

10、题11、如果m个人完成一项工作需要d天，则（m+n）个人完成这项工作需要的天数为（ ）Ad+n Bd-n C D12、若x+=3,求的值是（ ） A B C D 13、如果=2，则( ) A B1 C D214、如果满足，那么的值是( ) A B4 C D1415、已知分式的值是正整数，求整数的值。16、已知：的值17、已知，求分式的值。18、已知，求分式的值，能求出，的值吗？19、已知，求的值。20、已知，求的值。21、已知，22、（1）请你任意写出3个正的真分数：_ _，_ _，_ _，给每个分数的分子、分母同加一个相同正数得到三个新分数：_ _，_ _，_ _，（2）比较原来每个分数与对

11、应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得，则两个分数的大小关系是_并证明你的结论分式方程培优题1、若关于x的方程=0有增根，则m的值是（ ）A3 B2 C1 D-12、已知方程有增根，则这个增根一定是（ ）A2 B3 C4 D53、若的值为零，则x的值是( )A.1 B.1 C.-1 D.不存在4、分式中，当x=-a时，下列结论正确的是( )A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a时,分式的值为零 D.若a时,分式的值为零5、关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）A、m-1 B、m-1且m 0 C、m-1 D 、m-1且m-26

12、、某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的c倍，则+的值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、47、若关于x的方程-1=0无实数根，则a的值为_8、若关于x的方程=1-无解，则m= 9、若分式方程+=会产生增根，则m= 10、若关于x的分式方程=-1,的解是正数，则a的取值范围是 11、计算 12、解方程：13、已知、为实数，且满足，求的值。14、已知a22a10，求（）的值【应用与探究】15、先阅读下列一段文字，然后解答问题 已知：方程x-=1的解是x1=2，x2=-； 方程x-=2的解是

13、x1=3，x2=-；方程x-=3的解是x1=4，x2=-； 方程x-=4的解是x1=5，x2=-问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x-=10的解，并写出检验16、阅读理解题： 阅读下列材料，关于x的方程： x+=c+的解是x1=c，x2=； x-=c-的妥是x1=c，x2=-； x+=c+的解是x1=c，x2=； x+=c+的解是x1=c，x2= （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证 （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，

14、只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+.17、福兴商场文具专柜以每枝a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每枝加价2元销售.由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外表美，很快就销售一空.结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a+805(元).你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a是多少元吗？18、求方程2-xy-3x+y+2006=0的正整数解。19、甲、乙两人同时从A地到B地，甲前一半路程用速度a，后一半路用速度b；乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到达B地？分式方程应用题1、抗震救灾

15、抢修损坏的桥梁工程必须在规定日期内完成，保证救灾物质顺利通过。如果甲工程队单独做正好如期完成；若乙工程队单独做需要超过4天才能完成。现由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做正好按期完成，问规定日期是多少天？2、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高（污水处理率）（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污

16、水排放量增加，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？3、岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几

17、种施工方案？4、小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题。一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款；购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款。若给九年级学生每人购买1支，只能按零售价付款，需要120元；若多购买60支，则可按批发价付款，同样需要120元。售货员 小明(1) 这个学校九年级学生总数在什么范围内？(2) 若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生5、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球

18、处继续赛跑，用时少者胜结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 6、金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万

19、元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.7、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.8、某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的

20、工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天（1）求工程队A平均每天维修课桌的张数；（2）学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，提高后，A、B的工作效率仍然相同，且都为C队的2倍这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围9、某工厂有100名工人在A型生产线上工作经工厂多方考察，发现其生产受到限制，于是决定引入B型生产线B型生产线上每人每日生产量比A型生

21、产线多30件一工人在B型生产线上生产100件产品的时间与原来在A型生产线上生产40件产品的时间相同（1）A型生产线上每人每日可生产多少件产品？（2）工厂决定从这100名工人中分派一部分工人到B型生产线工作分工后，继续在A型生产线上工作的工人的日均产量可增加25%，若要保证工厂分工后，A型生产线每日的总产量不少于分工前的每日总产量，而B型生产线每日的总产量不低于分工前A型生产线每日总产量的40%，则有多少种分派方案？（不写出具体方案）（3）设工厂每日的总产量为P，在（2）题条件下，当多少人分派到B型生产线时，P有最大值？请写出此时的分派方案，并求出P的最大值 10、“玉树地震”的灾情牵动着千万人

