高一数学教案：410正切函数的图象和性质(2)

1、课题： 4 10 正切函数的图象和性质（2）教学目的：1 掌握正切函数的性质；2 掌握性质的简单应用；3 会解决一些实际问题教学重点：正切函数的性质的应用教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是at正切函数 ytan x x rxk k z，且2的图象，称“正切曲线”余切函数y cotx， x (k， k + )， k z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1定义域：2值域： rx | xk, kz2，x k , kk zy0x k, k k zy 0

2、3当2时，当2时4周期性： t5奇偶性：tanx6单调性：在开区间tan x 奇函数k,kkz22内，函数单调递增余切函数y cotx， x (k， k + )， k z 的性质：1定义域： xr且xk, kz2值域： r，xk , k2k zy0xk, k k zy 03当时，当2时4周期： t5奇偶性：奇函数6单调性：在区间k, k1上函数单调递减二、讲解范例：例 1 用图象解不等式 tan x3k3, kkz解：利用图象知，所求解为2亦可利用单位圆求解ytan 3x例 2 求函数3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3xkxk53318 ，解：由2 得x | x r,且 xk

3、5 , k z所求定义域为318值域为 r，周期t3 ，是非奇非偶函数k, k5kz在区间318318上是增函数ytan x, x0,2x,3tan 2例 3 作出函数1x且22 的简图tan xtan xsin x, x 0,3 ,222ysecx, 31 tan2 xsin x, x解：22例 4 求下列函数的定义域cot xy2、 ycot x csc x1、tan x 1cot x0kxk2tan x1 0xkk zxk4xx kk2xk解： 1、2k, kk, k, kz442cot x0cot x0csc x0或 csc x0第一象限或第四象限包括 y轴xkxk2x(2k,2k 2

4、k,2k )k z22例 5 已知函数 y=sin2x+ 3 cos2x-2(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象(2)求这个函数的周期和单调区间(3)求函数图象的对称轴方程(4)说明图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的解： y=sin2x+3 cos2x-2=2sin(2x+ 3 )-2(1)列表x7561231262x032223y 2 sin( 2x) 2-20-2-4-23其图象如图示t2(2) 2 =由- 2 +2k 2x+ 3 2 +2k，知函数的单调增区间为5 - 12 +k, 12 +k ,k z3由 2 +2k 2x+ 3 2 +2k，知函数的单调减区间为

5、12 +k , 12 +k ,kzk(3)由 2x+ 3 = 2 +k得 x= 12 + 2 k函数图象的对称轴方程为x= 12 + 2 ,(k z)(4)把函数 y1=sinx 的图象上所有点向左平移3个单位，得到函数 y2=sin(x+3 )的图象；1再把 y2 图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍 (纵坐标不变 )，得到 y3=sin(2x+ 3 )的图象；再把 y3 图象上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍 (横坐标不变 )，得到 y4=2sin (2x+ 3 )的图象；最后把 y4 图象上所有点向下平移2 个单位，得到函数y=2sin (2x+ 3 )-2 的图象评注： (1)求函数的周期

6、、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式(2)对于函数 y=asin( x+ )的对称轴，实际上就是使函数y 取得最大值或最小值时的x 值(3)第 (4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！例 6 如图，某地一天从6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数y=asin( x+ )+b(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式解 ： (1) 由 图 可 知 ， 这 段 时 间 的 最 大 温 差 是30-10=20(2)图中从 )6 时到14 时的图象是函数y=asin( x+ )+b的半个周期的图象12 2 =14-6 = 8301

7、03010a10, b20又由图可得22y=10sin( 8 x+ )+203将 x=6， y=10 代入上式得： sin( 4 +)=-1333 424故所求的解析式为3y=10sin( 8 x+ 4 )+20，x 6,14评注：本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定 a，和 b，它们的计算方法为：最高点纵坐标最低点纵坐标a2最高点纵坐标最低点纵坐标b22与周期有关， 可通过 t=求得，而关键一步在于如何确定？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于的简单三角方程，但到底取何值值得考虑若得

8、方15程 sin = 2 ，那么是取6 ，还是取 6 呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还5是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，就取6 ，否则就取 6 ，而不能同时取两个值例 7 a 为何值时，方程 sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a 有实数解分析：所给方程的特征较明显，即是关于sinx 与 cosx 的奇式方程， 通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解解法一：原方程可化为：sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x)即 (1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0(1)当 a 1 时， co

9、sx 0,方程两边同除以cos2x 得 (1-a)tan 2x+2tanx -(2+a)=0 tanx r 0 即 4+4(1-a)(2+a) 0即 a2+a-3 0 又 a 1,113a2113,1 (1,2(2)当 a=1 时，原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0,此方程有实根113113综合 (1)、(2)可得 a2,2时，原方程有实数根解法二： (用函数观点 )当实数 a 取函数 y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x 值域中的数值时，原方程有实根因此，求 a 的范围，实质上就是求上述函数的值域 y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3

