高三数学教案：小结与复习(一)

1、课题：小结与复习 (一 )教学目的：1.理解数学归纳法证明命题的步骤，并用它来证明一些命题.2.掌握数列的极限以及几个重要的极限，会求数列的极限.3.掌握函数的极限，利用图象来求函数极限.4.掌握函数极限，数列极限的四则运算法则，以及几个特殊的极限，会用代入法、因式分解法、分子分母同除 x 的最高次幂，分子有理化法，求函数极限、掌握数列极限的二个规律.5.学会用函数的连续性来求函数的极限教学重点：1.掌握用数学归纳法证明与正整数n 有关的数学命题 .2.学会求数列极限，函数极限的一些基本方法，以及一些特殊的极限.教学难点：关键是要掌握哪种基本方法适合哪类题型的极限.授课类型：新授课课时安排：

2、1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识点：1.用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题的步骤：(1)证明：当 n 取第一个值n0 结论正确；(2)假设当 n=k(k n* ，且 k n0)时结论正确，证明当n=k+1 时结论也正确 .由 (1) ， (2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.2.数列极限的定义：一般地， 如果当项数n 无限增大时， 无穷数列 an 的项 an 无限趋近于某个常数 a ，那么lim an a就说数列 an 以 a 为极限 .记作 n3.几个重要极限：lim1lim cc0（c 是常数）（

3、 1） nn（2） n（ 3）无穷等比数列 qn （ q 1）的极限是0，即lim qn0( q1)n4.函数极限的定义 :(1)当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.limf(x)=a，或者当 x +时， f(x) a.记作： x(2)当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数 a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是 a.limf(x)=a 或者当 x时， f(x)a.记作 xlimlimf(x)=a，那么就说当 x 趋向于无穷大时， 函数 f(x)的

4、极限是 a，记作：(3)如果 xf(x)=a 且 x第 1页共 6页limx f(x)=a 或者当 x时， f(x) a.lim5.常数函数f(x)=c.(x r)，有 xf(x)=c.limlimlimlimxf(x)存在，表示 xf(x)和 xf(x)都存在，且两者相等 .所以 xf(x) 中的既有 +，又lim有的意义，而数列极限xan 中的仅有 +的意义6.趋向于定值的函数极限概念：当自变量 x 无限趋近于 x0（ xx0 ）时，如果函数 yf (x)a ，就说当 x 趋向 x0 时，函数 ylim f (x) a无限趋近于一个常数f ( x) 的极限是 a ，记作 x x0lim c

5、clim xx0特别地，xx0；xx0lim f ( x)alimf ( x)lim f (x)a7.x x0xx0x x0lim f ( x)a表示当 x 从左侧趋近于 x0limf (x) a其中 xx0时的左极限，x x0表示当 x 从右侧趋近于 x0 时的右极限8. 对于函数极限有如下的运算法则：lim f (x)a, lim g( x)blim f ( x)g (x)如果x xox xo，那么x xolim f (x) g (x)a blim f (x)a ( b0)x xo,x xo g(x)blimcf(x)clim f (x)lim f (x)n当 c 是常数， n 是正整数时

6、:xxox xo,xxo这些法则对于 x的情况仍然适用9. 数列极限的运算法则:ab, lim f (x)nxxo与函数极限的运算法则类似lim ana, lim bn b,那么, 如果 nnlim (an bn )ablim (an bn )a bnnlim (an .bn )a.blim ana ( b0)nbnbn10. 函数在一点连续的定义limlim: 如果函数 f(x)在点 x=x0 处有定义， x x0f(x)存在，且 x x0 f(x)=f(x0) ，那么函数 f(x)在点 x=x0 处连续 .11.函数 f(x)在 (a， b)内连续的定义：如果函数 f(x)在某一开区间 (

7、a， b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间 (a， b)内连续，或f(x)是开区间 (a， b)内的连续函数 .12.函数 f(x)在 a， b上连续的定义：第 2页共 6页limlim如果 f(x)在开区间 (a， b)内连续，在左端点 x=a 处有 x a f(x)=f(a) ，在右端点x=b 处有 x bf(x)=f(b), 就说函数 f(x)在闭区间 a，b 上连续 ,或 f(x)是闭区间 a，b 上的连续函数 .13.最大值f(x)是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a， b， f(x1) f(x)，那么 f(x)在点x1 处有最大值 f(x1).14.最小值f(

