工程力学教学课件第2章轴向拉伸和压缩

1、概述,第7章 轴向拉伸与压缩,力学模型如图,轴向拉伸或压缩杆件的受力特点是：作用在等直,杆上的两个力大小相等，方向相反，作用线与杆的轴线重合。,第7章 轴向拉伸与压缩,概述,7.1 轴力和轴力图,第7章 轴向拉伸与压缩,如图求拉杆指定截面的内力。,由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；,（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用；,同样，亦可留下右半段作为研究对象，可得同样的结果，如图。,轴力的符号规定：轴力背离截面，拉伸时为正，称为拉力；轴力指向导截面，压缩时为负，称为压力。,7.1 轴力和轴力图,第7章 轴向拉伸与压缩,当杆受多个外力作用时，则求轴力时须分段进行；同时为了形象地表明各

2、截面轴力的变化情况，可用“轴力图”表示，具体作法如下：,例1 试画图示直杆的轴力图。,解(1)求第一段杆的轴力：,(2)求第二段杆的轴力：,(3)求第三段杆的轴力：,轴力图如图所示。,7.2 横截面上的应力,第7章 轴向拉伸与压缩,两相邻横线相对地沿轴线平行移动了一段距离。,（1）杆件被拉长，但是横线仍保持为直线，任意,（2）变形后，横线仍垂直于纵线（轴线），原来,的矩形v网格仍为矩形。,7.2 横截面上的应力,第7章 轴向拉伸与压缩,假设：变形前原是平面的截面，在变形后仍然是平面。这个假设称为平面假设。,根据材料的连续性和均匀性假设，内力连续分布，且变形相同，内力也相同，于是可知，内力平均分

3、布在横截面上，即应力是均匀分布的。即,这就是拉压杆件横截面上各点应力的计算公式。 称为横截面上的正应力或法向应力。今后规定：拉应力为正；压应力为负。,7.3 斜截面上的应力,第7章 轴向拉伸与压缩,7.3 斜截面上的应力,第7章 轴向拉伸与压缩,斜截面上的应力：,把 分解成垂直于斜截面的正应力 和相切于斜截面的剪应力 （如图）。则,于是可知：,7.4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,如图所示：,称为杆件的绝对伸长或缩短。于是,分别称为轴向线应变和横向线应变。可见：拉应变为正；压应变为负。,E值与材料性质有关，称为弹性模量。,其中，EA代表杆件抵抗变形的能力，称为抗拉（压）刚度。,7.

4、4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,若以FN换P，则上式可写成,于是可得,或,以上三式均称为虎克定律。,实验表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变之比值是一个常数。即,或,值称为横向变形系数，或泊松比。,7. 4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,例2 图示等直钢杆，材料的弹性模量E=210GPa，试计算：（1）每段的伸长；（2）每段的线应变；（3）全杆的总伸长。,解：先求每段的轴力，并作轴力图如图。,（1）求每段的伸长,7. 4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,（2）每段的线应变,（3）求全杆的总伸长,7. 4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,例3 图示

5、铰接三角架，在节点B受铅垂力P作用。已知：杆AB为钢制圆截面杆，直径为30mm，杆BC为钢制空心圆截面杆，外径为50mm，内径为44mm。P=40kN，E=210GPa，求节点B的位移。,解：（1）求轴力。取铰B为研究对象，受力如图。,（2）求两杆的变形,7.4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,（3）求节点B的位移,代入数据，得,于是点B的位移为,7. 4 拉（压）杆的变形,第7章 轴向拉伸与压缩,例4 图示等直杆，长 ，截面积A，材料容重 。求整个杆件由自重引起的伸长 。,解：如图，取微段杆，则,是微量，可忽略不计。,于是，微段杆的伸长为,整个杆件的伸长为,即：等直杆由自重引起的伸

