概率论与数理统计学习资料.ppt

1、1,概率论与数理统计,(一) 王 柱 2011.09.05,2,中石化集团新星石油公司业兴分公司教授级高级工程师,北方工业大学兼职教授。,1964年8月毕业于中国科学技术大学应用数学系概率论与数理统计专业。留校任教，做华罗庚副校长业务秘书。,1975年调入地矿部北京计算中心，从事科学技术开发和科技管理工作。,日前从单位退休，专门从事社会教育、科普和科研工作。 曾任中国科协技术协会第六届委员会全国委员、 中国现场统计研究会副理事长、中国优选法统筹法与经济数学研究会副理事长。,3,目的:1.建立随机的观点;,教学内容:八章. 48 3,2.了解概率、统计的基本知识和原理;,3.掌握一些基本的概率计

2、算、统计 分析方法;,考核内容:平时,30%;出勤率,作业完成率.,期末,70%;书面成绩.,学习方法:出勤、认真听课,复习摘记要点；,自己做练习，按时交作业；,做好阶段总结，轻松参加考试；,养成良好习惯，切忌恶性循环！,4,幸 运 竞 猜 !,请猜 Pc-505 的单价？,380,有没有这样的办法，让任何人都能掌握，对任何商品的价格都能猜中，所用的猜次最少?,回答是肯定的，取中折半法即是！,其法为：先框住价格的范围，猜其中点； 舍去一半，再猜剩下一半之中点； 以此类推，至猜中。,次数=n 精度=,有的一次猜中!有的几十次也猜不中!,5,0,1024,512,256,768,640,896,3

3、84,128,320,352,368,376,380,382,381,0,1,2,3,4,6,7,8,9,10,5,64,32,16,8,4,2,1,380,10次以内准能猜中!,取中折半法,次数=n 精度=,6,对一次试验能判定方向的性能指标很有用。,X射线探伤，地下输送管道泄漏探查，电缆断点寻找，等等.都很有用。,但是，一次试验不能判定方向，必须两次试验进行比较才能判定方向时，取中折半法就不好用了，必须采用新法。,取中折半法,7,这时要用 优选法,一维单峰函数 在区间（a, b）内存在x0 ,使得对任何的 x1 , x2 ,只要 （x0 x1）与（x0 x2）符号相同且|x0 x1| |x

4、0 x2|, 则 f(x0 x1） f(x0 x2）即,8,设范围，长为。在其倍处为点。c的中心对称点为。,0a,Lb,中心,c= L,d,以下类似。,这就是优选法,而e则为剩下之点在剩下之长度的中心对称点处。,若f (c) f (d)则去掉a d。在d b中选一点e。,若f(c) f (d)则去掉c b。在a c中选一点e。,9,0,1,0,1,0,新点=端点1端点2中间已试点,n个试验点后剩下精度为,优选法,10,113 21345589144233 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .,精度,这就是离散情形下的优选法，称为斐彼那奇法,斐彼那奇数:,0,13,11,这是 试

5、验区间长度 L , 试验点数 n=1+1 , 必例系数 = , 一维序贯设计。,这一串试验点序列是收敛点列 试验值序列是非降的收敛序列,对闭区间上的连续函数是局部选优法。,对闭区间上的单峰连续函数是优选法。,二维或多维用 序贯均匀设计 !,12,二维序贯均匀设计,5 4 3 2 1,1 2 3 4 5,请记住如下数对：,这是均匀设计的表：,13,5 4 3 2 1,1 2 3 4 5,如果最大值在数 对：i j 处以其 为中心点，区域 缩小 倍 仍按照上面方法 安排点。,1 2 3 4 5,5 4 3 2 1,旧点为,新点为,最大值在（5 4） 处,除第一次安排 5 点外，以后各批均 在剩下的

6、新小区域内安排新的 4 点 （1个中心点为前次的）。,14,作 k 批试验的点数为,15,随着所选批次 k 的增加，试验点数按算术级数增加，而试验区域面积按等比级数缩小。,这一串非降的较大值序列收敛到了该序列的最大值。相应的较大值点序列也收敛到该矩形区中的极限点。收敛速度也不错。,我们指出：此法称为 序贯（ ）均匀设计。,16,2.单批试验 最好的是用相应维数的均匀设计。,实际上：,1.可以多批 用此 序贯均匀设计 :,试验的设计安排，结果的分析、预测，等等，这些都是非常有用的实用科学方法。 欲知其然，亦知其所以然，就必须学习 “概率论与数理统计”的内容。,17,第一章 概率论的基本概念,确定

7、性现象,随机现象,静止,变化,这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性。,在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中又具有统计规律性的现象，称为随机现象。,18,1.1 引言,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现.;,19,随机试验的例子,E1: 抛一次硬币,观察正面H、反面T出现的情况。,E2: 抛三次硬币,观察正面H、反面T出现的情况。,E3: 抛三次硬币,观察正面H出现的次数。,随机试验的所有可能结果列在下面:,S1: H、T ,S2: HH

