第7节函数与方程

1、2021新亮剑高考总复习函数的概念与基本初等函数（I）第二章第7节函数与方程1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根之间的联系. 2.判断一元二次方程根的存在性及根的个数1. 利用函数零点的存在性定理或函数的图象, 对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围,这是高考的热点.2. 重点考查学生逻辑推理、直观想象、数算的核心素养高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、函数的零点1. 函数零点的定义对于函数 y=

2、f(x)(xD),把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(xD)的零点.2. 几个等价关系方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x轴有交点函数 y=f(x)有 零点.3.函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)f(b)0,那么,函数 y=f(x)在区间 (a,b)上有零点,即存在 c(a,b),使得就是方程 f(x)=0 的根.f(c)=0c,这个也5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、二分法对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 7判别式符号0=0

3、0)的图象与 x 轴的交点(x1,0),( x2,0)(x1,0)无交点零点个数210高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1.关注两个易错点(1)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.记牢三个结论(1) 若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数图象,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能

4、不变号.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.(2) 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)f(b)0.(3) 只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(4) 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)在 b2-4ac0 时没有零点.()(5)若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a)f(b)0,则函数 f(x)在a,b上有且只有一个零点.()答案9目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.(2020 届

5、湖南郴州一模)已知函数 f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线,命题 p:总存在 c(a,b),有 f(c)=0;命题 q:函数 f(x)在区间(a,b)上有 f(a)f(b)0.则 p 是q 的(C).A.充要条件C.必要不充分条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析根据零点存在性定理,可得在区间a,b上的连续不断的曲线 y=f(x),存在c(a,b),使 f(c)=0 时,f(a)f(b)0 不一定成立;若 f(a)f(b)0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,即存在 c(a,b),使 f(c)=0.故 p 是 q 的必要不充分条件.答案解析10目 录拓展知识

6、查缺补漏高考动态知识2.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为(B).A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析f(1)=ln 1+1-2=-10,f(1)f(2)0.函数 f(x)=ln x+x-2 的图象是连续的且 f(x)是增函数,函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2).答案解析11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识113.函数 f(x)=2- 的零点个数为(B.1B).C.22A.0D.31111解析函数 f(x)=2-的零点个数是方程2- =0 的解的个数,也就是函2211数 y=2 与 y= 的图象的交点个数,在同一坐标系中作出两个

7、函数的图象如图2所示,可得交点个数为 1.答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识-214.设函数 y =x3 与 y =的图象的交点为若 x 则(x ,y ),(n,n+1),nN, 21.20001n=-2,易知 f(x)为增函数,且 f(1)0,1解析令 f(x)=x3- 2x0 所在的区间是(1,2),即 n=1.答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】5.若函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数 a 的取值范 3围是.解析易知 a0,且函数 f(x)的图象为直线,由题意可得 f(-1)f(1)0,(-3a+1)(1-a)0,解

8、得1a 1,解析当 x1 时,由 f(x)=1+log2x综上,函数 f(x)只有 1 个零点.答案解析1516目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点1函数零点所在区间的判定考向 1:利用函数零点的存在性定理判定区间例 1(1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表:可以判断方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的区间是( A).A.(-3,-1)和(2,4)C.(-1,1)和(1,2)B.(-3,-1)和(-1,1)D.(-1,3)和(4,+)C(2)函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在的区间是().A. 1 , 1 B

9、. 1 ,1 C.(1,2)D.(2,3)答案解析42217x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由表格数据可得二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=1,a0.2由 f(-3)f(-1)0,f(2)f(4)0,(2)由题意知 f(x)在(0,+)上是连续函数,f 4244221=1-1log 1=1+1=30,f(1)=1-0=10,f 222222f(2)=1-2log22=-10,由 f(1)f(2)0 知选 C.方法总结：利用函数零点的存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有

10、,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.18考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:解方程法判定区间例 2已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为(D).A.1,3B.-3,-1,1,3C.2- 7,1,3D.-2- 7,1,3解析当 x0 时,f(x)=x2-3x,令 g(x)=x2-3x-x+3=0,得 x1=3,x2=1.当 x0,f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,f(x)=-f(-x)=-x2-3x.令 g(x)=-x2-3x-x+3=0,得 x3=-2- 7,x4=-2+ 70