6、长等于把自重当作集中荷载作用在杆端所引起的伸长的一半。,7.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,材料受外力作用后在强度和变形方面所表现出来的性质材料的力学性质。,在室温下，以缓慢平稳加载的方式进行的拉伸实验，称为常温静载拉伸实验。试件形状如图。,在试件中间等直部分取长为 l 的一段作为工作段，称为标距。,对圆截面：,对矩形截面：,下面以低碳钢和铸铁为代表来研究材料在拉伸和压缩时的力学性质。,7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,（一）低碳钢拉伸时的力学性质,由实验可得拉伸图如图。,为了消除尺寸的影响，将拉伸图改造为图示的应力应变图。,根据实验结果

7、，低碳钢的力学性质大致如下：,1、弹性阶段： ( ob ) oa为直线，即 ，故 。,称为比例极限。,称为弹性极限。,在工程上，比例极限和弹性极限并不严格区分。,强度方面：,7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,2、屈服阶段：当应力超过弹性极限时，应变显著增加，应力在很小的范围内波动，此时称为屈服或流动。,称为屈服极限。,屈服极限是衡量材料强度的重要指标。,3、强化阶段：经过屈服材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。,称为强度极限。,4、局部变形阶段：过 d 点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象，直到试件被拉断。,强度极限是衡

8、量材料强度的另一重要指标。,7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,变形方面,1、弹性变形和塑性变形：,如图，对应应变nk所发生的变形为弹性变形，对应应变on所发生的变形为塑性变形。,衡量材料塑性性质的指标：,（1）延伸率,为拉断时标距的伸长量。,（2）截面收缩率,为拉断后颈缩处的截面面积。,工程上， 5%为塑性材料； 5%为脆性材料。,7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,2、冷作硬化,卸载定律：卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。,冷作硬化：卸载后，再次加载时，其比例极限得到,提高，而断裂时残余应变减小。,7. 5 材料在拉伸、压缩时的力

9、学性能,第7章 轴向拉伸与压缩,（二）低碳钢压缩时的力学性质,低碳钢压缩时的应力应变曲线如图所示。,（三）铸铁在拉伸和压缩时的力学性质,铸铁拉伸和压缩时的应力应变曲线如图所示。,7.6 强度计算、容许应力和安全系数,第7章 轴向拉伸与压缩,材料丧失正常工作能力时的应力，称为危险应力或极限应力，用 表示。,为了保证构件具有足够的强度，最大的工作应力不能超过危险应力。不仅如此，还要有一定的安全储备，因此，将危险应力打一折扣，除以一大于一的系数，以n表示，称为安全系数，所得结果称为容许应力（或许用应力），即,7. 6 强度计算、容许应力和安全系数,第7章 轴向拉伸与压缩,于是，就可建立强度条件如下：

10、,对于等截面杆,根据上述强度条件，可以进行以下三种类型的强度计算,（1）强度校核,（2）设计截面,（3）确定容许荷载,7. 6 强度计算、容许应力和安全系数,第7章 轴向拉伸与压缩,例5 图示屋架受到竖向均布荷载q=4.2kN/m , 水平钢拉杆的直径d=20mm , 钢的容许应力 。（1）校核拉杆的强度；（2）重新选择拉杆的直径。,解：（1）求拉杆的轴力,由对称性可得：,用截面法取右半部分为研究对象，,解得：,（2）强度校核,7. 6 强度计算、容许应力和安全系数,第7章 轴向拉伸与压缩,所以钢拉杆满足强度要求。,（3）重新选择钢拉杆的直径,取 。,7. 6 强度计算、容许应力和安全系数,第

11、7章 轴向拉伸与压缩,例6 图示结构： AC杆为钢杆 ； BC杆为木杆 ；求结构的容许荷载 。,解：（1）建立轴力与荷载的关系,取节点C为研究对象，受力如图，有,（2）求各杆的容许轴力,7. 6 强度计算、容许应力和安全系数,第7章 轴向拉伸与压缩,（3）计算容许荷载,故结构的容许荷载为,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,用静力平衡方程可求出全部反力和内力的问题，称为静定问题；仅用静力平衡方程不能求出全部反力和内力的问题，称为超静定问题。例如,超静定问题的求解方法：,（1）静力方面：列平衡方程。,（3）物理方面：由虎克定律计算变形。,将变形代入变形协调方程，即得补充方程

