2011年高中数学 第一章 分段函数及映射课件 新人教A版必修1.ppt

1、函数的表示法(二)映射,实例分析,.集合全班同学，集合（全班同学的姓，对应关系是：集合中的每一个同学在集合中都有一个属于自己的姓.,.集合中国，美国，英国，日本，北京，东京，华盛顿，伦敦，对应关系是：对于集合中的每一个国家，在集合中都有一个首都与它对应.,.设集合,， 集合，,对应关系是：集合中的每一个数，在集合中都有一个其对应的平方数.,探索研究,三个对应的共同特点：,（）第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素；,（）对于第一个集合中的每一个元素在 第二个集 合中的对应元素是唯一的.,映射定义：,设A、B是两个非空的集合，如果 按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中 的任意一个

2、元素x，在集合B中都有唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应f：A,为从集合A到集合B的一个映射（mapping） 记作“f：A,1.映射的概念,中的元素x称为原象，,中的对应元素y称为x的象，,映射三要素：,两个集合，一种对应关系,2.对映射的理解,（1）映射具有方向性；,（2）对映射f:A B来说,应满足：,集合A中的每一个元素在集合B中都有象，并且是唯一的；,集合A中的不同元素在集合B中的象可以是同一个；,不要求集合B 中的每一个元素在集合A中都有原象；,从对应形式上来说可以是多对一、一对一，但不能是一对多。,3.函数与映射的区别和联系,（1）相同点：,函数与映射分别都有三要素,对应关

3、系都具有方向性,对应关系f:A B中，A中元素都具有任意性，B中元素都具有唯一性,函数与映射中的两个集合都是非空的,（2）区别：,函数中两个集合是非空数集，而映射中两个集合的元素是任意的,（3）联系：,函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展,是一种特殊的映射，具备两个条件：,1.中的不同元素的象也不同,2.中的每一个元素都有原象,一一映射：,知识应用,1. 已知集合Axx0，xR，BR，对应法则是“取负倒数”(1) 画图表示从集合A到集合B的对应（在集合A中任取四个元素）；(2) 判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射；是否为一一映射？(3) 元素2的象是什么？3的原象是什么？(4) 能不能

4、构成以集合B到集合A的映射？,2. 点(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， (1 )求点（，）在映射f下的像； （）求点(4，6)在映射f下的原象.,知识应用,(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）,问题探究,（1）试建立一个由A到B的映射；,（2）由A到B的映射共有多少个？,结论：若集合A中有m个元素，若集合B中有n个元素,那么由A到B的映射共有nm个.,学点一,学点二,学点三,学点四,1.在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫 . 2.分段函数的定义域是各段定义域的 ，其值域是各段值域的

5、.,分段函数,并集,并集,已知函数 （1）画出函数的图象； （2）根据已知条件分别求f(1),f(-3),ff(-3),fff(-3)的值.,【分析】给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式. （1）函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的图象作图. （2）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值.,【解析】（1）分别画出y=x2(x0),y=1(x=0),y=0(x0)的图象，即得所求函数的图象如图所示. （2）f(1)=12=1, f(-3)=0, ff(-3)=f(0)=1, fff(-3)=ff(0)=f(1)=12=1.

6、,【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系.对于分段函数，各个分段的“端点”要注意处理好.,已知函数f(x)的解析式为： （1）求 的值； （2）画出这个函数的图象； （3）求f(x)的最大值.,（2）如图，在函数y=3x+5图象上截取x0的部分，在函数y=x+5图象上截取01的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.,（3）由函数图象可知,当x=1时，f(x)的最大值为6.,学点二 分段函数的求值问题,【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这

7、个区间相对应的对应关系来求函数值.,已知 求fff(3),【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.,【解析】32,+), f(3)=32-43=-3. -3(-,-2, ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2), fff(3)=f( )=.,已知函数 （1）求 （2）若f(a)=3,求a的值； （3）求f(x)的定义域与值域.,（1） （2）f(a)=3, 当a-1时,a+2=3,a=1-1（舍去）， 当-1a2时，2a=3,a= (-1,2),当a2时， a2=3,a= 2, 综上知,当f(a)=3时，a= 或a= . （3）f(x)的定义域为(-,-1(-1,2)2,+)=R

