吉林大学_陈殿友线性代数全集.ppt

1、线性代数,（第三版） 同济大学数学教研室 编,课程的性质,线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。,内容与任务,线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。 既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。,用途与特点,线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁

2、，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。,第一章行列式,本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉 默（Cramer）法则。,1 阶行列式的定义,1、二元线性方程组,一、n阶行列式的引出,用消元法求解，得：,当 时， 求得方程组有唯一解：,引入二阶行列式,方程组的解可以写成：,二阶行列式的计算,例如,例 解二元线性方程组,求解方程,2. 三元线性方程组,用消元法可求得，当,时，,三元线性方程组有唯一解：,其中：,三阶行列式的定义,例如 三阶行列式的计算,-357

3、-249-168,例 解 三元线性方程组,3. n元线性方程组,构造：,提出三个问题,（1）D=？（怎么算）？,（2）当D0时，方程组是否有唯一解？,（3）若D0 时，方程组有唯一解，解的 形式是否是,二、全排列及其逆序数,1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即： 123，231，312，132，213，321,一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法； 于是：

4、,2. 逆序数,对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。,3. 逆序数的计算方法,例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计

5、算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为 t=1+2+0+1+0=4 可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。,定义1 设有n2个数，排成n行n列的数表,三、n阶行列式的定义,作出表中位于不同行不同列的n个数的 乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如 的项，其中 为自然数1，2，n， 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。,这样的排列共有n!个，所有这些项的代数 和称为n阶行列式。记为:,也可记为:,行列式的其他定义,另一种定义形式为:,同理，也可以定义为:,四、几种特殊的行列式,（1） 对角行列式,（2） 下（上）

6、三角行列式,（3）,其中 ，,第二讲,2.行列式的性质 有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。 当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。,一. 转置行列式,把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即,称DT为D的转置行列式,二行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 设,由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。,证设行列式,于是

7、,推论 如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零. 证 把这两行互换，有 D=D，故 D=0.,证 设 D=,性质3 行列式的某一行（列）中所有的 元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。,故,推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面. 例如,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 例如,性质5 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和，则D 等于下列两个行列式之 和：即,例如 计算,例如,性质6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一个数然后加另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变.,三、用行列式的性质计算行列式,例1 计算,例2.

8、计算,解：,例3 计算,解： 从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。,同理，可得：,例4 计算,解：把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。,3 行列式按行（列）展开,余子式和代数余子式 在n阶行列式中，把元素 所在第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式.记作 .即 的余子式记作 . 的代数余子式,第三讲,中元素 的余子式和代数余子式分别为,二.行列式按行（列）展开定理,引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有 元素除 外，其余元素均为零，那么行列式D等 于 与其代数余子式的乘积，即,证：设,定理1 行列式等于

9、它的任一 行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即,证：,类似地.若按列证明，可得,例1.计算,例2 计算,解: 按第一行展开,以此作递推公式，即可得,例3 证明范蒙得（Vandermonde）行列式,其中记号“”表示全体同类因子的乘积.,所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n1阶Vandermonde行列式，即,证: 用数学归纳法.因为,我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.,例4.计算,三、行列式展开定理的推论,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即,或,证: 设,把D按第j行展开,有,在上式两端用 代替,得,

10、同理可证,显然,等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零,即.,综合定理1和推论有,其中,例5已知行列式 求 , 其中 是D 的第4行元素的代数余子式. 解：,第一章 第四节,4.克拉默法则 一.非齐次线性方程组的克拉默法则,(1),设非齐次线性方程组,(3),则线性方程组(1)有唯一解,若(1)的系数行列式,(2),即证明：,等式成立,证明： 先证 是（1）的解，,要证 是（1）的解，只须证 明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：,做n+1阶行列式,显然 . 把 按第一行展开.需要求出第一行 每个元素的代数余子式.第一行元素 的代数余子式为:,所以,即,再证唯一性.假设 也是(1)的解

11、.在(2)两端同时乘以,由于 , 所以,故线性方程组(1)有唯一解(3).,例1.解方程组,解:,定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0, 则(1)有唯一的解.,定理 .如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的 系数行列式必为0.,于是得原方程组的解为,二.齐次线性方程组的克拉默法则,设齐次线性方程组,(4),若(4)的系数行列式,(5),则(4)没有非零解.,. 定理 .如果齐次线性方程组(4) 有非零解,则它的系数行列式必为0。,定理3.如果齐次线性方程组(4) 的系数行列式D不等于0,则齐次线性 方程组(4)没有非零解.,例2. 问 在什么条件下,方程组,有非零解？,解：由