12、，补充方程和平衡方程联立求解，即可求得结果。下面举例说明：,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,例7 图示结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，求杆EC及FD的内力。,解：（1）静力方面：取AB为研究对象，受力如图。,（2）几何方面：如图,（3）物理方面：由虎克定律,于是可得补充方程,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,将补充方程同平衡方程联立求解，即得,结果表明：对于超静定结构，各杆内力的大小与其刚度成正比。,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,例8 图示三杆组成的结构，在节点A受力P的作用，试求三杆的内力。,解：（1）

13、静力方面：以节点A为研究对象，受力如图。,（2）几何方面：如图,（3）物理方面：由虎克定律,于是可得补充方程,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,将补充方程同平衡方程联立求解，即得,变形协调关系:,物理关系:,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,例 9,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,代入数据，得,根据角钢许用应力，确定F,根据木柱许用应力，确定F,许可载荷,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,例10 图示结构，杆1、2的弹性模量均为E，横截面积均为A，梁BD为刚体，荷载P=50KN，许用拉应力为 ，许

14、用压应力为 ，试确定各杆的横截面面积。,解：（1）静力方面：以杆BD为研究对象，受力如图。,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,（2）几何方面：如图,于是可得变形协调方程为,（3）物理方面：由虎克定律,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,于是可得补充方程,（4）计算轴力：将补充方程同平衡方程联立求解，即得,（5）截面设计：由强度条件,所以，应取,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,图示结构，杆1、2的弹性模量均为E，横截面积均为A，梁BD为刚体，荷载P=50kN，=45，许用应力为 ，试确定各杆的横截面面积。,一、温度应力,已知

15、：,材料的线胀系数,温度变化（升高）,1、杆件的温度变形（伸长）,2、杆端作用产生的缩短,3、变形条件,4、求解未知力,即,温度应力为,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,7. 7 拉伸和压缩的超静定问题,第7章 轴向拉伸与压缩,二、装配应力,已知：,加工误差为,求：各杆内力。,1、列平衡方程,2、变形协调条件,3、将物理关系代入,7. 8 轴向拉压时的变形能,第7章 轴向拉伸与压缩,弹性变形能（应变能）,单位：1J=1Nm,弹性变形体的功能原理,弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量是守恒的，若略去动能及能量损耗, 则： 外力功=变形能,7. 8 轴向拉压时的

16、变形能,第7章 轴向拉伸与压缩,变形能:当杆件受拉时，拉力和伸长的关系如图所示。,力P所作的功为：,线弹性范围内便为：,变形比能:单位体积内的变形能，称为比能。即：,or,变形比能的应用：,例：图示,杆BD=l=3cm ,E1=210GPa,截面面积为A1。BC为钢索，截面面积为A2 ， E2=210GPa,设F=300kN。求B点的垂直和水平位移。,7. 8 轴向拉压时的变形能,第7章 轴向拉伸与压缩,解：在F力作用下， 以 和 表示 B点的垂直和水平 位移；FN1和FN2表 示轴力，于是有：,7. 8 轴向拉压时的变形能,第7章 轴向拉伸与压缩,为了求 ，设想 在P之前，先在B点作 用水平力H。 FN1H和FN2H表示轴力,经计算： FN1H=1.41H FN2H=0.518H,7. 8 轴向拉压时的变形能,第7章 轴向拉伸与压缩,在作用H之后，再作用F，外力所完成功为,杆系变形能：,得：,F,B,7. 9 应力集中的概念,第7章 轴向拉伸与压缩,应力集中：,理论应力集中系数：, max是发生应力集中的横截面上的最大应力 0 是该截面上的名义应力（拉压时即为平均应力）,构件形状尺寸变化引起局部应力急剧增大的现象。,1、形状尺寸的影