学案4三角函数的性质.ppt

1、学案4 三角函数的性质,三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调性,题型以选择题和填空题为主,有时也会出现解答题.,1.三角函数的图象和性质:,性 质,函 数,R,R,-1,1,-1,1,R,返回目录,偶,奇,奇,2.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做 . 叫做这个函数的周期.把所有周期中存在的最小正数,叫做 (函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+ )或 y=Acos(x+ )(0且为常数)的周期T= ,函数y=Atan(x+ )(0)的周期T= .,周期函数,非零常数T,最小

2、正周期,考点1 三角函数的定义域,求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx-1)+ ; (2)y= .,2sinx-10 1-2cosx0 的x值,可用图象或三角函数线解决;第(2)小题解不等式组 2+ 0 tanx0,【分析】第(1)小题实际就是求使,然后利用数轴求解.,【评析】 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式 (或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位 圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.,(1)函数y=lg(sinx-cosx)的定义域为 ； (2)求函数

3、y= 的定义域.,(1),求下列函数的值域： （1）y=sinx+cosx+sinxcosx; （2）y=2cos( +x)+2cosx.,（1）令t=sinx+cosx，则有 t2=1+2sinxcosx, 即sinxcosx= . y=f(t)=t+ = ( t+1)2-1. 又t=sinx+cosx= sin(x+ ), - t . 故y=f(t)= (t+1)2-1(- t ), 从而知：f(-1)yf( )， 即-1y + . 则函数的值域为 1, + .,（2）y=2cos( +x)+2cosx =2cos cosx-2sin sinx+2cosx =3cosx- sinx=2 (

4、 cosx- sinx) =2 cos(x+ ). cos(x+ )1, 该函数值域为-2 ,2 .,【分析】化为一角一函求出,再由平移得到y=g(x)解析式,利用整体代换求出y=g(x)的单调增区间.,设函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x(0)的最小正周期 为 . (1)求的值； (2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到的.求y=g(x)的单调增区间.,考点3 求三角函数的单调性,【解析】 (1)因f(x)=sin2x+sin2x+cos2x+2cos2x =sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2, 依题意得 = ,故= .

5、 (2)依题意得g(x)= sin3(x- )+ +2 = sin(3x- )+2. 由2k- 3x- 2k+ (kZ), 解得 k+ x k+ (kZ). 故g(x)的单调增区间为 k+ , k+ (kZ).,【评析】解题（1）时，容易直接由已知得 f(x)= sin(2x+ )+2而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完整性.,【解析】方法一：y=cos(-2x+ )=cos(2x- ), 由2k2x- 2k+(kZ), 得k+ xk+ (kZ)， 即所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).,求函数y=cos(-2x+ )的单调减

6、区间_.,方法二：t=-2x+ 为减函数，且y=cost的单调增区间为2k-,2k(kZ), 由2k-2x+ 2k,kZ, 得-k+ x-k+ (kZ). 所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).,设函数f(x)=Asin(x+ )(其中A0,0). (1) 取何值时，f(x)为奇函数； (2) 取何值时，f(x)为偶函数.,【解析】(1) xR,要使f(x)是奇函数，即f(x)+f(-x)=0, 即Asin(x+ )+Asin(-x+ )=0, 2Asin cosx=0. cosx不恒为0， sin =0,解得 =k(kZ). 即 =k(kZ)时，f(x)为奇函数.,考点4 三角函数的奇偶

7、性,（2）f(x)是偶函数， f(x)-f(-x)=0, 即Asin(x+ )-Asin(-x+ )=0. 得2Acos sinx=0, sinx不恒为0， cos =0,得 =k+ (kZ). 即 =k+ (kZ)时，f(x)为偶函数.,【评析】本题利用定义判断函数的奇偶性，求出的取值.本题中的条件为充要条件，同学们可以记住结论，在选择、填空题中直接用.,【解析】,1.求三角函数周期的常用方法是：经过恒等变形化成“y=Asin(x+),y=Acos(x+),y=Atan(x+)”的形式，再利用周期公式即可.2.求函数的单调区间及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用.主要是通过恒等变形将函数式转化为基本三角函数类型，但要注意变形前后的等价性.,1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(x+ )