12、定理 知，若方程组 有非零解，则其系数行列式必为零。,所以，当 或 时，上面方程组有非零解。,例3 设非齐次线性方程组,问 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。,解：方程组的系数行列式为,（ +2）,显然当 2， 1时，方程组有唯一解。,D=,行列式主要知识点网络图,概念,排列,行列式,逆序，奇排列，偶排列,一般项是不同行不同列元素乘积的代数和., 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 某行有公因子可以提到行列式的外面。 若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。,行列式知识点,性质,展开,计算,行展开,列展

13、开,定义法 递推法 加边法 数学归纳法 公式法 拆项法 乘积法 析因子法,齐次线性方程组有非零解的充要条件,克拉默法则,应用,第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,一、矩阵概念,定义1.,为表示它是一个整体 , 在这数 表的两边用大圆括 弧把它范围起来， 并用大写黑体字母表示:,例1.某厂向三个商店发送四种 产品，其发送的数量和单价及单件 的重量都可用矩阵来刻划.,若用 表示为工厂向第 i 店发 送第 j 种产品数量，则矩阵,表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.,表示了这四种产品的单价及单件重量.,4,2,1,3,例2. 四个城市间的单向 航线如下图所示.,若令 从i市到j市有一条单向航线 从

14、i 市到 j 市没有单向航线 则图中的航线用矩阵表示为,例3.,二、矩阵的表示方法,三.几种特殊的矩阵,1.方阵,2.上三角矩阵,3.下三角矩阵,4.对角矩阵,5.单位矩阵,6.行矩阵,7.列矩阵,8.零矩阵,9.负矩阵,10.同型矩阵,两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵.,11.对称矩阵,12.反对称矩阵,2.矩阵的运算,一、矩阵的加法,1、定义,定义2 设有两个mn矩阵 A B 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为,A + B =,矩阵的 减法：A B = A + (B ),2、运算律,矩阵的加法满足下列运算规律设 A、B、C 都是 mn 矩阵:,1） A +

15、 B = B + A,2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）,3） A +（A）= A A = 0,二、数与矩阵相乘,1、定义,定义3 数 与矩阵的乘积,记作 A 或A,规定为,A = A =,2、运算律,数乘矩阵满足下列运算规律 设 A、B 为 mn 矩阵，、为数：,2） （ ) A = A + A；,1） （）A = ( A ),3） ( A + B ) = A + B,这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为 矩阵的线性运算.,三、矩阵与矩阵相乘,1、定义,定义4 设 A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩阵， 那末规定矩阵 A与矩 B 的乘积是一个mn

16、矩阵 C = ( c ij )mn 。其中,即 A B = C.,注意：,例1.求矩阵,A =,B =,与,的乘积AB,C AB,解：,例2. 设矩阵,A =,B =,求AB与BA。,AB =,解：,BA=,2. 运算律,1) 矩阵的乘法一般不 满足交换律,2) （AB）C = A（BC）,3) (AB) = (A) B = A( B), ( 其中为数 );,4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA,3. 设E为单位矩阵,EA = AE = A,或简写成,4、方阵的幂运算,设 A为 n 阶方阵. k , l 为正整数,如,AB,其中 是向第

17、i 店所发产品的总值 , 是向第 i 店所发产品的总重量。C 表示为向三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵。,则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数构成的矩阵。,又如,1,2,4,3,四、矩阵的转置,1、定义,定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵, 叫做 A 的转置矩阵,记作 AT。,例如,2.运算律,这里仅证明4）,设 A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。,AB = C = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。,显然，要证明（ AB )T = BTAT, 只须证明 cji = dij 即可。,因为

18、,例3.已知,求 ( AB )T。,解法1：因为,AB =,解法2：,有了转置矩阵的定义 后，显然有,A为对称矩阵， A为反对称矩阵，,例4 试证任意n阶方阵都可分解为 一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。,证 由于,A = (A + A + ATAT ),= (A + AT + AAT ),故A等于对称矩阵 与反对称矩阵 之和。,例5：设列矩阵,X =,满足XTX = 1，E为 n 阶的单位矩阵，H = E 2XXT, 证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E 。,证明:,所以H是对称矩阵.,五、方阵的 行列式,1、定义,定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵

