数字电路课件：第2章逻辑函数与逻辑门

1、第二章 逻辑函数及逻辑门,杭州电子科技大学电子信息学院,教材原著：数字电路 龚之春 编著,逻辑函数,用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态,第二章 逻辑函数及逻辑门,1、基本逻辑运算,设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0” 灯亮，L=1 灯不亮，L=0,与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。,1)与运算,与逻辑表达式：,一、逻辑运算,2）或运算,或逻辑表达式： LA+B,或逻辑当决定一件

2、事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。,3）非运算,非逻辑表达式：,非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,2、其他常用逻辑运算,2）或非 由或运算和非运算组合而成。,1）与非 由与运算 和非运算组合而成。,3）异或,异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。,异或的逻辑表达式为：,4）同或（异或非）,二、逻辑函数的运算定律及规则,常用公式： 1）摩根公式：,推广,证明：,2),*逻辑规则,1）代入规则：,指在一个逻辑等式中，如将其中某个变

3、量，都代之 以另一个逻辑函数，则该等式依然成立,在摩根律,中用BC代替B，得,2）对偶规则,一个逻辑函数Y，如将其中的与换成或， 或换成与， 0换成1，1换成0， 而变量及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数Y*，便是原函数Y的对偶函数。,与或互换、0和1互换，变量和反变量不变，非不变,3）反演规则,将某逻辑函数Y中的“与”与“或”对换， 0和1对换， 原变量和反变量也同时对换， 这样对换后的新函数，便是原函数Y的反函数 。,与或互换、0和1互换 ，变量和反变量互换。,举例,三、逻辑函数的表示方法,1真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的 函数值排列在一起而组成的表格。,2函数表达式由

4、逻辑变量和“与”、“或”、“非”等多种运 算符所构成的表达式。,3逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。,4波形图由输入和输出的波形图可构成函数的对应形式。,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函数值为1的项,1, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项, 这些乘积项作逻辑加,解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于函数F设： 事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。,例1. 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则 决定，试建立该逻辑函数。

5、,第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。,由真值表可以转换为函数表达式。 由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：,解：该函数有两个变量， 有4种取值的可能组合， 将他们按顺序排列起来 即得真值表。,反之，由函数表达式也可以转换成真值表。,例2 列出下列函数的真值表：,例4 写出如图所示 逻辑图的函数表达式。,由函数表达式可以画出逻辑图。,解：可用两个非门、 两个与门 和一个或门组成。,由逻辑图也可以写出表达式。,解：,例3 画出函数 的逻辑图：,等式右边,公式可推广：,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,用真值表证明,例7、试用真值表证明,1）

6、、最小项和最大项,2、函数表达式：与或式,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,最小项,二进制数,十进制数,编号, 最大项,n个变量有2n个最大项，记作i,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,M0,M1,000,001,0,1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,010,011,100,101,110,111,2,3,4,5,6,7,最大项,二进制数,十进制数,编号,

7、最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即:,mi =,Mi,Mi =,mi,若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,2）、逻辑函数的标准形式,解：F(A、B、C),解:, 从真值表找出F为1的对应最小项,解:, 然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),例11：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式, 从真值表找出F为0 的对应最大项,解:, 然后将这些项逻辑乘,F(A、B、C),完全描述的逻辑函数：真值表中各行的输出都是明确的， 非0即1,非完全描述的逻辑函数：真值表中有些行的输出是明确的， 还有些行的输出是

8、未加规定的 ， 称为无关项或任意项，用d和D表 示。,3）、未完全描述函数的真值表及表达式,例、试写出表中所示真值表的逻辑函数,解：,表中有两行是任意项,将任意项作1看待， 函数的最小项之和表达式为,将任意项作0看待， 函数的最大项之积表达式为, 逻辑电路所用门的数量少, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路构成级数少, 逻辑电路保证能可靠地工作,四、逻辑函数的简化,最简式的标准, 首先是式中乘积项最少, 与或表达式的简化,1、代数法化简函数,与门的输入端个数少, 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB,代数法化简函数,解：,2.卡诺图化简函数, 卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,

9、1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,四变量卡诺图：,图形法化简函数, k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；, k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。, 相邻情况：上下，左右，上下底，左右边，四角相

