《数学物理方法》第十章行波法与平均值法

1、第十章 行波法与平均值法,本章用行波法和平均值法讨论波动方程的初值问题 行波法的基本思想是：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解,2,平均值法,平均值法是将行波法一维的结果推广到三维它通过以观察点为球心,r为半径的球面上计算待求函数u的平均值来实现 这样，后者只依赖于一个空间变量r,便可直接利用行波法的结论,10.1 无界弦的自由振动达朗贝尔公式及其推广,本节用行波法讨论无界弦的自由振动，得到达朗贝尔公式，然后利用延拓法将达朗贝尔公式推广到半无界弦的自由振动问题,4,10.1.1 无界弦的自由振动,所谓“无界弦”并不是无限长的弦，只是我们所关心的那一段弦远离两端，在我们讨论的

2、时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而可认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件，定解问题就变成初值问题了； 又因为弦没有受强迫力的作用，弦的振动是自由的，故波动方程是齐次的,5,无界弦自由振动的定解问题是,式中，j(x)是初位移， y(x)是初速度,6,10.1.2 用行波法解,(1)求偏微分方程的通解为此，作变量代换,7,8,齐次波动方程(10.1.1)可简化为uxh= 0.对h积分，可得 ux = f(x) f(x) 是与积分变量h无关的“积分常数项”，由于这里有两个独立变量，这个“积分常数项”可为另一变量x的函数f(x), 再对x积分,同理 f(h)是与积分变量x无关的

3、“积分常数项”，它可以是另一变量h的函数,9,将式(10.1.4)、式(10.1.5)代入上式，即得方程(10.1.1)的通解 u(x,t)f1(x+at) + f2(x-at) (10.1.9) (2) 利用定解条件来确定函数f1和f2 将式(10.1.2 )、式(10.1.3)与式(10.1.9)联立，可得,将式(10.1.11)对坐标积分后除以a，便有 其中C= f1(x0)-f2(x0), s为积分变量.,10,由式(10.1.10)与式(10.1.12)得,将上两式代入式(10.1.9)，并利用,(10.1.13),(10.1.13)是无界弦自由振动问题的解，称为达朗贝尔公式,11,

4、10.1.3 解的物理意义,分别讨论只有初位移和初速度的情形 (1)、若j(x)0，则 先看第二项的意义，1/2j(x-at)表明：t = 0 时刻，在任一点x处的位移值为1/2j(x) ，而t时刻在(x+at)处的位移值为 1/2j(x+at)-at= 1/2j(x) 两者正好相等。,12,这说明t = 0时刻位移的波形经过时间t以后刚好移动了at的距离.可见言1/2j(x-at)代表以速率a沿x轴正向传播的波. 同理，第一项1/2j(x+at)-则代表以速率a沿x轴负向传播的波。 这两列波的叠加给出y(x) =0条件下弦的位移u(x,t)。,13,(2)若j(x)0，则,设G(x)是y(x

5、)的原函数G(x)= y(x) ，则 可见这两项代表沿x轴正、负向传播的波，它们的叠加给出j(x)0条件下弦的位移. 总之，无论存在初位移还是存在初速度，达朗贝尔解均表示沿x轴正、反向传播的二列波的叠加.,14,【例10.1.1】无限长弦在点x=xo受到冲击，冲量为I, 弦的线密度为r，试求解弦的振动.,解 将弦受冲击的时刻定为时间起点(t=0).其后，弦不受外力作用，故泛定方程为齐次波动方程。在t=0弦受冲击时，由于弦还来不及发生位移，故其初位移为零，而初速度可用d函数描述，参看习题9.1.5。 定解问题为,15,将初位移j(x)=0, 初速度,代入式(10.1.13)后，再作变换x = s