8、H、HHT、HTH、HTT、 THH、THT、TTH、TTT ,S3: 0,1,2,3 ,20,S4: 1,2,3,4,5,6 ,S5: 0,1,2,3,. ,S6: t | t 0 ,S7: (x,y)|T0 x yT1 ,这些 S 就是样本空间,E4: 抛一颗骰子,观察出现的点数。,E5: 纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。,E6: 在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。,E7:纪录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,21,样本空间、随机事件,(一)样本空间,(二)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间(S)的子集

9、合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间 (S)包含所有的样本点，称为必然事件。,空集 不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,22,例一、,E: “接连抛三次硬币”,S：HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT : e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ,A1: “恰有一次出现正面”,A2: “至少有一次出现正面”,A3: “没有一次出现正面”,B1: “第一次出现正面”,B2: “第二次出现正面”,B3: “第三次出现正面”,B4: “恰有二次出

10、现正面”,B5: “恰有一次出现反面”,C1: “第一、第二两次出现正面”,D1: “第二次首次出现正面”,D2: “第三次首次出现正面”,23,例二、,“袋中有六个球，4个白色，2个红色。”,球： W, W, W, W, R, R ,A1: “取到两次均是白球”,E1、 放回抽样：抽一个看，放回后再抽。,A2: “取到两球颜色相同”,A3: “取到两球至少有一个白球”,E2、 不放回抽样：抽一个看，不放回接着再抽。,E3、 一次抽出两个球看。,可在不同抽取方式下，来表示事件。例如：,24,1.2频率与概率的统计定义,(一)频率的定义,在相同的条件下，进行了n次试验，事件A 发生的次数nA称为

11、事件A发生的频数。 比值nA/n称为事件A发生的频率，记成 fn(A)。,25,+0.0181 +0.0069 +0.0016 +0.0005 -0.0002,p(A)=0.5,演示1！,26,定义1.2.1 在一定的条件下,重复做 n 次 试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次 数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率， 记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,27,样本空间S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,此时P(ei)= 1/n，,1.3等可

12、能概型（概率的古典定义）,。定义:,提醒：,基本事件ei的总数为n；,所有不同事件的总数为2n；,（解释）,28,例1、,E: “接连抛三次硬币”,S： HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ,A1: “恰有一次出现正面” p=3/8,A2: “至少有一次出现正面” p=7/8,A3: “没有一次出现正面” p=1/8,B1: “第一次出现正面” p=4/8,B2: “第二次出现正面” p=4/8,B3: “第三次出现正面” p=4/8,29,例1、,E: “接连抛三次硬币”,S： HHH, HHT, HT

13、H, HTT, THH, THT, TTH, TTT e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ,B4: “恰有二次出现正面” p=3/8,B5: “恰有一次出现反面” p=3/8,C1: “第一、第二两次出现正面” p=2/8,D1: “第二次首次出现正面” p=2/8,D2: “第三次首次出现正面” p=1/8,30,概率论与数理统计,(一)结束,作业:习题一 1, 12, 13, 14,演示1！,1.1）,31,32,1.2）,33,12,34,13,35,14,36,第一章 概率论的基本概念,确定性现象,随机现象,静止,变化,这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性

14、。,在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中又具有统计规律性的现象，称为随机现象。,回顾,37,1.1 (一）随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确 试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现;,38,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为 E的样本空间。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集 不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试

15、验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,39,定义1.2.1 在一定的条件下,重复做 n 次 试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次 数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率， 记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,1.2 概率的统计定义,40,样本空间,P(A)=k/n，,n为样本空间中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,此时P(ei)= 1/n，,1.3 概率的古典定义（等可能概型）,。定义:,详细解释,41,42,先在区域中选一点作为中心试验点 ，并选定间隔

16、长度为 。我们以如下方法选5点作为第一批试验点：。,43,左1,上2,下4,右5,中3,lx,0.5*lx,0.5*ly,ly,44,得到5个试验值 其中 极大值和极大值点 为 和 。即,我们以最大值点 作为下一批试验点的中心点， 这次间隔长度的倍作为新一批试验点的间隔，即,新一批5个试验点为：,45,得到5个试验值 其中极大值和极大值点为 和 。 即,我们以极大值点作为下一批试验点的中心点，这次间隔长度 的倍作为新一批试验点的间隔，在安排新一批5点试验。 重复下去，直到满意为止。,46,试验中心点序列是收敛的点列，其收敛点为 。即,其实有,47,又，注意到极大值序列 是非降的 有界值序列，其上确界就是其极限值。即,一般， 是驻点， 不一定是最大值。 但对于满足一定条件的特殊函数类中， 就是最大值， 就是最大值点。,48,试验区 S:,必达区 B:,49,a.若 落入在必达区B1中，且此时 。 则 满足，