2016全国一卷理科数学高考真题和答案

1、.2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学一 . 选择题：本大题共12 小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .1. 设集合 Ax x24x 30 ， x 2x 3 0, 则 A I B（ A） 3, 3（ B）3, 3（ C） 1, 3（ D） 3 ,322222.设 (1 i )x1yi，其中 x, y 是实数，则xyi（ A） 1（ B） 2（C） 3（D） 23.已知等差数列an前 9 项的和为 27， a108，则 a100（ A） 100（B） 99（ C） 98 （ D） 974. 某公司的班车在 7:00 ，8:0

2、0 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是1123（ A） 3（B） 2（ C） 3（ D）45. 已知方程x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4, 则 n 的取值范围m2n3m2n是（ A） 1,3（ B）1,3 （C） 0,3（ D） 0, 36. 如图 , 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直28的半径 . 若该几何体的体积是, 则它的表面积是（ A） 17（ B） 187. 函数 y 2x2 ex 在（ A）22;.3（ C） 20（D） 282,2 的图

3、像大致为yy11O2 x （ B）2O2 xyy11O2 x2O2 x.（ C）（ D）8. 若 ab10，c1, 则（ A） acbc（ B） abcba c（ C） alog b cblog a c （ D） log a clog b c9. 执行右面的程序框图, 如果输入的 x0， y1， n1, 则输出 x, y 的值满足（ A） y 2x（ B） y3x（C） y 4x（ D） y 5x开始10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 、B两点，交C的准线A于、 两点.已知| AB|= 42 ,|DE|=25,则C的焦点到准线的距输入x,y,nD E离为n-1(A)2(B)4(C)6(D

4、)8n=n+1x=x+，y=ny211. 平面过正方体 ABCD-A B CD 的顶点 A,/ 平面 CBD,否11111122是x +y 36？I 平面 ABCD=m, I 平面 AB B1A1=n, 则 m、 n 所成角的正弦值为3(B)2(C)31输出x,y(A)23(D)32结束12. 已知函数 f ( x)sin(x+)(0，), x为24f (x) 的零点 , x为 yf ( x) 图像的对称轴，且f ( x) 在5单调，则的最大值为，41836（ A） 11（B） 9（ C） 7（ D） 5二、填空题：本大题共3 小题 , 每小题5 分13. 设向量a=( ,1) ，=(1,2)

5、，且 |+| 2=|a|2+| |2，则 =mba bbm14. (2 xx )5 的展开式中， x3 的系数是（用数字填写答案）15. 设等比数列 an 错误 ! 未找到引用源。 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2 an的最大值为16. 某高科技企业生产产品 A 和产品 B需要甲、乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为900 元该企业现有甲材料150kg ，乙材料 90kg，则在

6、不超过600 个工时的条件下， 生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三 . 解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.;.17. （本小题满分为 12 分）ABC 的内角 A， B， C的对边分别为a，b， c，已知 2cos C (a cos B+b cos A)c.（ I ）求 C；（ II ）若 c7 ，ABC 的面积为 3 3 ，求ABC 的周长218. （本小题满分为 12 分）如图，在以 A，B，C， D， E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90o ，且二面角D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是 60o （ I ）证

7、明：平面ABEF 平面 EFDC；DC（ II ）求二面角E- BC- A 的余弦值F19. （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器 , 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买 , 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器, 记 X 表示 2频数更换的易损零件数发生的概率台机器三年40内共需更换的易损零件数

8、, n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（ I ）求 X 的分布列；20（ II）若要求 P( Xn) 0.5 , 确定 n 的最小值；（ III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n19 与 n 20之中选其一 , 应选用哪个？0891011更换的易损零件数20. （本小题满分12分）设圆x2y22x 15 0的圆心为,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不A重合， l 交圆 A于 C,D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（ I ）证明 EAEB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；;.（ II ）设点 E 的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1 于 M,

9、N两点，过B且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P, Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知函数 错误 ! 未找到引用源。 有两个零点 .(I)求 a的取值范围；(II) 设 x1, x2 是 fx 错误 ! 未找到引用源。 的两个零点 , 证明： x1x2 2 .请考生在22、23、24题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分 .DC22.（本小题满分 10分）选修4-1 ：几何证明选讲O如图，是等腰三角形，=120. 以为圆心，1为半径作OABAOBO2OA圆 .AB(I) 证明：直线 AB与 O相切；(II) 点 C， D在 O上，且 A

10、， B， C， D四点共圆，证明： AB CD.23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程xa cost在直角坐标系xy 中，曲线 C1 的参数方程为错误 ! 未找到引用源。 （ t 为参数， ay1a sin t 0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： =4cos .2（ I ）说明 C 是哪一种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；11（ II ）直线 C3 的极坐标方程为0 ，其中 0 满足 tan 0123=2，若曲线 C与 C 的公共点都在C 上，求 a24. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数fxx12x3 .（ I

