【创新课堂】2013高考数学总复习 专题02 第3节 函数的单调性与最值课件 文

1、第三节 函数的单调性与最值,1.函数的单调性,(1)函数的单调性定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,知识汇合,计算f(x1)-f(x2),变形成乘积的形式或者是其他可以判断符号的形式,判断f(x1)-f(x2)的符号,下结论(函数f(x)在区间D上的单调性).,(3)函数的单调性与奇偶性的关系,奇函数在其关于原点的对称的区

2、间上的单调性相同;,偶函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相反.,(2)利用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤:,在区间D上任取x1,x2,且x1x2,定义证明抽象函数的单调性.,概念分析法:利用x增大,逐步推出函数值y是增大还是减少来判断函数的单调性.,导数法.,函数图象法(涉及平移,对称问题等).,复合函数的单调性.,函数的性质法.,2.函数的最值,(4)判断函数单调性的方法:,(1)函数的最大值的定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:,对于任意的xI,都有f(x)M;,存在xI,使得f(x)=M.,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.,(2

3、)函数的最小值的定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:,对于任意的xI,都有f(x)M;,存在xI,使得f(x)=M.,那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.,【例1】判断并证明函数f(x) ， x1，)的单调性,题型一函数单调性的判断与证明,分析： 判断函数的单调性可利用定义法、导数法、 图象法或利用已知函数的单调性，但是严格证明 需采用定义法或导数法，本题可以先判再证,典例分析,题型二求函数的单调区间,【例2】求函数f(x)x 的单调区间,分析：利用定义法或导数法,解：方法一：首先确定定义域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)两个区间上分别讨任取x1，x2

4、(0，+)且x1x2， 则f(x2)-f(x1)= 要确定此式的正负只要确定1- 的正负即可,这样，又需要 判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0,1)与(1，+) (1)当x1、x2(0,1)时，1- 0， f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数； 同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，f(x)为减函数； (4)当x1、x2(-，-1)时，f(x)为增函数,方法二：f(x)= ， 令f(x)0，得x21，即x1或x-1， 令f(x)0，得x21，即-1x1， f(x)的单调增区间为(1，+)和(-，-1)， 单调减区间为(-1,0)和(0,1),

5、【例3】函数f(x)对任意的a、bR，都有 f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,题型三单调性的应用,分析： 根据题目中所给的关系式通过赋值、变形、构造， 寻找f(x2)与f(x1)的关系,解： (1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10， f(x2)f(x1)， 即f(x)是R上的增函数 (2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1

6、=5， f(2)=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2) f(x)是R上的增函数，3m2-m-22， 解得-1m ，则其解集为 .,【例4】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0， f(1) . (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值,题型四函数的最值,分析：判断抽象函数单调性的基本方法是定义法， 关键是判断f(x1)-f(x2)的符号，往往构造出x1-x2的 因式就迎刃而解了最值的求解就是利用单调性,解： (1)证明：设x1，x2R，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+

7、x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)， 又x0时，f(x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是减函数 (2)f(x)在R上是减函数， f(x)在-3,3上也是减函数， f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)， 而f(3)=3f(1)=-2， 由题意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0， f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)， f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数f(-3)=-f(3)=2. f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.,高考体验,下列函数中，

8、在区间(0,2)上为 增函数的是() A. yx1 B. y C. yx24x5 D. y,B解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意,练习巩固,2. f(x)4x2mx5在2，) 为增函数，f(1)的取值范围是() A. (，25 B. (25，) C. 25，) D. (，25),C解析： 由题意知对称轴2，即m16， 所以f(1)9m25.,3. 若函数yax与y 在(0，)上都是减函数， 则yax2bx在(0，)上是() A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增,B解析： 由题意可知a0，b0， yax2bx的对称轴方程：x 0， 又a0，yax2bx在

9、(0，)上为减函数,4. 函数f(x) 在2,3上的最小值为_， 最大值为_,解析：,f(x)在(1，)上为减函数， f(x)在2,3上单调递减， f(x)minf(3) ，f(x)maxf(2)1.,5. 函数 的单调递减区间是_,(3，)解析：,令u|x3|，则在(，3)上u为x的减函数， 在(3，)上u为x的增函数又0 1， 在定义域内为减函数， 在区间(3，)上y为x的减函数,6.判断并证明函数f(x) (a0)在x(1,1) 上的单调性,方法一(定义法)： 设10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0， f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数

10、,方法二(导数法)： a0，x2+10，(x2-1)20， f (x)0， 函数f(x)在(-1,1)上为减函数,7.求函数ylog0.7(x23x2)的单调区间,解析： 由x2-3x+20，得函数的定义域是(-，1)(2，+)， 令t=x2-3x+2，则y=log0.7t . t=x2-3x+2= ， t=x2-3x+2的单调减区间是(-，1)， 增区间是(2，+)，又y=log0.7t在(0，+)上是减函数， 函数y=log0.7(x2-3x+2)的单调减区间是(2，+)， 单调增区间是(-，1),8.已知偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0， 解不等式flog2(x25x4)

11、0.,f(2)=0， 原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2) 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数， f(x)在(-，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0. 不等式可化为log2(x2+5x+4)2， 或log2(x2+5x+4)-2， 由得x2+5x+44， x-5或x0，,解析：,.,由得0x2+5x+4 x-4或-1x ， 由、得原不等式的解集为,9.求函数 的单调区间， 并指出每一个单调区间上的单调性,解析： 由不等式x2-4x+30，得函数的定义域为 (-，1)(3，+) 设u=x2-4x+3，则 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1， 故由二次函数的性质知： 当x2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x2时，u=x2-4x+3为减函数 因为函数定义域为(-，1)(3，+) 且 为减函数， 在(-，1)上为增函数，在(3，+)上为减函数,10.(2011年浙江宁海模拟)四个函数中,在(0,1)上为增函数的是(),(A)y=-log2x. (B)y=sin x.,(C)y=()x.(D)y=.,【解析】y=-log2x=lox为减函数,y=()x为减