微专题4 数学工具平面向量在解题中的应用

1、2021新亮剑高考总复习微专题4第五章数学工具平面向量在解题中的应用2微专题 4数学工具平面向量在解题中的应用平面向量是形与数的完美结合,故平面向量在解决与平面几何、解析几何、三角函数等知识的综合问题时,很能凸显解题的优势,从而也体现了平面向量的工具性.1.平面向量与平面几何的综合平面向量与平面几何综合问题的解法:(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中, 则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,建立向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.3例 1已知 O 是ABC 所在平面内的一点,若

2、动点 P 满足 = +( + ),(0,+),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的(C ).D.垂心A.内心B.外心C.重心解析由原等式,得 - =( + ),即 =( + ),根据平行四边形法则知 + 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量 的 2 倍,所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心.答案解析4 + 探究 1本例中,若动点 P 满足 = +,(0,+),则点 P| | |的轨迹一定通过ABC 的内心 . + ,即 = + ,解析由条件,得 - =| | | | |而 和 分别表示平行于 和 的单位向量,故 + 平分BAC,| | | | |即 平分BAC,所以点 P 的

3、轨迹必过ABC 的内心.答案解析5探究 2本例中,将条件变为“已知 O,N,P 在ABC 所在的平面内,且| |=| |=| |, + + =0, = = ”,则点 O,N,P 依次是外心 重心垂心 ABC 的,.解析由| |=| |=| |知 O 为ABC 的外心;由 + + =0 知 N 为ABC 的重心;因为 = ,所以( - ) =0,所以 =0,所以 ,即 CAPB,同理 APBC,CPAB,所以 P 为ABC 的垂心.答案解析6向量问题解决向量问题微点评：1.设 O 为ABC 所在平面上一点,则(1)O 为ABC 的外心| |=| |=| |; (2)O 为ABC 的重心 + +

4、=0;(3)O 为ABC 的垂心 = = .2.用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题解决几何问题. 7【微点练】1.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 ( + )的最小值是(A.-2B )B.-3C.-4D.-123解析8解析(法一:解析法) 建立坐标系如图所示,则 A,B,C 三点的坐标分别为(0, 3),(-1,0),(1,0).设 P 点的坐标为(x,y),则 =(-x, 3-y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y), ( + )=(-x, 3-y)( -2x,-2y)=2(x2+y2- 3y)2 323332=2 + - -2 -

5、=- ,442当且仅当 x=0,y= 3时, ( + )取得最小值,最小值为-3.故选 B.22 9(法二:几何法) 如图所示, + =2 (D 为 BC 的中点),则 ( + )=2 .要使 最小,则 与 方向相反,即点 P 在线段 AD 上,则(2 )min=-2| | |,问题转化为求| | |的最大值.又| |+| |=| |=2 3= 3,222| |+| | 33 | = ,224 ( + )min=(2 )min=-23=-3.故选 B.42102.(2020 届湖南长沙模拟)在直角三角形 ABC 中,C= ,AB=4,AC=2,若 =3 ,则22 =(A.-18C).B.-6

6、3C.18D.6 3解析得 CB=2 3, =0 +3 =3( - ) =3 2=18222答案解析11(法二)如图,以 C 为坐标原点,CA,CB 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系,则 C(0,0),A(2,0),B(0,2 3).由题意得CBA=,6又 =3 ,所以 D(-1,3 3),2则 =(-1,3 3)(0,2 3)=18.122.平面向量在解此类问题的常用方法有两种:一问题,利用平面向量的数量积、共线、垂直几何的相关知识进行解答;二是“特值法”,若是选择题,常来快速解答.解析13例 2(2018 年浙江卷)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量

7、a 与 e 的夹角为,向量 b 满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是().A3A. 3-1B. 3+1C.2D.2- 3解析(法一)设 =a, =b, =e,以 O 为原点, 的方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则 E(1,0).不妨设 A 点在第一象限,a 与 e 的夹角为,点 A 在射线 y= 3x(x0)上.3设 B(x,y),由 b2-4eb+3=0,得 x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点 B 在圆(x-2)2+y2=1 上运动. =a-b,|a-b|的最小值即点 B 到射线 OA 的距离的最小值,为圆心(2,0)到射线 y= 3x(x

