高三数学教案函数的单调性3

1、课题：3 6 函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点： 利用导数判断函数单调性教学难点： 利用导数判断函数单调性授课类型： 新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：1， x2 i，且当以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 xxx时，都有 f(x ) f(x )，那么函数 f(x) 就是区间 i 上的增函数 . 对于任意的两1212个数 x1212时，都有12，x i ，且当 x xf(x ) f(x )，那么函数 f(x)就是区间 i 上的减函数 .在函数 y=f(x) 比较复杂的情况

2、下， 比较 f(x 12)与 f(x )的大小并不很容易 . 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单教学过程 ：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：c 0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x2.法则 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法则 2u(x)v( x)u ( x)v(x) u( x)v (x) , cu (x) cu ( x)u v uv 法则 3u(v0)vv23.复合函数的导数： 设函数 u=(x)在点 x 处有导数 u x= (x)，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y u=f (u)，

3、则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数，且 yxyu u x或 f x( x)= f(u) ( x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代5. 对数函数的导数： (ln x)11x(log a x)log a ex6.指数函数的导数：(ex )ex( ax )a x ln a第 1页共 6页二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x) 的切线的斜率就是函数y=f(x) 的导数 .从函数y x24x 3 的图像y可以看到：y=f(x)=x2 4x+3切线的斜率f (x)f x = x2-4 x +3(2， +)增函数正0( ， 2)减函数负0在

4、区间（ 2，）内，切线的斜率为正，函数by=f(x) 的值随着 x 的增大而增大，即 y/ 0 时，o 123函数 y=f(x)在区间（ 2，）内为增函数；在a区间（，2）内，切线的斜率为负， 函数 y=f(x)x的值随着 x 的增大而减小，即 y /0 时，函数y=f(x) 在区间（， 2）内为减函数 .定义： 一般地，设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y /0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 f (x).令 f (x) 0 解不等式，

5、得x 的范围就是递增区间.令 f (x) 0 解不等式，得x 的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例 1 确定函数 f(x)=x2 2x+4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 .解： f (x)=( x2 2x+4) =2x 2.令 2x 2 0，解得 x 1.当 x (1， + )时， f (x) 0，f(x)是增函数 .令 2x 2 0，解得 x 1.当 x (， 1)时， f( x) 0，f(x)是减函数 .例 2 确定函数 f( x)=2 x3 6x2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 .解： f (x)=(2 x3 6x2+7) =6 x2 12x令 6x2 12

6、x 0，解得 x 2 或 x 0当 x (， 0)时， f( x) 0，f(x)是增函数 .当 x (2， + )时， f (x) 0， f(x)是增函数 . 令 6x2 12x 0，解得 0 x 2.当 x (0， 2)时， f (x) 0， f(x)是减函数 .y2f x =x2-2 x +4o1xyf x =2 x3-6 x2 +7o12x第 2页共 6页例 3证明函数 f(x)=1 在 (0， + )上是减函数 .x证法一： (用以前学的方法证)任取两个数 x1212，x (0， + )设 x x .121 1 x2x1f(x) f(x )=x1x2x1x2 x1 0，x2 0， x1

7、x2 0 x1221x2x1 0 x， x x 0， x1 x2 f(x1) f(x2) 0，即 f(x1 ) f(x2) f(x)=1 在 (0， + )上是减函数 .x证法二： (用导数方法证 ) f (x)=(1) =( 1) x2 =1 ， x 0，xx21 x2 0， x2 0. f (x) 0， f(x)=1在 (0， + )上是减函数 .x2点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例 4 求函数 y=x2(1 x)3 的单调区间 .解： y = x2(1 x)3 =2x(1 x)3+x2 3(1

8、 x)2 ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x=x(1 x)2 (2 5x)令 x(1 x)2(2 5x) 0，解得 0x2. y=x2(1 x)3 的单调增区间是(0，2)55令 x(1 x) 2(2 5x) 0，解得 x 0 或 x2且 x1.5 x1 为拐点，第 3页共 6页 y=x2(1 x)3 的单调减区间是(， 0)， ( 2 ，+ )5yf x = x 2 1-x 3o21x5例 5 当 x 0 时，证明不等式：1+2x e2x.分析：假设令 f(x)=e2 x 12x. f(0)= e0 10=0,如果能够证明f(x)在 (0，+ )上是增函数，那么 f(x) 0，则不

9、等式就可以证明 .证明：令 f(x)=e2x1 2x. f (x)=2e2x2=2(e2 x 1) x 0， e2x e0=1， 2(e2x 1) 0, 即 f (x) 0 f(x)=e2 x 1 2x 在 (0， + )上是增函数 . f(0)= e01 0=0.当 x 0 时， f(x) f(0)=0 ，即 e2x 12x 0. 1+2x e2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为 0.例 6 已知函数 y=x+1 ，试讨论出此函数的单调区间 .x1解： y =(x+ )xy1f x= x+ x2=1 1 x 2x21=2x令 ( x 1)

10、( x1) 0.x21 y=x+的单调增区间是(x 1)( x 1)-1o1xx2-2解得 x 1 或 x 1.(， 1)和 (1， +).x第 4页共 6页令 ( x 1)( x1) 0，解得 1 x0 或 0x 1.x2 y=x+ 1 的单调减区间是 ( 1，0) 和(0， 1)x四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间(1)y=x3 9x2+24x(2)y=x x3(1)解： y =(x3 9x2+24x)=3x2 18x+24=3( x2)( x 4)令 3(x 2)(x 4) 0，解得 x4 或 x 2. y=x3 9x2+24x 的单调增区间是 (4，+ )和 (， 2)令 3(x

11、2)(x 4) 0，解得 2 x 4.y=x3 9x2+24x 的单调减区间是 (2， 4)(2)解： y =(x x3) =1 3x2= 3(x2 1)= 3(x+3)( x3)333令 3(x+ 3)(x3) 0，解得3 x3.3333 y=x x3 的单调增区间是 ( 3 ，3).33令 3(x+ 3)(x3) 0，解得 x3333或 x3.3 y=x x3 的单调减区间是 (，3)和 (3 ， +)332.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的单调区间 .b解： y =(ax2+bx+c) =2 ax+b, 令 2ax+b 0，解得 x2a y=ax2+bx+c(a 0)的单调增

12、区间是 ( b ，+ )2a令 2ax+b 0，解得 x b .2a第 5页共 6页 y=ax2+bx+c(a 0)的单调减区间是 (，b)2a3.求下列函数的单调区间x2(2) y=x(3)y=x +x(1) y=xx29(1)解： y =(x 2x x22) =x2x2x2当 x 0 时， x2 0， y 0. y= x2 的单调减区间是 (， 0) 与(0， + )x(2)解： y =(xx29 x 2xx29x29)(x29)( x29) 2(x29) 2x2 92x29当 x 3 时，0， y 0.( x29) 2 y=x的单调减区间是 (， 3)， ( 3， 3)与 (3，+ ).9x21(3)解： y =(x