8、. 当x-1时,f(x)(-,1; 当-1x2时,f(x)(-2,4); 当x2时，f(x)2,+). (-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域为R.,学点三 分段函数的解析式,如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线MNAD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.,【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此题应对N分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数的解析式.,【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范

9、围的并集,因此,函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.,所求函数的关系式为 函数的定义域为0,2,值域为0, ,如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,ABP的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)画出y=f(x)的图象.,(1)当P点在BC上，即0 x4时，SABP= 4x=2x; 当P点在CD上时， SABP= 44=8; 当P点在AD上时， SABP= 4(12-x).,（2）画出y=f(x)的图象，如右图所示.,所求的函数关系式为,A,B两地相距150公里,某汽车以每小时

10、50公里的速度从A地运行到B地,在B地停留2小时之后,又以每小时60公里的速度返回A地,写出该车离开A地的距离s(公里)与时间t(小时)的函数关系.,【解析】由50t1=150得t1=3, 由60t2=150得t2= , 当0t3时，s=50t; 当3t5时，s=150; 当5t7.5时，s=150-60(t-5)=450-60t. 所求函数关系式为,学点四 分段函数的应用问题,【分析】因行驶速度不一样，故S与t的关系需用分段函 数表示.,【评析】解决数学应用题的一般步骤：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，经过去粗取精，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识

11、对数学模型进行分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论（结果）返回到实际问题中.,某汽车以52 km/h的速度从A地运行到260 km远处的B地，在B地停留面1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地.试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数.,因为行驶速度不一样，可考虑分段表示, 26052=5(h),26065=4(h).,所以,1.怎样正确地理解分段函数？ 对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数，不能认为它是几个函数，它只是一个函数的表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用“”表示出各段解析式关系.,2.如何加强对分段函数的认识？

12、 首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手多认识、多识记. 教材中通过例题的形式给出了“分段函数”的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时，既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等.,1.分段函数的图象是一些线段或曲线段构成的，定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.各段不一定等长.,分段函数及映射,1所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有,不同的_的函数,解析式,0,4由映射的定义可以看出，映射是_概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A、B

13、 必须是,_,函数,非空集合,5在映射 f：AB 中，AB(x，y)|x、yR，且 f：(x, y) (xy，xy)，则与 A 中的元素(1,2)对应的 B 中的元素为 _,(3,1),3设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中_确定 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B,的_,都有唯一,一一映射,重点,分段函数,(1)分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的 不同表达式，所以它的图象是由几个部分组成的总体(有的可以 是一些孤立的点) (2)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属

14、于哪 一段，就用哪一段的解析式； (3)分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集 即为分段函数的定义域，各段值域的并集，即为分段函数的值 域,难点,理解映射概念时要注意的几点,(1)映射是函数的一种推广，两个集合 A、B，它们可以是数 集，也可以是点集或其他集合； (2)集合 A、B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统； (3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应； (4)集合 A 中的不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是 同一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应 多个元素； (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有对应的，即集合

15、 B 中可以有“剩余”的元素,分段函数及其应用,例 1：如图 1，一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶,图 1,点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到 A 点若点 P运动的路程为 x，点 P 到顶点 A 的距离为 y，求 A、P 两点间的距离 y 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系式,思维突破：利用数学知识建立相应的数学模型，求目标函 数解析式本题需要对点 P 的位置分类讨论，确定 y 与 x 之间 的函数关系,解决数学应用题的一般程序：首先要在阅读 材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立 相应的数学模型，对其进行分析、研究，得出数学结论，最后 把

16、数学结论(结果)返回到实际问题中,11.如图 2，根据函数 f(x)的图象写出它的解析式,图 2,12.如图 3，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P， 沿着折线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点(终点)移动，设 P 点移动的 路程为x，ABP 的面积为 ，求 ABP 的面积与 P 点移动的路 程间的函数关系,图 3,映射问题,例 2：图 4 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的对应 f，,其中为映射的对应是哪几个？为什么？,图 4,思维突破：依映射定义判断,(1)判断一个对应 AB 是否为映射，主要的 依据是：集合 A 中的元素是否在集合 B 中都有元素与之对应； 集