11、(舍去).函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合是-2- 7,1,3.方法总结：解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.答案解析19考点探究素养达成高考真题目 录考向 3:图象法判定区间11例 3(1)若 x0 是方程 =3的解,则 x0 属于区间().C2A. 2 ,1 B. 1 , 2 323C. 1 , 1 D. 0, 1 32(2)已知函数3 1 f(x)=2 +x,g(x)=log x+x,h(x)=x-的零点依次为xa,b,c,则a,b,c 的3 大小关系为 abc.答案解析20考点探究素养达成高考真题目 录1,f(x)=3,

12、11解析(1)令 g(x)= 213,g12f(0)=0,g3f= 32332222作出函数 g(x)和 f(x)的图象,如图所示.所以由图象关系可得1x 1.03221考点探究素养达成高考真题目 录 1 (2)在同一直角坐标系中分别画出函数 y=2 ,y=log x,y=-,y=-x 的图象x,3 如图所示.观察它们与直线 y=-x 的交点的横坐标可知 abc.方法总结：把方程的根转化为两个函数图象的交点的横坐标,看其所在区间.22考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练1】1.若 abc,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区

13、间().AA.(a,b)和(b,c)内C.(b,c)和(c,+)内B.(-,a)和(a,b)内D.(-,a)和(c,+)内解析因为 ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0.由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点.因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选 A.答案解析23考点探究素养达成高考真题目 录2.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间1,8上 存在 (填“存在”或“不存在”)零点.解析(法一)f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)0.又 f(x)=x2-3x-18

14、的图象在区间1,8上是连续的,f(x)=x2-3x-18 在区间1,8上存在零点.(法二)令 f(x)=0,即 x2-3x-18=0,解得 x=61,8或 x=-31,8.f(x)=x2-3x-18 在区间1,8上存在零点.答案解析24考点探究素养达成高考真题目 录3.函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为(C).A. - 1 ,0 B. 0, 1 44C. 1 , 1 D. 1 , 3 4224解析易知函数 f(x)=ex+4x-3 在 R 上为增函数,故 f(x)=ex+4x-3 至多有一个零点.111111f=e4+1-3=e4-20,42函数 f(x)=ex+4x-3 的零

15、点所在的区间为 1 , 1 .42答案解析25考点探究素养达成高考真题目 录4.设函数 f(x)=1x-ln x,则函数 y=f(x)(D).3A.在区间 1 ,1 ,(1,e)上均有零点eB.在区间 1 ,1 ,(1,e)上均无零点eC.在区间 1 ,1 上有零点,在区间(1,e)上无零点eD.在区间 1 ,1 上无零点,在区间(1,e)上有零点e答案解析26考点探究素养达成高考真题目 录解析(法一)令 f(x)=0 得1x=ln x.作出函数 y=1x 和 y=ln x 的图象,如图所示.33显然 y=f(x)在 1 ,1 上无零点,在(1,e)上有零点.e(法二)当 x 1 ,e 时,函

16、数图象是连续的,且 f(x)=1-1=-30,f(1)=10,f(e)=e -10,又 f e3e33所以函数 y=f(x)有唯一的零点,且在区间(1,e)上.27考点探究素养达成高考真题目 录考点2例 4函数零点个数的判断(1)(2020 届沧州模拟)设 f(x)是区间-1,1上的增函数,且 f- 11 0,(2)(2020 届四川遂宁三模)已知函数 f(x)= 5 , = 0,则方程 f(x)=1x+5的根的7-, 0,77个数为 4.答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录- 110,所以 f(x)在区间 - 1 , 1 解析(1)因为 f(x)在区间-1,1上是增函数,且 ff 22

17、22上有唯一的零点,所以方程 f(x)=0 在区间-1,1上有唯一的实数根.(2)方程的根即两函数 y=f(x)与 y=1x+5图象交点的横坐标,作出函数图象,如图,77结合图象可得方程 f(x)=1x+5的根的个数为 4.77考点探究素养达成高考真题目 录方法总结： (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解,通过解方程,则方程有几个解就对应有几个零点.(2) 函数零点的存在性定理法:利用此定理不仅要判断函数图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b) 0,若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零-2 + + , 0,点个数为 3.依题意得, = -

18、2,解 得 = -4,解析-1- + = 1, = -2.由 g(x)=0 得 f(x)+x=0, 0, 0,-4-2 + = 0,该方程等价于或 2-2 + = 0解得 x=2 或 x=-1 或 x=-2.因此,函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为 3.答案解析31考点探究素养达成高考真题目 录2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数是(C ).A.0解析B.2C.4D.6画出函数 y=f(x)和 y=log3|x|的部分图象如图所示.由图知,函数 y=f(x)-log3|x|的零

