第二类曲线积分

1、.,第十章,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分,二、第二类曲线积分的概念与性质,一、向量场,三、第二类曲线积分的计算,.,一、向量场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,画向量场,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度场和保守场,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,.,二、对坐标的曲线积分,定向曲线与切向量：,定向曲线：带有确定走向的一条曲线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 L 的切向量为：,.,分割,解:,机动 目录 上页

2、下页 返回 结束,“分割, 近似, 求和, 取极限”,求变力沿曲线所作的功，利用,近似,例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。,.,求和:,取极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量形式,坐标形式,则,.,对坐标的曲线积分的定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,上式也称为第二类曲线积分的向量形式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分也称为向量场的线积分。,.,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质1：,性质2：,性质3：,.,第二类曲线积分的坐标表示,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,若

3、上式左端的极限存在，则右端的极限也存在,记为,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,.,（2）若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的关系,.,证明：,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面曲线的情况完全类似推导。,故,.,解1：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,解2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,.,四、对坐标的曲线积分的计算,定理（平面曲线的情形）,机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：a 未必小于 b。,.,特殊情形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,(4) 若曲线 L 的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,.,定理（空间曲线的情形）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,注意：两类曲线积分之间区别,（1）第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分； 第二类曲线积分是向量函数的各分量函数 对坐标的积分。,（2）第一类曲线积分与路径的方向无关，化成 定积分时，下

5、限总小于上限； 第二类曲线积分与路径的方向有关（方向 改变，积分值变号），化成定积分时，下 限未必小于上限。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）对于第二类曲线积分，当积分弧 L 是垂直于某坐标轴的直线段 AB 时，对该坐标的积分为零，即,空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。,说明：,（1）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。,.,例3:,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例4：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束,.,一般情况下，第二类曲线积分的值，不仅与积分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。,例3说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在有些情况下，第二类曲线积分的值，仅与积分路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积分但结果相同。,例4说明：,.,例5. 求,其中 L 是双纽线的右半支,逆时针方向。,解: L 的极坐标方程是：,L 的参数方程是：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,奇函数,.,例6. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:

7、 取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例7.,解:,动到,向坐标原点，,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比。,沿直线移,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例8：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图,则,.,例9：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在 t 时刻：,单位时间流出的油漆为：,.,1. 定义,2. 性质,(1) L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 计算, 对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

8、 若曲线 L 的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,., 对空间有向光滑弧 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,区别：,第一类曲线积分与路径的方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。,4. 两类曲线积分的联系与区别,联系：,.,作业,习题9-2(P250) 1(3)(6)(7)(8)； 2(2)(4); 3; 5；7,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,.,1、,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,.,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,原点 O 的距离成正比,4、 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,逆时针移动到,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解1：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解2：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,6：设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,机动