6、-x0，则 利用阶跃函数的导数H(x)d(x)代入上述积分，可积出,16,10.1.4 半无界弦的自由振动,利用延拓法将达朗贝尔解推广到半无界弦的自由振动问题. 1. 端点固定 定解问题是,要在保持边界条件u(x,t)=0不变的基础上，把半无界问题转化为无界问题来处理,17,为此，必须把u(x,t)、j(x)和y(x)延拓到整个无界区域，将式(10.1.13)代入式(10.1.16)，得,由于初位移和初速度是独立的，故上式两项分别为零，即,由此可见， j(x)及y(x) 应为奇函数.,18,现在将j(x)和y(x)从半无界区域奇延拓到整个无界区域，即令,定解问题已变为无界弦自由振动的定解问题,

7、19,由达朗贝尔解得,注意: j(x-at) 项当宗量 x-at 取正值或取负值时，要按式(10.1.17a)分别用 j(x-at) 及 -j(at-x) 表示；而积分项当 t x/a，即s0时也应按式(10.1.17b)，作如下变换,20,2.端点自由 定解问题是,同理，将达朗贝尔解代入ux(0,t)=0，得 又由初位移与初速度独立，得 可见j(x)及y(x)均应为x的偶函数(注意函数与它的一阶导数奇偶性相反).,21,现在将j(x)和y(x)从半无界区偶延拓到整个无界区域，令,定解问题变为,22,由达朗贝尔解得,由上两例可见，对于第一类边界条件，应作奇延拓；而对第二类边界条件，应作偶延拓。

8、读者可与11.3节的例题比较,(10.1.27),23,作业- 10.1 第205页,10.2 三维无界空间的自由振动 泊松公式,本节用平均值法讨论三维无界空间的自由振动，得到泊松公式,25,10.2.1 平均值法的基本思想,三维无界空间的定解问题是 这个定解问题要求的是在 t 时刻，在场点M的波函数 u(M,t)。 平均值法是要将一维的结果推广到三维。,26,其中M是球面SrM上的变点, dS是球面SrM上的面积元,的是dS对球心M所张的立体角。 u(M,t)与u(r,t)的关系是,(10.2.4),(10.2.5),为此,引入u(x,y,z,t)在以M为中心，r为半径的球面SrM 上的平均

9、值,27,u(r,t)只依赖于一个空间变量r。因此, 只要找出u(r,t)满足的方程，就可以利用上节的结果求出u(r,t)的通解，再由式(10.2.5)及初始条件即可求得u(M,t)，这就是平均值法的基本思想。,28,10.2.2 u(r,t)满足的方程,设VrM是SrM包围的球体积，对式(10.2.1)作体积分后乘以1/4p，再利用高斯定理，即有 上式左端改变积分与微分的次序,并利用 中用dr而不用dr是为了避免与积分上限的r相混),得,29,将式(10.2.6)与式(10.2.7)联立,可得,在上式两端对r求导,并在左端利用 积分后，将SrM变回为SrM 随后再除以r2，可得,由 u的定义

10、有,30,上式两边乘以r, 由于r与t为独立变量, 故上式左边的r可移入求导符号内 上式右边利用常偏导数公式 便可证明 ru 遵守一维齐次波动方程,31,10.2.3 由u(0,t)得u(M,t)的通解公式,方程(10.2.8)的通解已由行波法给出见式(10.1.9)，注意这里是(而不u)遵守一维齐次波动方程 ru(r,t) = f1(r+at)+f2(r-at) (10.2.9) 在上式中令r=0后,对t 求导, 得,在式(10.2.9)两端对 r 求导, 得,32,式(10.2.9)左边求偏导之后，得,在上式中令r = 0, 得 再将式(10.2.5)及式(10.2.10)代入, 即有,(10.2.12),33,10.2.4 泊松公式,利用初始条件确定函数f1(at)的形式 在式 ru(r,t) = f1(r+at)+f2(r-at) 两端对t求导后除以a, 得 由式(10.2.11)与式(10.2.13)相加,得,34,在(10.2.14)式中令t=0,并将初始条件式(10.2.2)、式(10.2.3)代入, 便有,在上式中令r = at, 并与式(1