高三数学教案：第10讲参数取值问题的题型与方法

1、高三数学第二轮复习教案第 10 讲 参数取值问题的题型与方法（4 课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 1已知当 x r 时，不等式a+cos2x54sinx+ 5a 4 恒成立，求实数 a 的取值范围。分析： 在不等式中含有两个变量a 及 x，其中 x 的范围已知 （x r），另一变量 a 的范围即为所求，故可考虑将 a 及 x 分离。解：原不等式即： 4sinx

2、+cos2x3 即5a4 a+2a205a40上式等价于5a4( a 2) 2或a2045a40 ，解得 5a8.说明： 注意到题目中出现了sinx 及 cos2x，而 cos2x=12sin2x,故若把 sinx 换元成 t, 则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。另解： a+cos2x54sinx+5a4 即a+1 2sin2x0,( t 1,1) 恒成立。设 f(t)= 2t24t+4a+5a4 则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在 1，1内单调递减。只需 f(1)0,即5a4 a2.(下同 )例 2已知函数 f(x)在定义域（，1上是减函数， 问是否存在实数k，使不等式 f(k

3、 sinx)f(k2 sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k sinx k2 sin2x 1对于任意 x r 恒成立，这又等价于第1页共17页k 21sin 2x(1)k 2k1(sin x1) 2( 2)42对于任意 x r恒成立。不等式（ 1）对任意 x r 恒成立的充要条件是k2 (1+sin2x)min=1, 即 1 k 1- (3)119不等式（ 2）对任意 x r 恒成立的充要条件是k2k+ 4 (sinx2 )2max= 4 ,即 k1 或 k 2,- (4)由（ 3）、（ 4）求交集，得 k=1,故存在 k=1 适合题设条件。说

4、明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。x 2y 21ap例 3设直线 l过点 p（ 0， 3），和椭圆 94pb 的取值顺次交于 a、 b 两点，试求范围 .apxa分析：本题中，绝大多数同学不难得到：pb =xb ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.apxa思路 1:从第一条想法入手，pb =xb 已经是一个关系式，但由于有两个变量x a , xb ，同时这两个变量的范围不好控制，

5、所以自然想到利用第3 个变量直线ab的斜率 k. 问题就转化为如何将 xa , xb 转化为关于 k 的表达式， 到此为止， 将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程求根公式xa= f（k）， xb = g（ k）ap/pb = （ xa / xb）得到所求量关于k 的函数关系式由判别式得出k 的取值范围所求量的取值范围ap1解 1：当直线 l 垂直于 x 轴时，可求得 pb5 ；第2页共17页当 l 与 x 轴不垂直时，设a x1 , y1, b(x2， y

6、2 ) ，直线 l 的方程为：ykx3 ，代入椭圆方程，消去 y 得 9k 24 x 254kx450 ，x1, 227k69k 25解之得9k 24.因为椭圆关于y 轴对称，点p 在 y 轴上，所以只需考虑k0 的情形 .0 时， x127k69k 2527k69k 25当 k9k 24， x29k 24，apx19k29k 2518k11819295pbx2 = 9k2 9k225 =k2所以5 = 9k 2 9k.( 54k) 2180 9k 2k25由40 ,解得9 ，1118155所以929k2，1ap1综上pb5 .思路 2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式往往

7、是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围， 于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来 .一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于apx1pbx2 不是关于 x1 , x2 的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1 , x2 的对称关系式 .把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于x 的一元二次方程韦达定理xa+ xb = （f k）， xa xb = g（ k）ap/pb = （ xa / xb）构造所求量与k 的关系式第3页共17页由判别式得出k 的取值范围关于

8、所求量的不等解 2：设直线 l 的方程为： ykx3 ，代入椭圆方程，消去y 得9k 24 x 254kx45 0（* ）x1x254k,9k24x1x1 x245.1324k29k2令 x2245k 2.则4，则，200,k 25在（ * ）中，由判别式可得9 ，4324k 23613645k2205 ，所以42从而有5，15111 得 5解得 5.结合 0.1ap1综上，pb5 .说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法， 均值不等式法， 变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的

9、变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 4（ 2003 年江苏卷第11 题、天津卷第10 题）已知长方形四个顶点a（ 0，0），b（ 2，0），c（ 2，1）和 d（ 0，1） .一质点从 ab 的中点 p 沿与 ab 夹角为的方向射到bc 上的点 p1后，依次反射到cd、da 和 ab 上的点 p2、p3 和 p4（入射角等于反射角）.设 p4 的坐标为（x4，0）.若 1 x42，则 tan的取值范围是（）(1,1)(1, 2)( 2, 1)( 2, 2)(a) 3(b) 33(c) 52(d)