10、邻。（相对）,相对相邻,图形法化简函数, k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。,图形法化简函数, 与或表达式的简化, 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0。,合并：按作圈原则将图上相邻填1的 个 方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。, 每个圈写出一个与项。按取同去异原则, 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式, 根据函数填写卡诺图,1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格 填1，其余格均填0。,2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的 那些最小项对应的方格填1，其余格均

11、填0。,3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式， 再用直接法填写。, 作圈的步骤,1、孤立的单格单独画圈,2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必 须有新的最小项,3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项,图形法化简函数,F(A,B,C)=BC+AC+AB,圈1法, 含有无关项的函数的化简, 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号“-”、“”、“d或“”。,处理方法：,对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定的。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项, 化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。,图形法化简函数,例1 画出函数Y=f(A,B,C,D

12、)=m(2,5,8,10,12,14,15) 的卡诺图,例2 画出函数Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡诺图,化简：函数Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10),化简：函数Y=f(A,B,C,D)=m(2,5,8,10,12,14,15),圈0法：可得到最简或与式,5）多输出函数的化简,用卡诺图对变量相同的多个输出函数进行化简时，应圈出尽量多的公共项,例：试用卡诺图化简多输出函数：,解：先画出相应的卡诺图,按尽量圈公共项的原则，可得：,6）禁止逻辑,设有函数 ，其卡诺图如图所示：,用圈1法，可

13、得：,若将图中原为0的3号小格 打上阴影线，它应为禁止项,现在先将该禁止项圈进，得 新函数 ，再 乘上禁止项之非 ，便得：,例：试用阻塞法化简函数,解：将函数画成卡诺图,发现如按圈1法，已是最简的积之和表达式,若令 为禁止项， 则可写出：,该表达式具有较少的门电路和连线,与: 相应格的值相与,或: 相应格的值相或,反函数: 每个格的值取反,对偶函数: 每个格填上对偶项值的非 m0-M15 m1-M14 m2-M13 ,五、卡诺图运算,六、降维卡诺图（不要求掌握降维卡诺图的合并化简）,一个五变量函数，可以填入四变量的卡诺图中，小格中除常量0、1及任意项“”外，还会出现另一个变量，后者就称为图记变

14、量，而这种卡诺图就成为降维卡诺图。,将A选作图记变量，合并卡诺图,选B为图记变量，降成三变量式的 卡诺图,A=0 A=1,较难:不要求掌握,五、逻辑门、符号和变换,1、逻辑符号 （GB4728.12-85）,1逻辑单元符号：,2输入输出记号：,状态记号,电平记号,非门,逻辑符号： （GB4728.12-85）,1图形符号的三种形式,2、门电路符号：,3、表达式电路图：,1用与非门实现（Y=AB）,与：Y=AB=AB,非：Y=A=AA,或：Y=A+B=A+B=A B,或：一端为A，一端接1,2用或非门实现（Y=A+B）,或：Y=A+B=A+B,非：Y=A=A+A,与：Y=AB=AB=A+B,或：

15、一端为A，一端接0,例1：分别用与非门和或非门表示异或,Y=AB=AB+AB=AB AB,Y=AB=AB+AB=A+B +A+B,函数表达式的常用形式（重点掌握）, 五种常用表达式,F(A，B，C),“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式, 表达式形式转换,利用反演律,特定的逻辑问题，对应的真值表是唯一的，实现的逻辑函数有多种形式，对应的逻辑电路图的形式有多种。,例1：多输入与或非门,4、电路图表达式,分析下列电路写出逻辑表达式,5、其他表示法（了解）,1开关网络（p54）,2文氏图(p55),3表格法化简(p56),A,B,F,VL VL,VL,VL,VH,VL,VL VH,VH VL,VH VH,电平关系,正逻辑,负逻辑,正与 = 负或,正或 = 负与,正与非 = 负或非,正或非 = 负与非, 在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈，当一根线上有两个小圈，则无需画圈, 原来的符号互换（与或、同或异或）,（与门）,（或门）,六、正逻辑与负逻辑,逻辑约定：, 几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进 制以及相互间的转换, 码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的BCD码,任意