【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 2.9函数的应用配套课件 理 新人教A版

1、第九节 函数的应用,三年6考高考指数: 能够运用函数的性质解决某些简单的实际问题.,1.题型多以解答题的形式出现，以实际问题为背景，考查数学知识的运用能力； 2.题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质(单调性、极值和最值等)来解释生活现象，主要涉及经济、环保、能源、健康等方面的社会现象.,1.常用的函数模型 (1)一次函数模型: _(k,b为常数,k0). (2)反比例函数模型:f(x)= +b(k,b为常数,k0). (3)二次函数模型: _(a,b,c为常数,a0). (4)指数函数模型:f(x)=kax+b(k,a,b为常数,k0,a0,且a1).增长率问题y=N(1+p)

2、x(x0)是其中最常见的模型.,f(x)=kx+b,f(x)=ax2+bx+c,(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,且a1). (6)“对钩”函数模型:f(x)=x+ (k为常数,k0),这种函数模型应用十分广泛,因其图象像一个“钩号”,故我们把它称之为“对钩”函数模型. (7)分段函数模型:这个模型是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.,【即时应用】 (1)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组数据：,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是_.(填上序号即可) y2x2 ylog2x y (x2

3、1),(2)某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_. (3)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到_只.,【解析】(1)将表中的数据分别代入各函数解析式中，检验可知比较接近. (2)设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)25%,化简得b= a.y=b20%x= a20%x,即y= x(xN*). (3)由题易知,a=100,则x=7时，y=a

4、log2(x+1)=300. 答案：(1) (2)y= x(xN*) (3)300,2.解决实际问题的解题过程 (1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； (2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；,(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识，求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示：,【即时应用】 (1)思考:应用函数知识解决实际问题时，应注意什么问题？ 提示:一是要注意自变量的取值范围，要根据题意

5、及实际情况确定自变量的取值范围.二是要注意将所得的数学结论进行检验，看其是否符合客观实际，从而验证自己的数学建模是否合理.,(2)随着计算机技术的不断发展,电脑的性能越来越好,而价格又在不断降低,若每隔两年电脑的价格降低三分之一,则现在价格为8 100元的电脑6年后的价格可降为_元. 【解析】由题意得8 100( )3=2 400(元). 答案：2 400,(3)某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣,超过800元时,则超过800元的部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.,某顾客在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的

6、解析式为 若y=30元,则顾客购物实际所付金额为_元.,【解析】若x=1 300元, 则y=5%(1 300-800)=2530,x1 300. 10%(x-1 300)+25=30, 得x=1 350. 答案：1 350,一次函数与二次函数模型的应用 【方法点睛】 一次函数与二次函数的应用技巧 (1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解.,(2)二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定

7、要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,则可在对称轴处取一最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,则最值都在区间的端点处取得.,【提醒】对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长.在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.,【例1】(2012贺州模拟)某山区的某种特产由于运输原因, 长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益 为:每年投入x万元,可获得利润P=- (x-40)2+100万元.当 地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售,其规划方案为:在规划前后对该项

8、目每年都投入60万,元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出 30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地 销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销 售,在外地销售的投资收益为:每年投入x万元,可获利润Q= - (60-x)2+ (60-x)万元.问从10年的总利润看,该规划 方案是否具有实施价值?,【解题指南】分三步计算:先求规划前10年的利润;求规划后的前5年利润;通车后的5年利润. 【规范解答】在实施规划前,由题设P=- (x-40)2+100(万元)知,每年只需投入40万元,即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W1=1001

9、0=1 000(万元).,实施规划后的前5年中, 修建公路的费用为305=150(万元), 又由题设P=- (x-40)2+100知,每年投入30万元时,利润P= (万元). 前5年的利润和为 5-150= (万元). 设在公路通车后的5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售,则其总利润为,W2=- (x-40)2+1005+(- x2+ x)5=-5(x-30)2+ 4 950. 当x=30时,(W2)max=4 950(万元). 从而10年的总利润为 +4 950(万元). +4 9501 000, 故该规划方案有极大实施价值.,【反思感悟】 1.直