11、）画出 y f x 的图像；（ II ）求不等式 f x1 的解集;.2016 年高考全国1 卷理科数学参考答案题号123456789101112答案DBCBAADCCBAB1. Ax x24 x 3 0x 1 x 3 ， Bx 2 x 3 0x x3 x 32故 A IBx3 故选 D22. 由1 ix1yi 可知： xxi1yi ，故x1 ，解得：x1 x2y2xyy1所以， xyi2 故选 B3. 由等差数列性质可知：S99 a1a992a59a527 ，故 a53 ，22a10而 a108，因此公差 da51105 a100a1090d98 故选 C7:407:508:008:108:

12、208:307:304. 如图所示，画出时间轴：ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟根据几何概型，所求概率10101P故选 B4025.x2y21 表示双曲线，则222n3m2mn 3m n 0mn m2 n 3m2由双曲线性质知：c2m2n3m2n 4m2 ，其中 c 是半焦距焦距 2c 2 2 m4，解得m1;. 1 n 3故选 A6. 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1 后的三视图表面积是 78的球面面积和三个扇形面积之和S= 7822 +3122 =17484故选 A7. f 28e

13、282.820，排除 Af28e282.721 ，排除 Bx 0 时， fx2x2ex f x4x ex ，当 x0, 1 时， f x1 4 e00因此 fx在 0, 1C44单调递减，排除故选 D48. 对 A：由于 0c1，函数 y xc 在 R 上单调递增，因此 a b 1acbc ，A 错误对 B：由于1c10，函数 y xc 1 在 1,上单调递减， a b 1 ac 1bc 1bacabc ， B 错误对 C：要比较 alogb c 和 bloga c ，只需比较 a ln c 和 b ln c ，只需比较ln c和 ln c，只需 bln bln bln abln baln a

14、和 a ln a构造函数fxx ln x x1 ，则 f x因此 faf b 0aln a bln b0又由 0c1得 ln c0， ln cln caln ab ln b对 D： 要比较 loga c 和 logb c ，只需比较ln c和而函数 yln x 在 1,ln a上单调递增，故又由 0c1得 ln c0， ln cln cln aln b故选 C9. 如下表：ln x110 ， f x在 1,上单调递增，11a ln ab ln bblog a ca logb c ， C 正确ln cln b11a b1ln a ln b0ln aln blog a clog b c ， D 错

15、误循环节运x x xn 1y y ny判断是否n n n 1x2y2行次数236输出运行前01/1;.第一次01否否2第二次12否否32第三次36是是23 ， y 出 x6 ， 足 y4x2故 C10. 以开口向右的抛物 例来解答，其他开口同理 抛物 y22 px p 0， 的方程 x2y2r 2 ， 目条件翻 如 ：设 A x0 ,22， Dp , 5，2点 A x0 ,22在抛物 y22 px 上， 82 px0 点Dp , 5在圆x2y2r 2上，2 2 5pr 2 22 在 x2y2r 2 上， x02r 2 点 A x0 ,28 立解得： p4 ，焦点到准 的距离 p 4 DC故 B

16、AB11. 如 所示： 平面 CB1D1 ，若 平面 CB1 D1 I 平面 ABCDm1 ，则 m1 mC1D 1又平面 ABCD 平面 A1B1C1 D1 ， 合平面B1D1C I 平A1B 1面 A1 B1C1D1 B1 D1 B1D1m1 ，故 B1D1m同理可得： CD1n故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等，即CD1B1 的大小而 B1C B1D1 CD1 （均 面 交 ） ，因此CD1 B1，即 sinCD1 B13 32故 A12. 由 意知：+ k1 4 +k+ 则42k21 ，其2中 k ZQ f ( x) 在5 ，5 T ,12,36

17、181836122;.接下来用排除法若11,sin11x， f(x) 在 3递增，在3,5 递减，不满4，此时 f (x)418,444436足 f ( x) 在,5 单调1836 5若9,sin 9x，满足f ( x) 在单调递减，此时 f ( x)4,36故选 B41813.-214.1015 6416 21600013.rrm 1,3由已知得： abrr2r 2r 212m2121222 ，解得 m2 ababm3214 设展开式的第 k1项为 Tk1 ， k0,1,2,3,4,55kk5kC5kC5k 25 k x Tk 12 xx2 当 5k3 时， k4 ，即 T5C54 2554

18、4 x2 10x32故答案为 1015. 由于 an是等比数列，设 ana1q n1 ，其中 a1 是首项， q 是公比2a18 a1a310a1 a1q310 ，解得：1 117 249a2a45a1q a1q53qn 4n n7n1n 412 .1122224故 an， a1 a2 . an22217249172491n当 n3或 4 时，222462n4取到最小值6 ，此时2取到最大值22所以 a1a2. an 的最大值为 6416 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为目标函数 z2100 x 900 y作出可行域