19、A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。,2、运算律,我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式,D =,显然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有,D=,其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj , 故 C = AB。,再对 D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有,从而有,D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1

20、)n| C | = | C | = | AB |。,于是 | AB | = | A | | B |,例6：设A , B 均为 n 阶方阵,且,证,例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。,证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T,= BTAT + ATBT,= BAAB,= （ AB + BA ）,所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。,例 8 设,令 A = T, 求 An 及| An|。,解,An = ( T )n = TTT T,= 3n-1A,| An | = | 3n-1A | = (3n-1

21、)n| A |,= 0,六、共轭矩阵,1、定义,定义7 设A= 为复矩阵， 表示 的共轭复数，记,则 称为A的共轭矩阵。,2.运算律,设 A 、B 为复矩阵， 为复数.,七、 可换矩阵及方阵多项式,1、可换矩阵,设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。,例 9 设,若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。,解 由于 AB = BA ，即,故 a = 8 , b = 6 。,例10 设,求与 A 可交换的所有矩阵。,解 设,于是,从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2

22、,即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，与可交换的任一矩阵是,其中 a ，b，c 为任意实数。,2、方阵多项式,设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0 规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0 称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。,例11 设有多项式 f () = 2 3 + 2和矩阵,求矩阵多项式 f (A) 。,解 因为,则,f (A) = A2 3A + 2E,练习：,1.计算下列矩阵的乘积.,2.,第七讲,3.逆矩阵,一.逆矩阵,定义8

23、. 设 A 为 n 阶方阵，如果有一个 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的 逆记之为A-1.,二. 逆矩阵是唯一的.,证明：设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C,所以A的逆矩阵是唯一的.,三. 逆矩阵的有关定理,定理1. 方阵 A 可逆的充分必要条件是 |A| 0 ,且,其中,称为 A 的伴随矩阵. A*中元素是A 的所有元素的代数余子式.,证明：,必要性: 因为A可逆， 则有 ,使,充分性: 由于,同理,所以,因为,所以,由定义，知,推论：若

24、AB = E (或 BA = E），,证明：,故,因而,存在，于是,运算律,1）若A可逆，则 亦可逆，且,2）若A可逆，数 ，则A可逆，且,3）若 A,B 为同阶的可逆矩阵，则 AB 也可逆，且,证明：,由推论，即有,( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1,4) 若A可逆，则 也可逆，,证明：,所以,注1：当 |A| 0 时，k为正 整数，为整数，有,A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵，,A为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵.,4 ) ( A ) = A,四. 逆矩阵的应用,例1. 解矩阵方程,解：设,则上式变成:,AXB = C,例2. 设,求（ E + B ）1,解: 由,

25、即 ( E + A )( E + B ) = 2E,例3. 设 A，B 均为 n 阶方矩 阵， 若 EAB 可逆，则 EBA 也可 逆，并求:,证明：AABA = AABA ( EAB ) A= A( EBA ) 所以,又因为,E = E BA + BA,所以 EBA 可逆,且,= E B ( E AB )-1A ( E BA ),五、几个常用的公式,1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1| = |A|-1 |A| = n|A| 5) (A)-1 = -1A-1,例4 若 |A| 0, 试证（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (

26、A-1)* (3) (A*)T = (AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。,证 （1） |A*| =,(2) (A*)-1=,(3) (A*)T =,|A|A-1| =,|A|n|A-1| =,|A|n-1;,(|A|A-1)-1 =,|A-1|(A-1)-1 =,(A-1)*;,( |A|A-1)T =,|AT|(A-1)T =,|AT|(AT)-1 =,(AT )*,(A*)* =,|A*|(A*)-1,= |A|n-1(|A|A-1)-1,= |A|n-2A,(5) (kA)* = |kA|(kA)-1,= kn|A|k-1A-1,= k

27、n-1|A|A-1,= kn-1A*,例5 设矩阵 A、B 满足,A*BA = 2BA 8E, 其中,求B。,解 由于|A|0，所以A可逆，在,A*BA = 2BA 8E,的两边分别左乘A，右乘A-1得,|A|B = 2AB 8E,即 2AB + 2B 8E,从而有,AB + B 4E,故,B = 4 ( A + E )-1,作业:,1.解矩阵方程,2.设方阵A满足,证明 A 及 A + 2E 都可逆,并求 A-1 及 ( A +2E )-1,3.设,AB = A + 2B ,求 B.,4.分块矩阵,第 八 讲,一、分块矩阵的定义,把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖线分成 若干小块 , 每