10、线模型:即一次函数模型,现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长与拉力的关系等,直线模型的增长特点是直线上升,通过图象可以很直观地认识到. 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等,构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.,【变式训练】某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元.因为在生产过程中,平均每生产一件产品有 0.5 m3污水排出,为了净化环境,所以工厂设计了两种方案进行污水处理,并准备实施. 方案一:工厂污水先净化处理后再排出.每处理1 m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗

11、费为30 000元;,方案二:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1 m3污水需付14元排污费. (1)若工厂每月生产3 000件产品,你作为厂长,在不污染环境,又节省资金的前提下,应选择哪种污水处理方案?请通过计算加以说明; (2)若工厂每月生产6 000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?,【解析】设工厂生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知 y1=(50-25)x-20.5x-30 000=24x-30 000, y2=(50-25)x-140.5x=18x. (1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000. y1y2, 应选择方案二处理

12、污水.,(2)当x=6 000时, y1=114 000,y2=108 000. y1y2, 应选择方案一处理污水.,集合间的基本关系 【方法点睛】 分段函数与分式函数的应用技巧 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值的取舍.构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏.,(2)形如f(x)=x+ (a0,x0)的函数模型在现实生活中有广泛的应用,常利用基本不等式求最值,但要注意成立的条件,当等号不成立时,采用函数的单调性来解决.,【提醒】(1)不会将实际问题抽象

13、转化为函数模型或转化不全面. (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.,【例2】(1)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.,(2)(2012桂林模拟)“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的

14、函数关系可以近似的表示为：,且每处理一吨“食品 残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.,当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损. 该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？,【解题指南】(1)根据题意，分为三个区间(0,3，(3,8，(8,+)，分别列式，写出分段函数求解. (2)列出获利的函数关系式进行计算；列出成本与x的函数关系式，然后利用二次函数或基本不等式求最值.,【规范解答】(1)设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得： 令f(x)2

15、2.6，解得x9. 答案：9,(2)当x200,300时，设该项目获利为S，则 S=200 x-( x2-200 x+80 000) =- x2+400 x-80 000=- (x-400)20. 所以当x200,300时， 该项目不会获利. 当x=300时，S取得最大值-5 000， 所以政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损.,由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为： ()当x120,144)时， 当x=120时， 取得最小值240；,()当x144,500)时， 当且仅当 x= ,即x=400时， 取得最小值200. 200240, 当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平

16、均处理成本最低.,【反思感悟】 1.很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数,如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 2.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,一定要正确理解题意,选择适当的函数模型.,3.建立目标函数后,一定要特别关注实际应用问题中的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 4.注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.,【变式训练】1.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线

17、l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).,(1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.,【解析】(1)由图象可知, 当t=4时,v=34=12,s= 412=24. (2)当0t10时,s= t3t= t2, 当10t20时, s= 1030+30(t-10)=30t-150; 当20t35时, s= 1030+1030+(t-20)30- (t-20)2(t-20)

18、 =-t2+70t-550.,综上,可知 (3)t0,10时,smax= 102=150650, t(10,20时,smax=3020-150=450650, 当t(20,35时,令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40. 20t35,t=30. 沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.,2.(2012福州模拟)某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图是每件样品的销

19、售利润与上市时间的关系.,(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由.,【解析】(1)图是两条线段,由一次函数及待定系数法, 得 图是一个二次函数的部分图象, 故g(t)=- t2+6t(0t40). (2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为,故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为 当0t20时,F(t)=3t(- t2+8t)=- t3+24t2, F(t)=- t2+48t=t(48

20、- t)0,F(t)在0,20上是增函数, F(t)在此区间上的最大值为F(20)=6 0006 300. 当20t30时,F(t)=60(- t2+8t). 由F(t)=6 300,得3t2-160t+2 100=0, 解得t= (舍去)或t=30. 当30t40时,F(t)=60(- t2+240). 由F(t)在(30,40上是减函数, 得F(t)F(30)=6 300,故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元,为上市后的第30天.,指数函数与对数函数模型的应用 【方法点睛】 指数、对数函数模型的理解 (1)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型.指数函