19、点的个数为 4.答案解析32考点探究素养达成高考真题目 录考点3函数零点的应用考向 1:根据函数零点的个数求参数-2, 0,例 5(1)若函数 f(x)= -1有且只有 2 个不同的零点,则实数 k 的取ln, 0值范围是(B).A.(-4,0)B.(-,0C.(-4,0D.(-,0)(2)(2020 届黑龙江大庆三模)定义在(0,+)上的函数 f(x)同时满足:对任意的x(0,+)都有 f(2x)=1f(x);当 x(1,2时,f(x)=(x-2)2.若函数 g(x)=f(x)-log x(a1)a2恰有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是( A.(1,2C.(4,16D).B.(2,4D

20、.(4,256答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)当 x0 时,x=1 为 f(x)的零点,当 x0 时,x=0 为 f(x)的零点,=kx2(x0)无解,等价于 1 =kx(x0)无解,故当 x0 时不能再有其他零点,即-1-1画出函数 y= 1 (x0),y=kx(x1)恰有 3 个零点,即函数 f(x)的图象与函数 y=logax(a1)的图象有 3 个交点,画出两个函数的图象,如图所示.1 ,log2 4 由图可知, 解得 4 1,时,实数 a 的取值范围是(A.(-,0)(1,+)C.-1,0)(1,2A).B.-1,2)D.0,1答案解析36考点探究素养达成高考真题

21、目 录(1)由题意知方程 ax=x2+1 在 1 ,3 上有解,即 a=x+1在 1 ,3 上有解,解析22设 t=x+1,x 1 ,3 ,则 t 的取值范围是 2, 10 .23所以实数 a 的取值范围是 2, 10 .3(2)由 F(x)=0,得 f(x)=a2-a-1.函数 f(x)的值域为(-1,+),a2-a-1-1,解得 a1.故选 A.方法总结：根据函数零点是否存在的情况求参数的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题.37考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练3】- 1.已知函数

22、f(x)= 2+a 的零点为 1,则实数 a 的值为.3 +1解析由已知得 f(1)=0,即 2+a=0,解得 a=-1.31+12答案解析38考点探究素养达成高考真题目 录2.(2020 届安徽芜湖模拟)若函数 f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数 a 的取1值范围是 - 4 ,2 . 解析函数 f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,方程 4x-2x-a=0 在-1,1上有解,即方程 a=4x-2x 在-1,1上有解.2令 y=4x-2x= 2 - 1-1.242x-1,1,2x 1 ,2 , 2 - 1-1 - 1 ,2 .2244实数 a 的取值范围是 - 1 ,2

23、.4答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录逻辑推理用函数与方程思想解决复合函数的零点问题解答此类问题,关键是把复合函数的零点问题转化为单函数的零点问题,转化为方程的根、不等式的求解问题,再利用分类讨论思想、数形结合思想解题.3-1, 1,则满足 f(f(a)=2f(a)的 a 的取值范围是(例设函数 f(x)=C). 2, 1,A. 2 ,1 B.0,1D.1,+)3C. 2 , + 3答案解析40考点探究素养达成高考真题目 录解析由 f(f(a)=2f(a)知需分 f(a)1 和 f(a)1 两种情况讨论.当 f(a)1 时,若 a1,则 3a-11,解得2a1;3若 a1,则 2a1,

24、解得 a0,故 a1.故 a2.3当 f(a)1 时,由 f(f(a)=2f(a)得 3f(a)-1=2f(a),解得 f(a)=1 或 f(a)=3,不符合题意.综上,a2,故选 C.341考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】已知函数 f(x)=ln(-1), t1),则 t1-1,t2-1,当 t1-1 时,t1=f(x)有一解;当 t2-1 时,t2=f(x)有两解.当 a0),已知 f(x)在0,2上有且仅5有 5 个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)上有且仅有 3 个极大值点;f(x)在(0,2)上有且仅有 2 个极小值点;f(x)在 0,上单调递增;10 的取值范围是 12 , 29 .510其中所有正确结论的编号是(D).A.B.C.D.答案解析43考点探究素养达成高考真题目 录解析令 t=x+,则函数 f(x)在0,2上有且仅有 5 个零点,可化为 g(t)=sin t5在 ,2 + 上有且仅有 5 个零点,所以 52+6,解得1229,正确;根555510据图象,极大值点对应最高点,正确;极小值点对应最低点,所以极小值点可能有2 个,也可能有 3 个,