10、cos2x331=1+sin2x- 2 (1+cos2x)=sin2x- 2 cos2x- 2cos213131sin313= 2 sin(2x- )-2其中131,131y22131 ,131即 a22时，原方程有实数根评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点通过函数思想来解方程函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性例 8 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示 )，abcd是一块边长为50 m 的正方形地皮，扇形cef是运动场的一部分， 其半径为 40 m，矩形 aghm 就是拟建的健身室，其中 g、 m 分别在 ab 和

11、 ad 上， h 在上 设矩形 aghm 的面ef积为 s， hcf=，请将 s 表示为的函数，并指出当点h 在的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ef分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解解：延长 gh 交 cd 于 n，则 nh=40 sin ,cn=40 cos hm=nd=50 -40 cos ,am=50 -40 sin 故 s=(50-40 cos)(50-40 sin )=100 25-20(sin+cos )+16sin cos (0 2 )令 t=sin +cos = 2 sin( + 4 )t 21则 sin cos = 2且 t 1,2 5 s=1

12、00 25-20t+8(t2 -1)=800(t - 4 )2+450又 t 1,2 当 t=1 时， smax=5002此时2 sin( + 4 )=1sin ( + 4 )= 233 4 + 4 4 + 4 = 4 或 4 即 =0 或 = 2答：当点 h 在ef 的端点 e 或 f 处时，该健身室的面积最大，最大值是 500 m2 三、课堂练习：1利用单位圆中的三角函数线：（1）证明当0 x 2 时 tanx x，（ 2）解方程 tanx x，（ 2x 2 ）（1）证明：如图xap，角 x 的正切线为at即 tanx a，由扇形aop a11oa apoa at得 ap at即 22x

13、tanx （0 x 2 ）又由于 y x 与 y tanx 为奇函数，当0 x 2 时， xtanx（2）解：由（ 1）结论，得当2 x 0 时 x tanx又 x 0 是方程 x tanx 的解因此方程 x tanx 在（ 2 ， 2 ）内有惟一解即x 0f (x1 )f ( x2 )x1x2)2已知 f(x)=tanx，对于 x1， x2（ 0 ， 2 ）且 x1x2 试证f (22证明： 0 x1 20 x2 2 2 x1 x2 2 且 x1x2 cos（x1 x2） 1即 1 cos（ x1x2） 2cosx1cosx22cos2 x1x22 cos x1 cosx2，2cos x1x

14、212sin x1x2cos x1x2sin x1x22222cosx1 cos x2cosx1 x22 cos x1 cos x2x1x22cos2sin( x1x2 )tan x1x2即 tan x1tan x2tan x1x22 cos x1 cos x2222因此 f ( x1 )f ( x2 )f ( x1x2 )22说明：通过本题的证明可知函数ytanx 的图象，当x（ 0， 2 ）时是下凸的，同样可以证明函数y tanx 的图象当x（ 2 ， 0）时是上凸的3求函数ytan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间，内的图象解：（ 1）要使函数y tan2x 有意义，必须且只须2

15、x 2 ， zk即 x 4 2 ， zk函数 y tan2x 的定义域为 x r， x 42 ， zk（2）设 2x，由x 42 ， z知2 ， z ytan 的值域为（，）即 y tan2x 的值域为（，）（ 3）由 tan2 （ x 2 ） tan（ 2x） tan2xytan2x的周期为2（4）函数四、小结：ytan2x 在区间，的图象如图讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y tan( x)， xk2 (k z)的周期 t ；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的五、课后作业：log 1tan x1 函数 y2的定义域是 ()a x0 x 4 ）b x2k x

16、2k 4 ， k zc x k x k 4 ，k zd x k 2 x k 4 ， kz1解析：由log 2 tanx 0，得 0 tanx 1根据 y tanx 在 x ( 2 ， 2 )上的图象可知0 x 4结合周期性，可知原函数的定义域为： x k x k 4 ， k z答案： c2 求函数 ycot xsin x 的定义域cos x解： cotxsinx sin x sinxcosxcosx0函数的定义域由sin x0 确定解之得 2k - 2 x 2k 2 ，且 x k， (k z)从而原函数的定义域为： 2k 2 ， 2k ) (2k， 2k 2 (k z)3 如果、 ( 2 ，

17、)且 tan cot，那么必有 ()a b 33c 2d 23解： tan cot tan tan( 2 )3、 ( 2 ， )，2 ( 2 ， )又 y tanx 在( 2 ， )上是增函数33 2 即 2答案： c4 函数 y lg(tanx) 的增函数区间是()a (k 2 ， k 2 )(k z)b (k， k 2 )(k z)c(2k 2 ，2k 2 )(k z)d (k， k )(k z)解：函数 ylg(tanx)为复合函数， 要求其增函数区间则要满足tanx 0，且 y tanx 是增函数的区间解之得 k x k 2(k z)原函数的增函数区间为：(k， k 2 )(kz)答案：b5 试讨论函数y logatanx 的单调性解： y logatanx 可视为 y logau 与u tanx 复合而成的，复合的条件为tanx 0，即 x (k， k 2 )(k z)当 a 1 时， y logau 在 u (0， )