21、数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a1时),常形象地称之为指数爆炸.通过细胞分裂增长实例,以及函数图象的变化,都可以清楚地看到“爆炸”的威力.,(2)对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1时),函数值增大的速度越来越慢.对数增长在现实生活中有广泛的应用.,【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到

22、120万人(精确到1年);,(4)如果20年后该城市人口总数不能超过120万人,年自然增长率应控制在多少? (参考数据:1.01291.113,1.012101.127,lg1.20.079, lg2=0.301 0,lg1.0120.005,lg1.0090.003 9),【解题指南】先写出1年后、2年后、3年后的人口总数,再写出y与x的函数关系,计算求解作答. 【规范解答】(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.,3年后该城市人口总数为 y

23、=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为 100(1+1.2%)10112.7(万人).,(3)设x年后该城市人口将达到120万人. 即100(1+1.2%)x=120, x=log1.012 =log1.0121.2016(年). (4)设增长率控制在x%,由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2, 两边取对数得20lg(1+x%)lg1.2=0.079, 所以lg(1+x%) =0.003 95, 所以1+x%1.009,得x0.9%, 即

24、年自然增长率应该控制在0.9%.,【反思感悟】指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为ya(1p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.,【变式训练】在预防流感时，某学校对教室 用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程 中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克) 与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后， y与t的函数关系式为y=( )t-a(a为常数)， 如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：,(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(

25、小时)之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生才能回到教室？,【解析】(1)观察图象,由两线交于点(0.1,1)，故t(0,0.1) 时，y=10t；t0.1,+)时，将(0.1,1)代入y=( )t-a中得 =1，解得a= . 故函数关系式为：,(2)由题意可得y0.25= ，即得 或 0t 或t0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室,【变式备选】(2012南宁模拟)某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2a

26、5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35x41),根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.,(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值.,【解析】(1)由题意设日销售量为 ,则 =10,k=10e40.则日销售量可设为 件. 日售价为x元时，每件利润为(x-30-a)元，则日利润,当2a4时，3331+a35，而35x41, L(x)0,L(x)在35，41上是单调递减函数. 则当x=35时，L(x)取得最大值

27、为10(5-a)e5. 当4a5时，3531+a36,令L(x)=0, 得x=a+31. x35,a+31)时，L(x)0,L(x)在35,a+31)上是单调递增函数；,x(a+31,41时，L(x)0,L(x)在(a+31,41上是单调递减函数. L(x)在35,41上连续，当x=a+31时，L(x)取得最大值为10e9-a. 综上，,【满分指导】函数应用题的规范解答 【典例】(12分)(2011湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞

28、，此时车流速度为,0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大，并求最大值(精确到1辆/小时).,【解题指南】(1)由车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，可得0 x20时，v(x)=60；又20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数，设v(x)=ax+b，利用x=200时v=0及x=20时v=60可求出a,b，据此可

29、求v(x)的表达式.(2)f(x)是关于x的分段函数，求出每段的最大值，再比较可得f(x)的最大值.,【规范解答】(1)由题意：当0 x20时，v(x)=60； 1分 当20 x200时，设v(x)=ax+b，显然v(x)=ax+b在20,200上是减函数,由已知得 3分 解得 5分 故函数v(x)的表达式为,6分 (2)依题意并由(1)可得 f(x)= 7分 当0 x20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为6020=1 200； 8分,当20 x200时，f(x)= x(200-x) 2 = 9分 当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立. 所以，当x=100时，f(x)

30、在区间20,200上取得最大值 10分,综上，当x=100时，f(x)在区间0,200上取得最大值 3 333，11分 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时. 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为 (A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( ) (A)75，25(B)75，16(C)60，25(D)60，16,【解析】选D.当A4时， 解得c=60，A=16;当A4时， 无解.,2.(2012兰州模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别为a m