28、一小块都叫做矩阵的子块 ,以子块为元素 的矩阵称为分块矩阵.,例如：将34矩阵,分块形式如下：,二、分块矩阵的运算 1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应 子块相加. 设 A 和 B 均为 mn矩阵,分法下:,其运算律与矩阵的加法相同.,2.分块矩阵的数乘,设分块矩阵,为数，那末,其运算律与数乘矩阵相同.,3.分块矩阵的乘法.,设A为 ml 矩阵，B为 ln矩阵，分块成,其中,例1.设,求AB.,解：把A,B分块成,所以,AB,其中,于是,4.分块矩阵的转置,设分块矩阵,则,5.分块对角矩阵（准对角矩阵）.,设,其中,显然,若,则, 所以,例2. 设,解：,所以,例3 设 A 的伴随矩

29、阵,且ABA-1 = BA-1 + 3E, 求矩阵B。,解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2。在 ABA-1 = BA-1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得,2B = A*B + 6E,即 ( 2E A* )B = 6E,B = 6 (2EA* )-1,由于 2EA* ,(2EA*)-1 =,所以,故,因此,6.分块矩阵的应用,设A为mn矩阵，将A按行分块，得,其中,是A的第 i 行.,将A按列分块,得,A =（ 1， 2， n ）.,其中 j ( j = 1, 2, ,n ).,是 A 的第 j 列.,对于线性方程组,A =,X =,b

30、=,B =,记,其中 A 称为系数矩阵, x 称为 未知向量 , b 称为常数项向量 , B 称为增广矩阵, 记为:,利用矩阵的乘法,此方程可记为:,Ax = b,或 B = ( A,b ) = ( 1, 2, , n , b ),按行分块矩阵, Ax = b又可写成:,即 i Tx = bi ( i = 1, 2, , m ) .,按列分块矩阵, Ax = b又可写成,即 x11+ x2 2 + + xn n = b,概念,特殊矩阵,mn个数aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n),构成的数表,单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵,对角矩阵:主对角元素是 其余元

31、素都是零的n阶方阵,对称矩阵:,距阵主要知识网络图,AT = A,反对称矩阵: AT = A,矩阵,运算,A+B = ( aij + bij),kA= ( kaij ),AB = C 其中,A与B同型,的第i行是A的第i列.,|A|= detA,A必须是方阵.,伴随矩阵,n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵,AT: AT,逆矩阵,概念,求法,证法,如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.,用定义,用伴随矩阵,分块对角矩阵,|A| 0 , A可逆 .,|A| = 0 , A不可逆 .,AB = E , A与B互逆,反证法,作业 1.利用逆矩阵解线性方程组:,2.设,3.设

32、n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1 矩阵的初等变换,一.引例,求解线性方程组,(1), ,(1),1,2,3,(2),(2),(3),3,2,1,3,1,4,+,2,+,+,3, , ,2,(3),2,1/2,3,+,5,2,4,3,2,(4),(4),3,4,2,3,+,4,（5）, , ,于是得,其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方程组可记为：,x =,x =,即,把上面方法加以数学抽象,B =（A b) =,称为方程组（1）的增广矩阵.,把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵 上，就得到矩阵的三种初等变换.,二.矩阵的初等变换

33、,定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换:,(1) 对调矩阵的两行(列);,(2) 以数k0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;,(3) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到 另一行(列）对应的元素上去;, 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.,显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:,(1) 对换变换 的逆变换就是其本身;,(2) 倍乘变换 的逆变换为 ;,(3) 倍加变换 的逆变换为 ;, 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作AB., 矩阵之间的等价关系具有下列性质：,（1）反身性 AA,（2）对称性 若AB，则BA；,（3）传递性

34、若AB，BC，则AC., 两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价。,三.矩阵初等变换的应用,例1. 解线性方程组,解 对方程组的增广矩阵B施以行初等变换,从而得等价的方程组,取 为自由未知量,并令 , 即得,x,其中c为任意常数。,1) 行阶梯形矩阵：,2) 行最简形矩阵：, 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.,3) 矩阵的标准形,对于任何 mn 矩阵 A , 总可经过初等变换把它化为标准形.,此标准形由 m、n、r 三个数完全确定 , 其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价

