5杨沐浅析信息学中的分与合

1、浅析信息学中的“分”与“合”,福建省福州第三中学 杨沐,引言,分 “分”的思想是将一个难以直接解决的大问题，转化成一些规模较小或限制某些条件的子问题来思考，以求将问题解决。,合 “合”的思想与“分”相对，是将一些零散的小问题的解决合并成一个大问题，从而取得整个问题的解决。,话说天下大势，合久必分，分久必合,引言,例一牛奶模版 例二树的重建 例三最优序列,二分 化归,运用“分”与“合”思想方法解题的精髓在于通过在“分”与“合”之间的转化，找出解决问题的关键，从而解决问题。 “分治法”是运用“分”与“合”思想方法解题的重要应用，此外，“分”与“合”的思想方法还有更多、更广泛的应用。,N,K限制下最

2、优化问题N,K,Len限制下存在性问题,规模为n的问题规模为n-1的问题,例三最优序列,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过K个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1K，M100,例三最优序列,输入数据： N=10，M=4，K=2 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8 输出答案： 36 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8,例三最优序列分析,动态规划 线段树？ 怎么办？,“分”,超时,无从入手,O(2MN)！,O(21001000),例三最优序列“分”繁为简,动态规划之所以不可行，原因在于题目中K和M的范围太大

3、了！ 利用“分”的思想，我们尝试限制K，令K=1，也就是对于长度为M的子串，最多只选一个元素作为原题的一个子问题：,例三最优序列子问题,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过1个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1M100,例三最优序列“分”繁为简,对于这个子问题，由于K做了限制，我们可以用动态规划来解决这个问题。 设dpi表示前i个元素，在满足题意的前提下选出的最大和 dpi=max(dpi-1,dpi-M+valuei) iM dpi=max(dpi-1,valuei) 0iM dp0=0,例三最优序列进一步分

4、析,子问题,原问题,是否可以通过求解K次的子问题从而解决原题呢?,1,K,例三最优序列进一步分析,命题 原问题的解集等价于由K组互不相交的子问题的解组成的解集。 引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。,引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 证明 对于原问题的任意一解P=a1,a2,a3at，a1a2a3at。设sumi表示该解在区间1,i内取出的元素个数，则根据题意满足不等式： sumi-sumi-MK,以下，我们给出一种构造法使之能产生一组与该解等价的K个子问题的解。 设K个子问题的解分

5、别为P0,P1,P2Pk-1， 令Pi=aj | ji (mod K) sumi-sumi-MK ai-ai-kM P0,P1,P2Pk-1均为合法的子问题的解 又因为P0P1P2Pk-1=P，因此我们成功地构造出了子问题的解。,引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。 证明 设K个子问题的不相交的解分别为P0,P1,P2Pk-1 ， Pi=ai1,ai2,ai3ail，ai1ai2ai3ail 对于任意长度为M的区间，Pi至多只有一个元素在其内部,设P=P0P1P2Pk-1， 则对于任意长度为M的区间，P在其内部选出的元素个数不超过K个 任意K组互不相交的子问题的解的并都是原问

6、题的合法解。 引理一与引理二分别证明了命题的充分性和必要性，因此该命题成立,例三最优序列进一步分析,题目中存在着一个潜条件，即： 每个元素只能被选一次 若直接套用K次动态规划来求解，有可能导致某个元素被取多次，无法满足题目中的这个条件。,例三最优序列进一步分析,N=10，M=4，K=2 3 3 3 3 动态规划：12 贪心：9,标准答案：10,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,并 1 3 1 3 1,并 1 3 1 1 3 1,考虑动态规划与贪心之所以不能得到正确解，其关键原因在于题目中存在着一个元素只能被取一次的限制，而对于这种限制各点被选取次数的题目，我们通常使用网络流来解决，那么这

7、道题是否也能通过转化图论模型来使用网络流解决呢？答案是肯定的。,例三最优序列整体分析,例三最优序列整体分析,构造带权网络G=(V,A,C) 序列中的每个元素i用顶点i与i表示，ii连边，容量为1，费用为该元素的数值valuei，图中包含源S与汇T。 所有点i向点(i+1)连边，容量为+ ，费用为0 源S向所有点i各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向汇T各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向点(i+M)连边，容量为+ ，费用为0,3,2,1,n,1,2,3,n,T,S,容量 = 1 费用 = valuei,容量 = + 费用 = 0,例三最优序列整体分析,构图完成之后，网络中的每个单位

8、流量表示一个子问题的解，因此，我们只需要在网络中寻找K次最大费用增广路即可得到答案。 由于这张图的边数与顶点数同阶，若使用SPFA算法求增广轨，则期望时间复杂度仅为O(KN)，是个十分优秀的算法。,总结,分,合,对立,统一,辨证关系,分中有合，合中有分,转化,“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性。,善于归纳总结,勇于创新,谢 谢,总结：“分”与“合”虽然对立，却没有明显的分界。一道问题若使用“分”的方法，则必然有“合”的操作，正所谓“分中有合，合中有分”，这两者相互对立，各有优势，却又

9、相互补充，“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性，这正体现了两者之间的辨证关系。 运用“分”与“合”的思想，对于不同的题目需要不同的分析，其精髓就在于“转化”。无论是“分”还是“合”都是朝着将问题转化为更加便于思考的方向前进，而在这路途中，又需要我们善于归纳总结。只有将已有的知识与“分合”思想有机地结合起来，同时勇于创新，不断积累经验，我们才能从千变万化的题目中找寻出本质，从而更快更有效地解决实际问题。,整体,部分,网络流！,转化目标,动态规划,贪心,小结,线段树无法解决该题的原因,因为原问题是要求对于任意长度为M的区间，都限制了取数不超过K个。而这些区间有互相有交，这使得线段树很难准确的表示一个状态并进行处理。 更重要的是，线段树只是一个用来提升算法效率的辅助工具