22、的心，汇川中学的同学们踊跃为灾区捐款，小易同学对1班和2班捐款情况进行了统计，1班的捐款人数比2班多3人，其中1班共捐款2400元，2班共捐款1800元，2班平均每人的捐款钱数是1班平均每人捐款钱数的倍。（1）求1班、2班各有多少人捐款？（2）慈善总会欲将此善款全部用于购买帐篷和矿泉水对口支援结古县官贝村，该村至少需要40顶帐篷和160件矿泉水，一顶帐篷的价格为48元，一件矿泉水的价格为12元。因道路毁坏，只能用一架直升飞机将所购物资运往目的地。该直升飞机的货运空间为20.8立方米，而一顶包装好的帐篷体积为0.16立方米，一件矿泉水的体积为0.08立方米。应当如何安排购买方案，才能将所需物资一

23、次性运往目的地？用必要的计算说明理由。（3）因直升飞机飞行一次所需燃料费用甚多，故应最大程度利用飞机货运空间。在上述方案中，选用那种方案使得它的利用程度最高，说明理由。11、某工厂计划将一批货物从甲地运到乙地,有A,B,C三种方式可供选择,选 择方式A的平均速度比选择方式B每小时少30千米,但两者所用的运输时间相同.选择方式B的平均速度是方式C的两倍,但运输时间是方式C的40,这三种运输方式所需各项成本见下表.经测算,总费用(含运输费和装卸费，其它费用忽略不计)最少的方式是A,最多的方式是C.运输方式ABC经过的路程(千米)500800a运输费(元千米吨)2.521装卸费用合计(元)39000

24、2500061000(1) 求选择方式B的平均速度；(2) 求这批货物的重量范围；(3) 若选择方式C比选择方式A平均每吨的总费用多150元，求货物的重量12、十二五期间，湖北省把宜昌市定位为省域副中心城市，全是人民倍受鼓舞，市委市政府实行了“东扩、西进、北连、南展”的决策，其中一项是大力实施基础设施的完善，仅2010年公路建设总费用（含新修公路费用和改造公路费用，下同）共5亿元。据统计新修公路费用比改造公路费用多50%，改造公路的里程比新修公路的里程多500千米，市委市政府计划再投资到2011、2012年公路建设总费用10亿元。（1）求2010年新修公路的费用（2）据交通部门测算，每改造1千

25、米公路的费用为每新修1千米公路费用的一半，而2011年和2012年每年改造公路的里程比上一年减少500千米，这两年新修公路的里程比上一年平均增长20%，（假定2013年前每改造1千米公路的费用和每新修1千米公路的费用都不发生变化），请问市委市政府2011、2012投资的钱是否够用？节省或超支多少元13、某地现有耕地10 000公顷，规划若干年后粮食单产比现在增加65%，人均粮食占有量比现在提高20%，人口总数比现在增加10%，耕地面积会减少.（1）在下表三个空格中，填入适当的代数式：(2)求耕地最多只能减少多少公顷？14、某条公路分作两段由甲、乙两队同时开始分别施工修建，上级要求两队同时完成各

26、自的任务施工开始后两队用30天时间共修了1 500米，其中甲队的施工进度比乙队快了50(施工进度指每天修路的长度，单位：米天)由于两队继续按这样施工进度修路，将不能同时完成各自的任务，所以从第31天起，通过合理调配，降低甲队的施工进度并提高两队的总施工进度(两队施工进度之和)，其中甲队的施工进度降低的百分数恰为总施工进度增加的百分数，这样刚好使两队同时完成各自的任务.如果一开始两队就按调配后各自的施工进度修路，则完成各自的任务甲队比乙队需多用50天(1)求调配前两队各自的施工进度； (2)求调配后两队各自的施工进度 15、电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只