19、为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在 (60,100) 处取得最大值， z 2100 6090010021600017. 解： 2cos Ca cos Bb cos Ac由正弦定理得： 2cos C sin Acos Bsin Bcos Asin C2cos C sin ABsin C A B C ， A 、B 、C0 ， sin ABsin C0 2cosC1 ， cosC12;. C0 ， C3222 由余弦定理得：2 ab cosCcab7a2b22ab 122ab3ab7S1 absin C3 ab3 3242 ab6 ab218

20、7ab5 ABC 周长为 ab c5718解： (1) ABEF 为正方形 AF EF AFD 90 AF DF DF I EF =F AF 面 EFDCAF面 ABEF平面 ABEF平面 EFDC 由知DFECEF60 AB EFAB平面 EFDCEF平面 EFDC AB 平面 ABCDAB平面 ABCD面 ABCD I 面 EFDCCD AB CD CD EF四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，如图建立坐标系，设FD aE 0 ，0 ，0B 0 ，2a ，0Ca ， ，3， ，0aA 2a 2a 022;.uuur，uuura ，3，uuurEB0，BC2aaAB2a ，0 ，02

21、a0ur22设面 BEC 法向量为 mx ，y ，z .uruuur02a y10m EB，即x13 ，y1 0 ，z11uruuur0ax12ay13 az10m BCur22m3， ，10r设面 ABC 法向量为 nruuuran BC=0x2ruuur. 即 2rn AB02ax20，n3 4x2 ，y2 ，z22ay230az2x20 ，y23 ，z2 420设二面角 ErBCA的大小为 .ur4219cosm nurr31 31619mn二面角 EBCA 的余弦值为2191919 解： 每台机器更换的易损零件数为8， 9， 10， 11记事件 Ai为第一台机器 3年内换掉 i7 个零

22、件 i1,2,3,4记事件 Bi为第二台机器 3年内换掉 i7 个零件 i1,2,3,4由题知 PA1PA3PA4PB1P B3P B40.2， P A2P B20.4设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则 X 的可能的取值为16， 17，18，19， 20， 21， 22PX16P A1PB10.20.20.04PX17P A1P B2P A2 P B10.20.40.40.20.16PX18P A1P B3P A2 P B2P A3 P B10.20.20.20.20.40.40.24PX19P A1P B4P A2 PB3P A3P B2P A4PB10.20.20.20

23、.2 0.4 0.20.20.40.24PX20P A2P B4P A3 P B3P A4 P B20.40.20.20.40.20.20.2Px21P A3PB4P A4 P B30.2 0.20.20.20.08Px22P A4PB40.20.20.04X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 要令 P x n 0.5 ， Q 0.040.160.240.5 ， 0.040.160.24 0.24 0.5则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足;.时额外购买的费用当 n19 时，费

24、用的期望为192005000.2 1000 0.08 1500 0.04 4040当 n20时，费用的期望为202005000.08 1000 0.04 4080所以应选用 n 1920. (1) 圆 A 整理为2y216 ， A 坐标1,0 ，如图，x 1Q BEAC ，则 CEBD ，由 ACAD ,则 D C ，432 EBDD，则 EBEDC1AxAE EB AE ED AD 442B24E1x2y22所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为1 ， ( y0 ) ；433D C :x2y2，P1 ；设l : xmy1143因为 PQ l ，设 PQ : ym x 1，联立 l与椭圆 C1xm

25、y1Ax2y2得 3m24y26my9 0；42则431M22212236m 36 3m412 m| MN | 1 m | yMyN | 1 m3m243m24；44321NxB241Q234圆心 A 到 PQ 距离 d|m11 | 2m |，122m1m所以 | PQ | 2 | AQ |2d 22 164 m24 3m24 ，21m221 12 m 121 m14 3m4 24 m211SMPNQ| PQ |2412,8 3| MN |2122x 3m 41 m2x 3m24321.2（）f()(x1)2(x1) (x1)(e2 )m 1xeaa（ i ）设 a0 ，则 f ( x) (x

26、 2)ex ， f (x) 只有一个零点（ ii）设 a0 ，则当 x(,1) 时， f (x)0 ；当 x(1,) 时， f (x)0 所以 f ( x) 在 ( ,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增又 f(1)e ， f (2)a ，取 b 满足 b0 且 bln a ，则f (b)a (b2)a(b1)2a(b23b)0 ，222故 f (x) 存在两个零点（ iii）设 a0 ，由 f (x)0 得 x1或 xln(2a) 若 ae2a)1 ，故当 x(1,) 时， f (x)0 ，因此 f (x) 在 (1,) 上单调递增 又，则 ln(2;.当 x1时， f (x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点若 ae2a)1 ，故当 x (1,ln( 2a) 时，f (x)0 ；当 x (ln( 2a),) 时，则 ln(2f (x)0 因此 f (x) 在 (1,ln( 2a) 单调递减，在 (ln(2a),) 单调递增又当x 1 时，f (x)0，所以 f ( x