几何与代数课件：lec11-空间向量的向量积和混合积

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,第三章 几何空间,1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？,2. 向量的各种运算以及相应的几何意义？,3. 如何求投影直线方程？,问题式预习、思考题,1. 向量的向量积的两种计算方法？,2. 向量的混合积的几何含义？,3. 平面和直线的方程都有哪几种？,1. Suppose in R2 I measure the x direction in centimeter (cm) (or Kilometer) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world an

2、gle between the vectors (0,1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by the inner product are the actual angles between vectors.,acos, acosd,思考题,Suppose in R2 I measure the x

3、direction in centimeter (cm) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world angle between the vectors (0,1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by

4、 the inner product are the actual angles between vectors.,(a). In the real-world, the vectors should be (0,100)T and (1,100)T,(b).,(c).,思考题,Suppose in R2 I measure the x direction in Kilometer (km) and the y direction in meters. (a). Approximately what is the real-world angle between the vectors (0,

5、1)T and (1,1)T? (b). What is the angle between these two vectors according to the dot-product? (c). Give a definition for an inner product so that the angles produced by the inner product are the actual angles between vectors.,(a). In the real-world, the vectors should be (0,1)T and (1000,1)T,(b).,(

6、c).,1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？,2. 向量的数量积都有什么性质？,3. 向量的数量积与投影之间的关系是什么？,3.1-2 空间向量及空间坐标系,1,2,3共面存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = . 1,2,3 线性相关. r(A) 3, = x1x2+y1y2+z1z2,=T,设O为一根杠杆L的支点，力 作用于杠杆上P点，力 与 的夹角为，力 对支点O的力矩是向量 ，则力矩的模为,向量积的物理意义,力矩 = 力力臂,3.3 空间向量的向量积和混合积,一. 空间向量的向量积(叉积、外积),1. 物理背景,2. 向量积的定义,3. 向量

7、积的模的几何意义,4. 外积的性质,5. 直角坐标系 下外积的坐标计算,二. 空间向量的混合积,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,一. 两个向量的向量积(叉积,外积),1. 物理背景:,2. 向量积的定义:,| | = | | |sin,其中 =( , ).,3. 模的几何意义：,力矩 = 力力臂, 是一个向量.,当 , ，且 , 不平行时，,正弦值等于边长为1菱形的面积.,4. 外积的性质,(3)反对称性: = ,(1) = =或=或(,/), / (规定 /),| | = | | |sin,(4) (m) = m() = (m),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积

8、,4. 外积的性质,(3)反对称性: = ,(4) (m) = m() = (m),(5) (+) = + ,(6) ( )2+()2 = 2 2,例7. 已知| = 3, | = 11, 且 = 30. 求| |.,(1) =, /,| | = | | |sin,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,5. 直角系 下外积的坐标计算,(2)设 = (a1, a2 , a3), = (b1 , b2 , b3), 则,(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),(1),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积, = i + j + k,注: = (a1, a

9、2, a3)与 = (b1, b2, b3)共线 = , = , ,注: 为任意值, 不共线,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例8. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,A,分析: P到AB的距离可看作底边AB上的高.,解1：,解2：,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例9. 已知向量 = (1, 2,1), =(1, 1, 1), 且 = 8, 其中 = (1, 2,1), 求 .,解法1：,设 = (x,y,z), 由题设知，,解法2：,解得 = (x,y,z)=(1,-2,3).,第三章 几何空间,3.3 向量的向量

10、积和混合积,例10. 已知向量, , 有共同起点但不共面, 求以它们为棱的平行六面体的体积V.,V = (),S = |,h = (),解：,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,二. 三个向量的混合积,1. , , 的混合积: (, , ) = (),2. 几何意义,设, , 为不共面的三个向量, 将它们平 移到同一起点.若它们符合右手法则, 则 与()在与 所 成平面的同侧, 于是,V = ( ) ,若与()在与 所成平面的两侧, 则, V = ( ) ,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,二. 三个向量的混合积,1. , , 的混合积: (, , ) = (),2.

11、 几何意义,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,注: 轮换对称性,() = ( ) = (),|() | =以, 为相对棱的平行六面体的体积,=以, 为相对棱的四面体体积的6倍, = i + j + k,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),4. 直角系下混合积的坐标计算,() = A31 c1+A32 c2+A33 c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,=,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,注: 对于向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 和 = (c1,

12、 c2, c3), 采用行列式的记号, 我们有,() =, =,三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是, () = 0,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积, (),三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是, () = 0,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,推论3.2 向量, , R3共面 存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k1 +k2 +k3 =. 存在一个向量可由其余向量线性表示. 齐次线性方程组(

13、T, T , T ) = 有非零解. r(A) = r(T, T , T ) 3 , , 线性相关., (),3. 性质（即行列式的性质）,(1) (, , ) = 0,(2) (, , ) = (, , ),(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ),(4) (m, , ) = m(, , )=(, m, )=(, , m),(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,注: 结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质. 如: (, 1+2, ) = (, 1, ) + (, 2, ); ( +m, , ) = (, , ), 等等.,=

14、(, , ) = (, , ),= (, ,) = (, , ),轮换对称性,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例11.试证(2, + +3, + ) = 6(, , ).,证明：,(2, + + 3, + ) = (2, 3 , + ),= 6(, , + ),= 6(, , ),= 6(, , ),第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,向量的数量积、向量积和混合积,| |=| | |sin =S,正定性,线性性, Schwartz不等式,反对称性 = , =0 , = /, = a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面体),轮换对称性,

15、 行列式的性质,(, , ) =0 共面,第三章 几何空间,例12.由定理3.3可知, 在空间中任取三个不共面 的, , 后, 空间中任一向量 都可以由, , 唯一的线性表示, 即存在唯一的实数 组(x, y, z), 使得 = x + y + z. 下面我们去求x, y, z的值.,(, , ) = (x + y + z, , ),= (x, , )+ (y , , )+ (z, , ),= x(, , )., , 不共面，则(, , ) 0.,解：,Cramer法则,第三章 几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程

16、,3. 特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,P,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0,2. 一般方程,Ax+By+Cz+D = 0,平面方程是三元一次方程, 而三元一次方程必然表示一个平面.,P0(x0, y0, z0),P(x, y, z),其中D= Ax0 By0 Cz0,第三章 几何空间,第一章 向量代数 平面

17、与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 特殊位置的平面方程,(1)过原点的平面: Ax+By+Cz = 0,(2)平行于x轴的平面:,平行于y轴的平面: Ax+Cz+D = 0,平行于z轴的平面: Ax+By+D = 0,(3)平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0,平行于xoz面的平面: By+D = 0,Ax+By+Cz+D = 0,若A0，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0) = 0,P0(-D/A,0,0),By+Cz+D = 0,Cz+D = 0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例13. 求通过点P0(1,2,3), 且,注: 确定A,

18、 B, C, D的值;,作图时应标注一些特殊点, 如与坐标轴 或坐标平面的交点.,(1)通过x轴;,(2)平行于yoz平面,的平面方程, 并且分别作出它们的图形.,By+Cz=0,2B+3C=0,3y-2z=0,Ax+D=0,A+D=0,x 1=0,4. 三点式方程,经过不共线三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面, 的方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,4. 三点式方程,5. 截距式方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3.

19、特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,第三章 几何空间,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,P,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 标准(对称)方程,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,P,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 标准(对称)方程,zR,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,3. 一般方程,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,4. 两点式方程,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) 的直线L的方程为,第三章 几何空间,