35、类中形状最简单的矩阵.,例2 设,求A的标准形。,解:, 任何的可逆矩阵都等价于同阶数 的单位阵.,练习,把下列矩阵化为行最简形矩阵:,2 矩阵的秩,定义2 在mn矩阵A中,任取k行与k列（km， k n），位于这些行和列交叉处的k2个元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式。 mn矩阵A 的k行与k列子式共有 个。,一、矩阵秩的定义,例如,注意：在A中存在1阶和2阶的非零子式，但3阶和4阶子式全部为零。,定义3 设在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子 式 ，且所有r+1阶子式（如果存在的话） 全等于零，那么 称为矩阵 A 的最高阶非零子式. 数 r 称

36、为矩阵 A 的秩，记作 。,注意 显然有,特别的规定,例1 求下列矩阵的秩,解 在A中，容易看出：一个2阶子式 ， A的3阶子式只有一个|A| ，经计算可知 ,因此 （）.,解是一个阶梯形矩阵，其非零行有行，故可知的所有阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的阶行列式,因此（B）,二、矩阵秩的相关定理,定理若，则（）（） 证明先证明：若经过一次初等行变换变为，则（）（） 设（），且的某个 阶子式,当或 ，在 中总能找到与 相,对应的,由于,或,或,因此 ，,从而（）,当,，分三种情况讨论：,中不含有第 i行; 中同时含有第 i行和第 j 行; 中含有第 i行，但不含有第 j 行.

37、 对和 两种情况，显然 中与对应的子 式，故（）；,对于，由,若 ,则因,中不含有第 i行，可知中,有不含第 i行的阶非零子式，从而（）；若,则 ，,故也有（B）.,以上证明了若经过一次初等行变换为， 则（）（），由于亦可经过一次初等行变换变为故也有（）（）因此（）（）。,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。,同理可证：经过有限次初等列变换，变成矩阵，则有（）（）,总之，若经过有限次初等变换变为矩阵，则有（）（）,如在例1中，我们已经计算,的秩为2，将A施行初等变换得,显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。,通过上面定理的证明和上面秩

38、的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。,三、求秩,例设,求矩阵的秩并求的一个最高阶的非零子式.,解 先求的秩。故对作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：,因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。,A的一个最高阶非零子式为：,设A为n阶可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。,若A为n阶不可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) n，称A为 降秩矩阵。,例3 设,求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩。,解,因此，R(A) = 2 , R(B) = 3.,例4 设,若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。,解 因为,AB +

39、B = (A + E)B,将所得的矩阵施以初等变换得,由于R(AB+B) = 2，所以12a 0。,故,a =12。,复习,1、初等变换,2、用初等变换求矩阵的秩,设,求R(A)和R(Ab)。,3 线性方程组的解,一、线性方程组解的存在性-,定理2 n元齐次线性方程组 Amnx = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n.,证明：先证必要条件设方程组x有非零解。（用反证法）假设（）n，则在中应有一个 n 阶非零子式n，从而n所对应的 n个方程只有零解（根据ramer法则）。这与方程组有非零解相矛盾。因此（）n不能成立。故有（）n,再证充分性。设（）rn，则的行阶梯 形矩阵只含有r

40、个非零行，从而知：其有nr个自由未 知量。任取一个自由未知量为 1 ，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解。,定理n元非齐次方程组x有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵(,) 的秩。,证明 必要性。设方程组x有解，要证 R(A) = R(B)。（反证法）设R(A) R(B), 则 B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1，这 与方程组有解矛盾。因此R(A) = R(B)。,充分性。证明方程组有解。设R(A) = R(B) = r (rn) ,把B化为行阶梯形矩阵，则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行。把这 r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量作为

41、非自由的未知量，其余 n r 个作为自由未知量，并令 n r 个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。,注意：1）当 R(A) = R(B) = n 时，方程组没有自由未知量，故只有唯一解。 2）当 R(A) = R(B) = r n时，方程组有 n r 个自由未知量，故有无穷多解。,线性方程组的解题步骤：,1) Ax = 0 只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行 最简形矩阵中非零行的第一个非零元 1为系数的未知数 留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解.,2）Ax = b 只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理 3，判断它是否有解。若有解，则对增广矩阵进一步化成行最简