8、x)是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a， b， f(x2) f(x)，那么 f(x)在点x2 处有最小值 f(x2).15.最大值最小值定理如果 f(x)是闭区间 a， b上的连续函数，那么f(x)在闭区间 a， b上有最大值和最小值.二、讲解范例：lim (a) n例 1 n 1 a 等于 ( )a. 1b.0c.1d.不能确定a1lim (a)n答案 : d. 因为当 | 1a | 1 即 a 2a时， n 1=0，alim (a) n当| 1a | 1 时，n1a不存在 .a1lim (a)n当 1a =1 即 a= 2 时， n1a=1alim ( a)n当 1a =

9、1时，n1a也不存在 .lim a n1bnlim a n1b n例 2已知 |a|b|，且 na nna n(n n*) ，那么 a 的取值范围是 ( )a.a 1b.1 a0c.a1d.a 1 或 1a 0lim an1bnlim 1( b) n 1答案： d.左边 = nannaaalim a n1bnlim a( b )n a右边 = na nnablimb|a|b| ， |a | 1.(a )n=0 n1不等式变为a a，解不等式得a 1 或 1 a 0.第 3页共 6页例 1、例 2 在数列极限中，极限limnqn=0 要注意这里 |q| 1.这个极限很重要 .lim x3ax 2

10、b例 3x 2x2=8，试确定 a， b 的值 .分析：因为 x2时，分母 x 2 用代入法时等于 0，所以应该用因式分解法，则分母中应该也有 x 2 这个因子，只要将公因式x 2 消去，用代入法求极限，再根据极限是8，就可以求 a， b 了 .lim x3ax2blim x 2 (x2) (2a) x2b解： x 2x 2x2x2lim x2 ( x2)(2a) x(x2)2(2a)( x2)4(2 a) bx2x2lim x2(2a)x2(2 a)lim 4(2a)bx2x2x24(2a)22(2a)8a1由题意4(2a)b0b4lim4x29x3例 4求x 0分析：首先，当 x=0 代入

11、分母时分母为零， 所以可能要用因式分解法， 但分子分母都是根式，所以要分别对分子分母有理化法 .lim4x2lim ( 4x2)(4x2)x 09 x 3x 0 ( 9 x 3)( 4 x 2)解：limxlim (9x3)(9 x 3)x 0 ( 9 x 3)( 4 x 2)x 0 ( 9 x 3)( 4 x 2)9x3333limx2222x 0 4三、课堂练习：lim 1r x1.计算 x1r x(r 0)lim 1rxlim (1r x )101limxr x )解： 1x1r xlim (110.0r 1， xrx=0，xlim1rxlim 1 1x02r=1， rx=1， x1rx

12、11第 4页共 6页1lim103 r 1， 0 r 1， xr x.x11lim (11)xxlim 1r xlimrxr011x1rx11lim (11)01rxrxxlimx2333xx32.解：分子分母同除x.x213lim3limx2101333310xx3x13x3.3.写出下列函数在x= 2 的左极限、右极限，其中哪些函数在x= 2 处极限不存在？x32x22x 3 x(2)x23 (x2)(1)f(x)=x 2 ; (2)g(x)=4x3+3; (3)h(x)=x 1x(2); (4)v(x)= x3(x2)分析：要求一个函数在一点处的左右极限，可画图.x32x2解： (1)f

13、(x)= x2=x2(x 2)limlimlimlimlimx2f(x)= x 2x2=4. x 2f(x)= x 2x2=4. x2f(x)=4.limg(x)=lim(4x3+3)=4 ( 2)3+3= 29.(2) x2x2limlimx2g(x)= x 2(4x3+3)=4 ( 2)3+3= 29.lim x 2 g(x)=29.(3) xlimlim2h(x)= x2(x+1)=2+1= 1.limlimx2h(x)= x2(2x+3)=2( 2)+3= 1.limh(x)= 1. x2limlim(4) x2v(x)= x2x3=( 2)3= 8.limlimx2v(x)= x2(x2 3)=(2)2 3=1.第 5页共 6页lim x 2 v(x)不存在 .极限存在左、右极限存在且相等.cosxx04.设 f(x)=a xx0 试确定 a 的值，使 f(x)成为区间 (， + )中的连续函数 .解： f(x)在 (， 0和 (0， + )上连续，只要使f(x)在 x=0 处也连续 .1 f(x)在 x=0 处有定义 .f(0)=alimlimlimlim2 x 0 f(x)= x0 cosx