数学物理方法课件：场论的基本概念

1、场论的基本概念,数理方法课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的学习至关重要；,场的概念,场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定了该物理量的场。,场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；,场的分类：数量场和矢量场 物理量是否具有方向性；,场的分类：稳定场和不稳定场 物理量是否随时间改变；如：定常流，非定常流。,数量场的梯度,数量场的记法 u(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的单值函数，记为u(M). 要求，u存在连续的一阶偏导数。,数量场的梯

2、度,方向导数是否有界？,梯度的概念 数量场u在点M处存在这样的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向导数最大，以此最大值作为G(M)的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度，记为 G(M)=grad u(M),那么，在什么方向上，方向导数最大呢？,记l0是射线l上的单位矢量。,表示变化率，有界。,数量场的梯度,那么，在什么方向上，方向导数最大呢？ 矢量l和 同方向时。,向量夹角,数量场的梯度,矢量l和 同方向时，方向导数最大，因此，梯度为的方向就确定了。,分别是x, y, z方向的单位矢量。,但是，其长度呢？,梯度的概念 数量场u在点M处存在这样的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向导数最大，以此

3、最大值作为G(M)的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度,解：,数量场梯度：举例,方向导数、梯度的数理含义,数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大的方向。,例如：梯度在热传导中的物理解释 热量从温度值较大的等温面流向值小的等温面。,例如：物体在光滑曲面滑落 其经过路径各点的方向上，重力势场具有最大的方向导数。,矢量场的散度和旋度,矢量场的记法： A(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的矢量函数，记为A(M) A(M)P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 其中，P, Q

4、, R称为矢量场A(M)的坐标。,矢量线 曲线上每一点M处，场矢量A(M)都位于该点的切线上。 例如：流场中的流线，磁场中的磁力线。,通量 矢量场A(M)通过某曲面S的矢量线数， 称为通量。 例如，通过某曲面的流量，即是通量。,面积微单元矢量,矢量场的散度,散度 在场中M点处，穿出包含M点的任意闭曲面S的通量对体积的变化率 其中， V是S包含的区域。,记为divA(M),面积微单元矢量,矢量场的散度,因此，散度的微分形式为,矢量场的散度：例,矢量场的旋度,环量 矢量场A(M)沿有向闭曲线L的曲线积分 称为矢量场A沿L的环量。 例如：质点受力场F沿闭曲线L运动所作的功； 速度场的环流量等。,环量面密度 在矢量场A(M)中，取过点M0且以给定方向n作为切面法向的微小曲面S，场A在S的边界L上的环量对面积S的变化率,矢量场的旋度,环量面密度 选择不同的方向n，有不同的微小曲面S，那么有不同的环量面密度。 总有一个方向