42、形矩阵。把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素 1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端。再表示成通解。,二、线性方程组的解法,例1 求解齐次线性方程组,解 对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵:,即得到与原方程组的同解方程组,即,x3 ,x4 可以任意取值.,令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它写成 参数形式,其中 k1 , k2 , 为任意实数。,其解亦可表为向量形式,例2 求解非齐次线性方组,解 对增广矩阵B实施行的初等变换,可见，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程组无解。,例3 求解非其次线性方程组,解 对增广矩阵B实施行的初等变换,显然， R(A) =

43、R(B) = 24，所以原方程组有无穷多解，且具有下列同解方程组：,即,故,k1 , k2 为任意常数。,k1 ,k2 为任意常数。,写成向量形式,例4 设有线性方程组,问 取何值时，此方程组（1）有唯一解？（2）无解？ （3）有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解。,解 对增广矩阵B =（A | b）实施行的初等变换:,1）当 0 , 且 3时， (A) = R(B) = 3 , 方程组有唯一解;,2) 当 = 0 时 , R(A) = 1 , R(B) = 2 , 方程组无解； 3)当 =3 时, R(A) = R(B) =2 , 方程组有无穷多解.,当 = -3 时，,得同解方程：,即

44、,4 初等矩阵,一、初等矩阵的概念,定义由单位矩阵经过一次初等变换得到 的矩阵称为初等矩阵。,对调两行（列）,第i行,第行,以数乘以某行（列）,第i行,以数k乘以某行（列）加到另一行（列）上去,第i行,第行,注意：初等方阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍然是初等方阵。,例设,计算：,解：,二、初等方阵的有关定理,定理设是一个mn 矩阵，对 A 实施一次 初 等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩 阵; 对 A 实施一次 初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵。,定理5. 设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 ，使 ,证：因为，故 经过有限次初等变换可变成，也就是说

45、，存在有限个初等矩阵 使,即,推论： mn 矩阵 的充分必要条件是：存在 m 阶可逆矩阵及 n 阶可逆矩阵，使=,三、用初等矩阵求逆矩阵,故,即,所以,当 |A| 0，由,1、利用初等变换求逆,例2. 设,求,解,所以,注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.,事实上：因为,所以,2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.,事实上，对于,若A可逆，则有,对应于：,即,例3. 设 AX = B , 求 X . 其中,解 若,可逆，则,所以,同理亦可求解矩阵方程,若,可逆，则有,即,例4. 设A的伴随矩阵,且有,求 B.,解: 在,两边左乘,右乘 A ，得,即,因为,而,从而有,（*）,故（*）式可改

46、写为,即,所以,第三章 小 结,矩阵的初等变换与线性方程组,矩 阵 的 初 等换,初 等 方 阵,矩 阵 的 秩,线 性 方 程 组,矩 阵 的 初 等 变 换,概 念,1.对换矩阵的i, j两行（列）.,2.用k0乘矩阵的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.,性 质,1.初等变换不改变矩阵的秩.,2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.,用 途,求逆，,求矩阵A的秩、最简型、标准形.,初 等 方 阵,性 质,初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.,对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，

47、相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.,任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.,概 念,对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.,三种初等变换对应三种初等方阵.,矩 阵 的 秩,概 念,k阶子式.,秩：矩阵非零子式的最高阶数.,性 质,零矩阵的秩为零.,R(A)=R(AT),若B可逆，则R(AB)=R(A).,R(A+B) R(A)+R(B),R(AB) minR(A), R(B),R(AB) R(A)+R(B)-n,若AB=0, 则R(A)+R(B) n,线 性 方 程 组,有非零解 R(A)n.,求 解,1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组. 3.写通解.,有解

48、R(A)=R(B).,求 解,1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.,Ax=0 解 的 结 构,Ax = 0 有唯一零解 R(A) = r = n.,Ax = 0 有无穷多个非零解 R(A) = r n.,其通解可表为：,为方程组的基础解系.,其中,Ax=b 解 的 结 构,Ax=b无解 R(A) R(B),Ax=b有解 R(A) =R(B) = r,1）当 r = n 时，方程组有唯一解. 2）当 r n 时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：,其中,为方程组对应的导出组的基础解系.,为方程组的一个特解.,第四章向量组的线性相关性,1n维向量,一、n维向量的概念,