10、53第4页共17页分析 : 高中数学课程标准 提倡让学生自主探索 , 动手实践 , 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动 , 03 年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设p4 与ab 的中点 p 重合（如图1 所示），则p1、p2、 p3分别是y线p2c(2,1)段d(0,2)p3bc、p1cd、dax的a(0,0)pp4b(2,0)中图 1点 ，yp4p4 dp2cp2 p3 pp33p1a p pbphx44图 2tan112 由于在四个选择支中只有c 含有 2 ，故选 c所以当然， 本题也可以利用对称的方法将 “

11、折线” 问题转化成 “直y1=(x-1)2线”问题来直接求解（如图2 所示）y说明 由本题可见 , 0年试题强调实验尝试 , 探索猜想在y2=logax数学学习中的地位这也是选择题的应有特点1例 5当 x(1,2)时，不等式 (x1)2logax 恒成立，求 a 的取ox值范围。2分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设 y1=(x1)2,y2=logax,则 y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x (1,2),y11,并且必须也只需当x=2 时 y2 的函数值大于等于y1 的函数值。故 loga21,a1

12、, 10，则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于a 0a0f (m)0）f ( m)0 或）f (n)0 亦可合并定成f (n)0f ( m)0同理，若在 m,n 内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 p,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在 2， 2内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不等式即 (x1)p+x22x+10,设 f(p)= (x 1)p+x2 2x+1,则 f(p)在 2,2 上恒大于 0，故有：f ( 2) 0x24x30x或x13f (2

13、)x210x或x1即解得：1x3.例 8.设 f(x)=x22ax+2,当 x1,+)时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 1,+)时恒大于0 的问题。解：设 f(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（ a1)(a+2)0 时，即2a0. 则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0 有正根。0x1x2(4 a) 0(4 a) 216 0x1? x24 0即a4a0或a8y4xoa4解得 a8.解法 2（利用根与系数的分布知识） ：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f

14、(x)= t2+(4+a)t+4.y10. =0,即（ 4+a） 2 16=0, a=0 或 a= 8.a=0 时， f(x)=(t+2)2=0, 得 t= 20,符合题意。xa=8.o20.0,即 a0 时， f(0)=40, 故只需对称轴 a 8综合可得a8.4a02，即 a0,y0,x,y z）。计年利润为 s，那么 s 3x+6y-2.4x-4y，即 s 0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs 0 截距的最大值。过点a 作0.6x+2y=0 的平行线即可求出s 的最大值。x y30联立28x58y1200 得 a（18,12）。将 x 18， y12

15、代入 s 0.6x+2y 求得 smax 34.8。设经过 n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得 n 33.5。学校规模初中18 个班级，高中12 个班级，第一年初中招生6 个班 300 人，高中招生4 个班 160 人。从第三年开始年利润34.8 万元，大约经过36 年可以收回全部投资。说明： 本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想， 解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知， 投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。五、强化训练1（南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试

16、题）若对 n 个向量 a1 , a2 ,an 存在 n 个不全为零的实数 k1 , k 2 , kn ，使得 k1 a1k2 a2kn an0 成立，则称向量 a1 ,a2 ,an为“线性相关” 依此规定，能说明 a1(1,0) ， a2(1,1)， a3(2,2) “线性相关”的实数 k1 , k2 ,k3 依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）c : y 2x21a 2,0，斜率为 k ，当 0k 1时，双曲线2已知双曲线22，直线 l 过点的上支上有且仅有一点b 到直线 l 的距离为2 ，试求 k 的值及此时点 b 的坐标。3设函数 f(x)=2x-12-x-1,xr,若当 0

17、2 时，f(cos2 +2msin )+f( 2m 2)0 恒成立，求实数 m 的取值范围。第 12页共 17页2lg(8x 6a3)=0 有唯一解，求实数a 的取值范围。4已知关于 x 的方程 lg(x +20x)5试就 k 的不同取值，讨论方程(k 2) x2(6 k ) y2(6 k)( k2) 所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量， 以使得总利润达到最大。 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关

18、于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300劳动力 510110（工资）单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100 克含蛋白质6 个单位， 含淀粉 4 个单位，售价0.5 元，米食每 100克含蛋白质3 个单位，含淀粉7 个单位，售价0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8 个单位的蛋白质和 10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8发电厂主控室的表盘，高m 米，表盘底边距地面n 米。问值班人员坐在什么位置上，看得最

19、清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2 米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为144 平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50 米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？六、参考答案1分析： 本题将高等代数中n 维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中， 定义了 n个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到k1 a1k2 a2k3 a30，即k1k2 2k30,k1 (1,0)k2(1, 1)k3 (2,2)0 ，于是 (k1 k2 2k3 ,k2 2k3 )0 ，所以k22k30.即k14k3,k2 2k3 .则 k1: k2 : k3k ,k, k3 的值依次可取4c,2 c,c （ c 是不等于零4: 2:1 所以， 1 2的任意