高一数学教案第一章集合第三课时子集、全集、补集(一)

1、第三课时子集、全集、补集 ( 一)教学目标 ：使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点 .教学重点 ：子集的概念，真子集的概念.教学难点 ：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.教学过程 ： .复习回顾1.集合的表示方法列举法、描述法2.集合的分类有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少. .讲授新课师同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.幻灯片 (a)

2、：我们共同观察下面几组集合(1)a 1 ， 2，3 ，b 1 ， 2， 3， 4， 5(2)a x x 3 ， b x3x 6 0(3)a 正方形 ， b 四边形 (4)a， b 0(5)a 直角三角形 ， b 三角形 (6)a a， b ， b a，b， c， d，e生通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合 a 的元素 1， 2， 3 同时是集合b 的元素 .(2)集合 a 中所有大于3 的元素，也是集合b 的元素 .(3)集合 a 中所有正方形都是集合b 的元素 .(4)a 中没有元素，而b 中含有一个元素0，自然 a 中“元素”也是b 中元素 .(5)所有直角三角形都是三角形，即a

3、中元素都是b 中元素 .(6)集合 a 中元素 a、 b 都是集合b 中的元素 .师由上述特殊性可得其一般性，即集合a 都是集合 b 的一部分 .从而有下述结论.幻灯片 (b) ：1.子集定义：一般地，对于两个集合素，我们就说集合 a 包含于集合也说集合 a 是集合 b 的子集 .a 与 b，如果集合a 中的任何一个元素都是集合b 的元b，或集合 b 包含集合 a.记作 ab（或 ba），这时我们第1页共8页师请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.师当集合 a 不包含于集合b，或集合 b 不包含集合a 时，则记作 ab（或 ba）.如： a 2 ， 4 ， b3 ，

4、5， 7 ，则 ab.师依规定，空集是任何集合子集.请填空：_a(a 为任何集合 ).生a师由a 正三角形 ， b 等腰三角形 ，c 三角形 ，则从中可以看出什么规律？生由题可知应有ab，bc.这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形 .故 ac.师从上可以看到，包含关系具有“传递性”.(1)任何一个集合是它本身的子集师如 a 9 ， 11， 13 ， b 20 ， 30， 40 ，那么有aa，bb.师进一步指出：如果 ab，并且 a b，则集合a 是集合 b 的真子集 .这应理解为：若ab，且存在 b b，但 ba，称 a 是 b 的真子集 .a

5、是 b 的真子集，记作 a b(或 b a)真子集关系也具有传递性若 a b， b c，则 a c.那么 _是任何非空集合的真子集.生应填2.例题解析例 1写出 a、 b 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义： a，b 的所有子集是、 a 、 b 、 a，b ，其中真子集有、 a 、 b.注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n 1 个 .例 2解不等式x 3 2，并把结果用集合表示.解：由不等式x 3 2 知 x 5所以原不等式解集是 x x 5例 3（ 1）说出 0，0和的区别；（ 2）的含义 .课堂练习

6、1已知 a x x 2 或 x3 ，b x 4x m 0 ，当 ab 时，求实数m 的取值范围 .分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.解：将 a 及 b 两集合在数轴上表示出来第2页共8页要使 ab，则 b 中的元素必须都是a 中元素即 b 中元素必须都位于阴影部分内那么由 x 2 或 x 3 及 xmm4知 4故实数 m 取值范围是 m 8 2填空：a a，a a， a， a，b2 1, 2， 2 即 m 8 a，0， 0，1 1, 2， .课时小结1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包

7、含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明. .课后作业（一）课本 p10 习题 1.2 1， 2补充：1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若 b a，那么凡不属于集合a 的元素，则必不属于 b（）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5 个命题，只有(4) 是正确的，其余全错.对于 (1)、 (2) 来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于 (3) 来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于 (4) 来讲，当xb 时必有 x a，则 xa 时也必有xb.2.集

8、合 a x 1 x 3，xz ，写出 a 的真子集 .分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n 个元素的子集有 2n，真子集有2n 1 个 .则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因 1x 3， x z ，故 x 0， 1， 2即 a x 1 x 3， x z 0 ， 1， 2真子集：、 1 、 2 、 0、 0 ， 1 、 0 ， 2 、 1 ， 2 ，共 7 个3.(1)下列命题正确的是（）a. 无限集的真子集是有限集b. 任何一个集合必定有两个子集c.自然数集是整数集的真子集d.1 是质数集的真子集(2)以下五个式子中， 错误的个数为（）1 0 ，1， 2 1

9、 ， 3 3， 1 0 ， 1， 21 ， 0， 2 0 ， 1， 2 0a.5b.2c.3d.4(3)m x3 x 4 ， a，则下列关系正确的是（）第3页共8页a. amb. amc. a md. am解： (1) 该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集， 如 1 不是 x x 2k，k z 的子集， 排除 a. 由于 只有一个子集，即它本身，排除 b.由于 1 不是质数，排除 d.故选 c.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.应是 10 ， 1， 2 ，应是0 ， 1，2 ，应是0故错误的有，选c.(3)m x3 x 4

10、， a因 3 a 4，故 a 是 m 的一个元素 . a 是 x 3 x 4 的子集，那么 am.选 d.4.判断如下 a 与 b 之间有怎样的包含或相等关系：(1)a x x 2k 1， kz ， b x x 2m 1，m z(2)a x x 2m，m z ， b x x 4n， n z解： (1)因 a x x 2k 1， k z ，b x x 2m 1，m z ，故 a、b 都是由奇数构成的，即 a b.(2)因 a x x 2m，m z ， b x x 4n， n z ，又 x 4n 2 2n在 x 2m 中， m 可以取奇数，也可以取偶数；而在x 4n 中， 2n 只能是偶数 .故集