8、0)的距离减去圆的半径,|a-b|min= 3-1,故选 A.答案解析14(法二)将 b2-4eb+3=0 转化为 b2-4eb+3e2=0,即(b-e)( b-3e)=0,(b-e)(b-3e).设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 ,点 B 在以 M 为圆心,1 为半径的圆上运动.|a-b|=| |,|a-b|的最小值即点 B 到射线 OA 的距离的最小值,为圆心 M到射线 OA 的距离减去圆的半径.| |=2,AOM=,|a-b|=2sin -1= 3-1.min3315微点评：向量在解析几何中的作用:(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关

9、键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用 abab=0,a ba=b(b0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到. 16【微点练】1.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 = + ,则 + 的最大值为(A)A.3B.2 2C. 5D.2答案解析17解析建立如图所示的平面直角坐标系,则 C 点坐标为(2,1).设 BD 与圆 C 切于点 E,连接 CE,则 CEBD. CD=1,

10、BC=2, BD= 12+ 22= 5,EC= 2=2 5, 55即圆 C 的半径为2 5,5点 P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=4.518= 2 + 2 5 cos,05 设 P(x ,y ), 则 ( 为参数),002 50 = 1 +sin5而 =(x0,y0), =(0,1), =(2,0). = + =(0,1)+(2,0)=(2,), =1x0=1+ 5cos ,=y0=1+2 5sin .255两式相加,得 +=1+2 5sin +1+ 5cos =2+sin(+)3 其中 sin =55 5 ,cos =2 5 ,55当且仅当 =+2k-,kZ 时,+ 取得最大值,

11、最大值为 3.故选 A.219222.若点 O 和点 F 分别为椭圆+=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任43意一点,则 的最大值为 6. 2 2 2解析由题意得 F(-1,0), 设 P(x ,y ),则+=1,即2 ,00=3 1- 0.000434因为 =(x0+1,y0), =(x0,y0), 2 21所以2 22 =x (x +1)+=+x +3 1- =+x +3= (x0+2) +2,00000000444因为-2x02,所以当 x0=2 时, 取得最大值,最大值为 6.答案解析203.平面向量与三角函数的综合例 3(2017 年江苏卷)已知向量 a=(cos x,sin

12、x),b=(3,- 3),x0,.(1) 若 ab,求 x 的值;(2) 记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.分析(1)由向量共线的条件,建立方程求解;(2)根据向量的数量积,求出 f(x)的表达式,将其化为同名三角函数,利用三角函数的有界性求最值.分析解析21解析(1) 因 为 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),ab,所以- 3cos x=3sin x.若 cos x=0,则 sin x=0,这与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cos x0.于是 tan x=- 3.3又 x0,所以 x=5.6(2)f(x)=ab=(cos x,s

13、in x)(3, - 3)=3cos x- 3sin x=2 3cos + .6因为 x0,所以 x+ , 7 ,666 3,从而-1cos + 62所以当 x+= ,即 x=0 时,f(x)取到最大值,最大值为 3;66当 x+ =,即 x=5时,f(x)取到最小值,最小值为-2 3.6622微点评：破解平面向量与三角函数综合问题的常用方法是“化简转化法”,即先把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系,再活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧化简.平面向量与三角函数综合问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解. 23【微点练】在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(1,0)和点 B(-1,0),| |=1,且AOC=,其中 O 为坐标原点.(1)若 =3,设点 D 为线段 OA 上的动点,求| + |的最小值;4(2)若 0, ,向量 m= ,n=(1-cos ,sin -2cos ),求 mn 的最小值及对应的 的值2解析24解析(1)设 D(t,0)(0t1),由题意知 C - 2 , 2 ,所以 + = - 2 + , 2 ,22222 +1,- 2所 以 | + |2= 22所以当 t= 2时,| +