阅读与思考函数概念的发展历程.ppt

1、函数概念的发展历程,德国 F.克莱因：,F.克莱因（F.Klein,18491925）,“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。”,“以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”,一、函数概念的形成与演变,1函数以表格、曲线形态呈现,一一对应思想是函数概念形成的基础,约在3万年前,伏羲时代,I II III IV V,公元前1600年以前巴比伦人的数学泥板,晷影差分表,唐一行( 张遂, 683727),在14世纪，法国奥雷斯姆(N. Oresme，1320 -1382) 运用曲线表示速率与时间之间的关系,函数的早期形态。,在17世纪，函数更多地以曲线的形态呈现出来,如 log

2、x, sinx，等初等超越函数 做曲线来研究的。,2. 函数是变量,functionfkn： 功能，作用 职务，职责 盛大宴会、仪式 【数】函数,“function”(函数)一词，在数学中最初出现在解不定方程。,已经蕴含了一种依赖关系,1673年，德国莱布尼兹的手稿里 “function”-表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。,莱布尼兹 （G.W. Leibniz,1646-1716）,“万能大师”,1692年，莱布尼兹第一次明确给出了函数定义: “像曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，所有与曲线上的点有关的量，即称为函数.”,此词出现前，Newton一直用“流量”一词

3、来表示变量间的关系。,3函数是解析式,1718年，约翰伯努利打破几何思想的束缚，给函数如下定义: “变量的函数是由这个量和常量组成的解析表达式.” （第一次扩充）,约翰伯努利(Johann Bernoulli，16671748年 )瑞士数学家, 欧拉(Leonard Euler， 17071783 )瑞士数学家,变数(x)和常数之间由加、减、乘、除、开方、三角、指数、对数等算法所构成的式子均称之为“解析的函数”。,1734年，欧拉以 “f( )” 表示函数，是数学史上首次以“f”表示函数。f (x)取自function一词的第一个字母。,但他认为 一个函数就是一个解析表达式，一个函数对应一条连

4、续曲线。,1748年，殴拉为使函数概念适应积分的需要，定义“函数是由手随意画的曲线”。,曲线分为三种: (1)能用语言或等式来表示曲线的本质定义的(如圆)叫第一种; (2)无法用语言或等式来表示曲线的本质的叫第二种; (3)用两条以上第一种线所构成的叫第三种. 他认为，只有第一种能用一个解析式y = f(x)或F(x,y) = 0表示，其它两种都不能. 所以把第一种曲线的解析式y = f(x)称为“真函数”，其它都是“伪函数”.,欧拉的这一函数概念受到达朗贝尔等人的严厉批评。数学家查尔斯（J. Charles）发现了即使是简单函数也存在着表达式不唯一的情形。如,看来，一个函数就是一个解析式的论

5、断是站不住脚的。,1755年，欧拉给出了一个新的函数定义: “如果某些量这样地依赖于另一些量，当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数.”（第二次扩充）,4函数是对应,在这个定义中，虽然包含了解析式给出的函数，也包含了曲线给出的函数，但并没有指出“某些量”和“另一些量”依赖关系有何特性.,柯西的函数定义: “对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数.” （第三次扩充）,柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）法国数学家,这个定义打破了欧拉“真函数”与“伪函数”的概念，把用分段解析式表示的关系式纳入函数定义，而且基本上摆脱了“解析表达式

6、”的要求, 侧重于关于变量间关系的认识. 不过柯西给出的具体例子仍考虑的是x和y的关系以若干个解析式表示的情形。 也就是说，在18世纪，人们把函数只局限在初等函数范围内，至多限于分段函数。,傅立叶(Fourier,17681830) 法国数学家、物理学家,1807年, 傅立叶在推导傅立叶级数时，发现一个函数可以表示成一个无穷三角级数。,高斯 (Gauss,17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家,1812年，高斯 (Gauss,17771855)把超几何级数作为的函数，其表达式是无穷级数.,1837，狄利克雷给出了新的函数定义: “如果对于给定区间上x的所有值都对应着完全确定的y值，

7、则称y是x的函数. 至于用怎样的方法建立所指出的对应关系完全不是重要的.”（第四次扩充）,狄利克雷(Dirichet,18051859) 德国数学家,他还举出一个著名函数例子，以说明函数概念的一般性。,狄利克雷的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。,5函数是关系,法国数学家达布（ G. Darboux，18421917）给出另一个函数,打破了人们对连续函数的直观理解,1861年举出了一个处处连续，但处处不可微的函数例子,“现代分析之父”,魏尔斯

8、特拉（Weierstrass， 18151897），德国数学家,其中a为奇数， b(0,1)为常数，使得,到了19世纪末，数学家们惊奇的发现，狄利克雷的函数定义，包含有出人意料的原则性问题.,设每个自然数N = 1, 2, 3, 对应着数,是不是N的函数呢？,例如，,德国康托尔(Cantor，18451918)的“集合论”创立之后，美国维布伦(Veblen，18801960)用“集合“给出了近代函数定义如下:,在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应这样的关系，那么，变量y叫做变量x的函数. （第六次扩充）,打破了“变量是数”的限制，强调对应关系的存在性,20世纪中叶，更广泛的函数概念：,设集合X、Y，我们定义X与Y的积集XY为 XY=（x, y）x X, y Y,积集XY中的一子集R称为X与Y的一个关系，若 （x, y