49、定义1 n个有次序的数 所组成 的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。,列向量,行向量,零向量,负向量,二、n维向量的运算,定义2 设n维向量,1),2）,3),其中 k 是数量。,注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。,三、n维向量的运算律,设 ， ， 为n维向量，k、l为实数，0为零向量。,1) + = + ,2) + + = + ( + ),3) + 0 = ,4) + ( ) = 0,5) 1 = ,6) k ( l ) =( k l ) ,7) k ( + ) = k + k,8) ( k + l ) = k

50、 + l,四、n 维向量的实际意义,我们称n维向量的全体所组成的集合,为 n 维向量空间。,n 维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的 状态，需要 6 个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在 空间的位置需 3 个参数，还有 3 个参数是:,1) 机身的水平转角（0 2 ）；,2) 机身的仰角 （ ）；,3) 机翼（以机身为轴）的转角 （ ）。,例1 计算,设 , =,求 1）,2） 3 。,解, +2 ;,3 , +2 ,2 向量组的线性相关性,一、向量组,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。,例如一个mn矩阵A有n个m维列向量,它们组成的向量组 1,2,n称

51、为矩阵A的列向量组。,mn矩阵A又有m个n维行向量,iT=( ai1,ai2,ai n ), ( i=1,2,m ),它们组成的行向量组1T,2T,mT 称为矩阵A的行向量组。,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如：,m个n维列向量所组成的向量组1,2,m构成一个 nm矩阵,A=( 1,2,m ) ;,m个n维行向量所组成向量组1T, 2T, mT 构成一个mn矩阵,B = 。,我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式,x11 + x22 + + xnn = b ,由此可见，线性方程组与其增

52、广矩阵B（A,b）的列向量组1，2，m , b之间也有一一对应的关系。,二、线性组合,定义3 给定向量组A: 1,2,m ,对于任何一组实数 k1, k2, km ,向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性 组合的系数。,线性表示 给定向量组A: 1,2,m和向量 b , 如果存在一组数 1 , 2 , , m ,使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。,向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组,x11 + x22 + + xmm = b,有解。由上章的定

53、理3，即可得到,定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( 1 , 2 , , m ) 的秩等于矩阵 B =( 1 , 2 , , m , b )的秩。,三、等价向量组,定义4 设有两个向量组A: 1 , 2 , , m 及B: b1 , b2 , bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。,把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( 1,2,m ) 和B=( b1 , b2 , , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2

54、 , , s ) 存在数k1j , k2j , , kmj ,使,bj = k1j 1 + k2j 2 + + kmj m,= ( 1, 2, , m ),从而 ( b1 , b2 , , bs ) = ( 1 , 2 , , m ),这里，矩阵Kms= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵。,由此可知，若 C mn = Ams Bsn ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩,( c1 ,c2 , , cn ) = (1 , 2 , , s ),同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一 表示的系数矩阵：,综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变

55、成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即 B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能 由B 的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与B的行向量 组等价。,同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A 的列向量组与B的列向量组等价。,等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组。,四、向量组的线性相关性,定义5 给定向量组A: 1 , 2 , , m ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，. ， km，使 k11 + k22 + + kmm = 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。,1）一个向量

56、线性相关的充分必要条件是 0。,2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。,3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,4）一个向量是线性无关的充分必要条件是 0。,5）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的 分量不成比例。,例1 判断下列向量组的线性相关性。,1) 1T = ( 1, 1, 1), 2T = ( 0, 2, 5 ), 3T = ( 1, 3, 6 ),2) 1T = ( 1, 0, 0, ), 2T = ( 1, 2, 1 ), 3T =( 1, 0, 1 ),解 1）设有 x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （1）

57、,即,( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 ),亦即,由于,所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量组1T, 2T, 3T是线性相关的。,2）设有x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （2）,即,由于,所以，方程组仅有零解。即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2） 成立。故向量组 1T, 2T , 3T是线性无关的。,五、线性相关性基本定理,定理2 向量组 1，2， ，m ( m 2 )线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的 m-1个向量线性表示。,证,充分性,不妨设m可由其余的向量线性表示，即有,m= 11 + 22 + + m-1m-1,从而,11 + 22 + + m-1m-1 + (-1)m = 0,因为 1，2， ，m-1, -1 这 m 个数不全为零,故1，2， m 线性