11、合 a、 b 的元素都是偶数 .但 b 中元素是由 a 中部分元素构成，则有 b a.评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求 .5.已知集合 p x x2 x 6 0 ， q x ax 10 满足 qp，求 a 所取的一切值 .解：因 p x x2 x6 0 2 ， 3当 a 0 时， q= x ax1 0 ， q p 成立 .1又当 a 0 时， q x ax1 0 a ，要 q p 成立，则有 1111a 2 或 a 3，a 2 或 a 3 .综上所述， a 0 或 a 112或 a3评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉 a 0， ax1 0 无解，即

12、q 为空集情况 .而当 q 时，满足 q p.6.已知集合 a x r x23x 4 0 ，b xr （ x 1）（ x2 3x4 0 ，要使 ap b，求满足条件的集合 p.解：由题 a xr x23x 4 0 b xr（ x 1）（ x23x 4） 0 1， 1， 4由 a p b 知集合 p 非空，且其元素全属于b，即有满足条件的集合p 为：1 或 1 或 4 或 1，1 或 1， 4 或 1 ， 4 或 1， 1， 4评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合p 的元素 .第4页共8页而做到这点，必须化简 a、b，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件 .7.已知

13、ab， ac， b 0 ， 1， 2，3， 4 ， c 0 ，2， 4， 8 ，则满足上述条件的集合 a 共有多少个？解：因 ab， ac，b 0 ， 1， 2，3， 4 ， c 0 ， 2， 4， 8 ，由此，满足ab，有， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，4 ， 0 ， 1 ， 0 ， 2 ， 2 ， 3 ， 2 ， 4 ， 0 ， 3 ， 0 ， 4 ，1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 1 ， 4 ， 3 ， 4 ， 0 ， 2， 4 ， 0 ， 1， 2 ， 0 ， 1， 3 ， 0 ，1， 4 ， 1 ，2，3 ，1 ，2，4 ，2 ，3，4 ，0 ，3，4 ，0 ， 1，2，3 ，1

14、，2，3， 4 ，0 ，1， 3，4 ， 0 ， 2， 3 ， 1 ，3， 4 ，0 ， 1， 2， 4 ， 0 ， 2， 3，4 ， 0 ， 1， 2， 3， 4 ，共 25 32 个 .又满足 ac 的集合 a 有， 0 ，24 ，8 ， 0 ， 2 ， 0 ， 4 ， 0 ， 82 ， 4 ， 2 ，8 ， 4 ， 8 ，0 ， 2， 4 ， 0 ， 2， 8 ，0 ， 4，8 ，2 ， 4， 8 ，0 ， 2，4， 8 ，共 24 8 2 16 个 .其中同时满足ab， ac 的有 8 个， 0 ， 2 ， 4 ， 0 ， 2 ， 0 ， 4 ， 2 ， 4 ， 0 ， 2， 4 ，实

15、际上到此就可看出，上述解法太繁 .由此得到解题途径 .有如下思路：题目只要a 的个数，而未让说明a 的具体元素，故可将问题等价转化为b、 c 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、 2、 4，组成集合的子集有23 8 (个 )8.设 a 0 ， 1 ， b x xa ，则 a 与 b 应具有何种关系？解：因 a 0 ，1 ， b xxa故 x 为 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ，即 0 ， 1 是 b 中一元素 .故 a b.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9.集合 a x 2 x 5 ， b x m 1 x 2m1 ，(1)若 ba，求实数m 的取值范围 .

16、(2)当 x z 时，求 a 的非空真子集个数.(3)当 xr 时，没有元素 x 使 x a 与 x b 同时成立，求实数m 的取值范围 .解： (1)当 m 1 2m 1 即 m 2 时， b满足 ba.当 m 1 2m 1 即 m 2 时，要使 b a 成立，需 m1 2 ，可得 2 m32m 1 5综上 m3 时有 b a(2)当 x z 时， a 2， 1，0， 1， 2， 3， 4，5所以， a 的非空真子集个数为：28 2 254(3) x r，且 a x 2 x 5 ，b xm 1 x 2m 1 ，又没有元素 x 使 x a与 x b 同时成立 .则若 b即 m 1 2m 1，得

17、 m 2 时满足条件 .若 b，则要满足条件有：m 1 2m 1m 1 2m 1m 1 5或 2m 1 2解之 m 4综上有 m 2 或 m 4第5页共8页评述：此问题解决： （ 1）不应忽略；（ 2）找 a 中的元素；（ 3）分类讨论思想的运用.（二） 1.预习内容：课本p92.预习提纲：(1)求一个集合补集应具备的条件.(2)能正确表示一个集合的补集.第6页共8页子集、全集、补集 ( 一)1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若 b a，那么凡不属于集合a 的元素，则必不属于 b（）2.集合 a x 1 x3，

18、x z ，写出 a 的真子集 .3.(1)下列命题正确的是（）a. 无限集的真子集是有限集b.任何一个集合必定有两个子集c. 自然数集是整数集的真子集d.1 是质数集的真子集(2) 以下五个式子中， 错误的个数为（）1 0 ，1， 2 1 ， 3 3， 1 0 ， 1， 21 ， 0， 20 ， 1， 2 0a.5b.2c.3d.4(3) m x 3 x 4 ，a，则下列关系正确的是（）a. amb. amc. a md. am4.判断如下a 与 b 之间有怎样的包含或相等关系：(1) a x x 2k 1， k z ， b x x 2m 1， m z(2) a x x 2m， m z ， b x x 4n， n z5.已知集合p x x2 x6 0 ， q x ax1 0 满足 qp，求 a 所取的一切值.6.已知集合 a x r x2